黑龙江省哈六中2014-2015学年高一上学期期中考试试题 数学 Word版含答案

哈尔滨市第六中学 2014—2015 学年度上学期期中考试

高一数学试题
考试时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.设集合 A ? ?1,2? ,则满足 A ? B ? ?1, 2,3? 的集合 B 的个数是( (A)1 个 (B) 2 个 (C) 4 个 2.下列函数中与函数 y ? x 相等的函数是( ) (A) y ? ( x ) 2 (B) y ? x 2
2



(D)8 个

(C) y ? 2 log2 x

(D) y ? log 2 2 x )

3. f ( x) ? (m 2 ? m ? 1) x m (A)2
2

?2m?3

是幂函数,且在 x ? (0,?? ) 上是减函数,则实数 m ? ( (C)4
0.2

(B) ? 1
3

(D)2 或 ? 1

4.三个数 a ? 0.2 , b ? log 1 2, c ? 2 (A) a ? c ? b 5. f ( x ) ?

之间的大小关系是( ) (C) a ? b ? c (D) b ? c ? a

(B) b ? a ? c )

3 x ?1 的值域是( 3x ? 1
(B) (0,3)

(A) (3,?? )

(C) (0, 2)

(D) (2, ??)

?(3a ? 2) x ? 6a ? 1, x ? 1 6.已知函数 f ( x) ? ? x 在 (??,?? ) 上单调递减,则实数 a 的取值范围是 ?a , x ? 1
( ) (B) (0, )

(A) (0,1)

2 3

(C) [ , ) )

3 2 8 3

(D) [ ,1)

3 8

7.函数 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 2 x ? 3) 的单调减区间是(
2

(A) (3,?? )

(B) (1,?? )

(C) (??,1)

(D) (??,?1)

8.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ,若 f (2 ? a 2 ) ? f (a) ,则 实数 a 的取值范围是( (A) (??,?1) ? (2,??) ) (B) (?1,2) (C) ( ?2,1) (D) (??,?2) ? (1,??)

x 9 . 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 当 x ? [0, ??) 时 , f ( x) ? 2 ? 2 , 则 不 等 式

f (log2 x) ? 0 的解集为( )
(A) (0, )

1 2

( ,1) ? (2,?? ) (B)

1 2

(2,?? ) (C)

(0, ) ? (2,?? ) (D)

1 2

10.设函数 y ? f ( x) 与函数 y ? g ( x) 的图象如下图所示,则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图象可能是 下面的( )

(A)

(B)

(C)

(D) )

11.函数 f ( x) ? log 2 (? x 2 ? ax ? 3) 在 (2, 4) 是单调递减的,则 a 的范围是( (A) (

13 , 4] 4

(B) [

13 , 4] 4

(C) [8, ??)

(D) (??,4]

12.已知 f ( x) ? x 2 ,若 a2 f (2x) ?4af (x) ? 3 f (x ? 1) 值范围 是( ) (A)a ? ?

在 x ? [1,??) 上恒成立,则实数 a 的取

1 3 或a ? 2 2
2 2

(B)?

1 3 ?a? 2 2

(C)?

3 1 ?a? 2 2

(D)a ? ?

3 3 或a ? 2 2

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.计算: (lg5) ? (lg 2) ? 2lg 2 ? ___________ 14. f ( x ? 1) 的定义域是 [ ,9] ,则函数

3 2

f (2 x ) 的定义域是 __________ log 2 ( x ? 1)

15.函数 f ( x) ? x ? 2 1 ? x ?1 的值域为 ____________ 16.已知 a ? 0 且 a ? 1, f ( x) ? x 2 , g ( x ) ? a ?
x

1 ,当 x ? (?1,1) 时 f ( x) ? g ( x) 恒成立,则实 4

数 a 的取值范围 ___________ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时写出必要的文字说明,证明过程或解题步骤) 17. (本题满分 10 分)已知集合 A ? ? x

? 1 ? ? x ?3 ? ? 1? ,集合 B ? ? x ? 2 x ? 2? . ? 8 ? ? 2x ?

(1)求 A ? B ; (2)若集合 C ? x 2a ? x ? a ? 1 ,且 ( A ? B) ? C ,求实数 a 的取值范围.

?

?

18. (本题满分 12 分)已知关于 x 的不等式 (log2 x)2 ? 2log2 x ? 3 ? 0 的解集为 M . (1)求集合 M ; (2)若 x ? M ,求函数 f ( x) ? [log 2 (2 x)] ? (log 2

x ) 的最值. 32

19( .本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? b ? a x ( a , b 为常数且 a ? 0, a ? 1 ) 的图象经过点 A(1,8) ,

B(3,32)
(1)试求 a , b 的值; (2)若不等式 ( ) ? ( ) ? m ? 0 在 x ? (??,1] 时恒成立,求实数 m 的取值范围。
x x

1 a

1 b

20. (本题满分 12 分)已知 f (log3 x) ? x 2 ? 2x ? 4 , x ? [ ,3] . (1)求 f ( x) 的解析式及定义域; (2)若方程 f ( x) ? a ? 3a ? 3 有实数根,求实数 a 的取值范围.
2

1 3

21. (本题满分 12 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?

b ? 2x 是奇函数. 2 x ?1 ? a

(1)求实数 a , b 的值; (2)判断并证明 f ( x ) 在 (??, ??) 上的单调性; (3)若对任意实数 t ? R ,不等式 f (kt 2 ? kt ) ? f (2 ? kt ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.

