高一数学教案---复习三--平面向量的坐标运算、定比分点


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第二十四教时
教材:复习三——平面向量的坐标运算、定比分点 过程: 一、复习:平面向量坐标的概念,运算法则,定比分点 二、 例题: 1.已知四边形的顶点坐标为 A(1,2),B(2,5),C(8,14),D(3,5), 求证:四边形 ABCD 是一个梯形。 证:∵ AD =(2,3), BC =(6,9) 且 2×9?3×6=0 ∴ AD ∥ BC

5.已知△ABC 的顶点是 A(x1, y1),B(x2, y2),C(x3, y3),求△ABC 的重心 G 的坐标(x, y)。 C 解:如图:∵D 是 BC 中点, D ∴D 点的坐标(
x2 ? x3 2 , y2 ? y3 2

)

G

B

且 G 分有向线段 AD 所成的比λ =2
? x1 ? ?x ? ? 的坐标 ? ? y1 ?y ? ? ? ? x2 ? x3

A

∴G

又∵ AB =(1,3), CD =(?5,?9) 而 1×(?9)?3×(?5)?0 ∴ AB ∥ CD ∴ABCD 为梯形 2.设 a = (1,x),b = (?1,3),且 2a + b∥a ?2b,试求 x。 解:2a + b = (1,), a ?2b = (3, x?6) ∵2a + b∥a ?2b ∴1×(x?6) ? (2x+3)×3 = 0 ? x = ?3 3.已知:A(1,?2),B(2,1),C(3,2),D(?2,3), 1?求证:A,B,C 三点不共线 2?以 AB 、 AC 为一组基底来表示 AD + BD + CD 解:1?∵ AB =(1,3), AC =(2,4) ∴A,B,C 三点不共线 2? AD + BD + CD =(?3,5)+(?4,2)+(?5,1) = (?12,8) 设: AD + BD + CD = m AB + n AC 即:(?12,8) = (m + 2n, 3m + 4n)
? ? 12 ? m ? 2 n ? m ? 32 ? ? ∴? ? 8 ? 3m ? 4 n ? n ? ? 22

x1 ? x 2 ? x 3 ? 2 ?x ? 3 1? 2 ? ? y2 ? y3 y1 ? y 2 ? y 3 ?y ? ? 2 3 ? 1? 2
x1 ? x 2 ? x 3 3 , y1 ? y 2 ? y 3 3

∴△ABC 的重心 G 的坐标是(

)

6.已知 A(1,2),B(?1,3),C(2,?2),点 M 分 BA 的比λ 为 3:1,点 N 在线段 BC 上,且 S AMNC ?
2 3 S ? ABC

,求点 N 的坐标。 ∴ BM =
3 4 1 3 S ? ABC

B M A

解:由题设: BM =3 MA ∴ AB
AC

BA

∵1×4?3×2?0

又: S AMNC ? 即:
1 2

2 3

S ? ABC

∴ S ? BMN ?
1 3
?

N

| BM || BN |sin?ABC =
3 4

1 2

| BA || BC |sin?ABC
4 9

又 | BM | =
4

| BA |

∴ | BN | =

| BC | 设 N(x, y)

C

∴ BN = NC
5

即 N 分 BC 的比为 4:5,

∴ AD

+ BD

+ CD

=

32 AB

?22 AC

4.已知 M(1,?3),N(4,6),P(x,3),且三点共线,求点 P 分有向线段 MN 所 成的比λ 及 x 的值。 解: ? ?
x ?1 4? x ? 3 ? ( ? 3) 6?3

解得:λ = 2,

x=3

4 ? ?1? ? 2 ? 1 5 ? ? x ? 4 3 ? 1? ? 5 ? 4 ? 3 ? ? (?2) 7 5 ?y ? ? ? 4 9 1? ? 5 ?

∴点 N 的坐标是 ( , )
3 9

1 7

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7.已知点 M(2,3),N(8,4),点 P 在线段 MN 上,且 MP ? ? PN ? ? 2 MN , 求点 P 坐标和λ 。 解:设点 P 坐标为(x, y),由 MP ? ? PN , ? ?
x?2 8? x ? y?3 4? y



又∵ ? PN ? ? 2 MN 从而 PN ? ( ? ? ) NM ,

可知λ ? 0,且 PN ? ? MN , ∴? ? ?
8? x 2?8 ? 4? y 3?4

? x?2 y?3 y?3 ? ? x?2 ? ? ? ? ? ? 8? x ? 4? y ? ? ? 4? y ? ? 8 ? x 且? ∴? (? ) ? ? ? 8? x 8? x 4? y 4? y ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2?8 2?8 3?4 3?4 ? ? ?



x?2 8? x

?

8? x 2?8

? 0

解得: x ? 11 ? 3 5

y?3 4? y

?

4? y 3?4

? 0

解得: y ?

9? 2

5

? ? x ? 11 ? 3 5 ? 9? 5 ? 代入检验(*): ? y ? 2 ? ?1? 5 ? ? ? ? 2 ?

? ? x ? 11 ? 3 5 ? 9? 5 ? 或? y ? 2 ? ?1? 5 ? ? ? ? 2 ?
5

∴点 P 坐标 (11 ? 3 5 ,

9? 2

),

? ?

?1? 2

5

或点 P 坐标 (11 ? 3 5 ,
三、 作业: 《导学? 创新》

9? 2

5

),

? ?

?1? 2

5

§5.4

§5.5

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