22. (本题满分 12 分)已知二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ? 1,且 f (0) ? 3 . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 x ? [?1,1] 时, f ( x) ? 2m x 恒成立,求实数 m 的取值集合.

2017 届高一上学期期中考试数学试题答案 一、选择题: 1 A 2 A 二、填空题: 13、1; 14、 (1, 2) ? (2,3] ; 15、 (??, 2] ; 16、 [ ,1) ? (1, ] 3 A 4 B 5 D 6 D 7 D 8 D 9 A 10 C 11 C 12 C

3 4

4 3

三、解答题: 17、解: (1) A ? [?3, 0) ————2 分 B ? (?3,1) ————4 分 A ? B ? (?3,0) ————5 分 (2) C ? ? 时, 2a ? a ? 1 ? a ? 1 ———— 7 分

? 2a ? a ? 1 3 ? C ? ? 时, ? 2a ? ?3 ? ? ? a ? ?1 ———— 9 分 2 ?a ? 1 ? 0 ?

3 ? a ? ?1或 a ? 1 ———— 10 分 2 1 18、解: (1) M ? [ ,8] ——————4 分 2
综上: ? (2) f ( x) ? (1 ? log2 x)(log2 x ? 5) ? (log2 x)2 ? 4log2 x ? 5 设 t ? log2 x , t ?[?1,3] , f (t ) ? t 2 ? 4t ? 5 ———— 6 分 当 t ? 2 时,即 x ? 4 时, f ( x)min ? ?9 ——————— 9 分 当 t ? ?1 时,即 x ?

1 时, f ( x)max ? 0 ——————— 12 分 2
4分

19、解: (1) f ( x) ? 4 ? 2x ———————————

(2) m ? ( ) ? ( ) 在 x ? (??,1] 上恒成立——————6 分
x x

1 2

1 4

1 1 1 1 1 3 t ? ( ) x ,t ? [ , ??) ,设 g (t ) ? t 2 ? t ? (t ? ) 2 ? , g (t ) min ? g ( ) ? ———— 10 2 2 2 4 2 4


?m?

3 ————————— 12 分 4
t

20、解: (1)设 t ? log3 x , t ? [?1,1] ,则 x ? 3

f (t ) ? (3t )2 ? 2 ? 3t ? 4 , ? f ( x) ? (3x )2 ? 2 ? 3x ? 4, x ?[?1,1] ———————— 6 分
x 2 2 (2)设 u ? 3 , u ? [ , 3] , f (u) ? u ? 2u ? 4 ? (u ?1) ? 3 ,? f (u ) ? [3, 7]

1 3

? a2 ? 3a ? 3 ?[3,7] , ? a ?[?1,0] ? [3, 4] ————————————————
21、解: (1) ?

12 分

? f (0) ? 0 1 ? 2x ,经检验成立。—————————4 分 ? f ( x) ? x?1 2 ?2 ? f (?1) ? ? f (1)

(2)证明:设任意 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 x2 ? 2 x1 , x1 ? x2 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )

? f ( x) 在 (??, ??) 上是减函数 —————————————————————— 8 分
(3) f (kt ? kt ) ? ? f (2 ? kt ) ? f (kt ? 2)
2

? kt 2 ? kt ? kt ? 2 ? kt 2 ? 2kt ? 2 ? 0 对 t ? R 恒成立

?k ? 0 ?k ? 0或 ? ?0?k ?2 ?? ? 0

综上: 0 ? k ? 2 —————————————— 12 分

22、解: (1) f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ———————————— 4 分 (2)因为 x ? [?1,1] 时, f ( x) ? 2m x
设 g ( x) ? f ( x) ? 2m x,即 g ( x) min

? 0 恒成立——————————————————5 分

g ( x) ? x 2 ? 2(m ? 1) x ? 3 ,对称轴 x ? m ? 1
当 m ? 1 ? ?1 时,即 m ? ?2 时, g (?1) ? 1 ? 2(m ? 1) ? 3 ? 0 ? m ? ?3 所以 ? 3 ? m ? ?2 ——————————————————————————————7 分 当 ? 1 ? m ? 1 ? 1 ,即 ? 2 ? m ? 0 时, g (m ? 1) ? 0 ? ?1 ? 所以 ? 2 ? m ? 0 ————————9 分 当 m ? 1 ? 1 ,即 m ? 0 时, g (1) ? 0 ? m ? 1 ,所以 0 ? m ? 1 ———————————11 分 综上: ? 3 ? m ? 1 ——————————————12 分

3 ? m ? 3 ?1

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