【中小学资料】云南省云天化中学2015-2016学年高二数学4月月考试题 文

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云天化中学 2015—2016 学年下学期 4 月月考试卷 高 二 数 学(文)

说明: 1.时间:120 分钟;分值:150 分;

2. 本卷分Ⅰ、Ⅱ卷,请将第Ⅰ卷选择题答案及 II 卷答案在答.题.卡.填.涂.和.作.答.。.

第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)

一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分。每小题只.有.一.个.选项符合题意。)

1.已知集合 M

??x |

y

?

log2

x?, ,

N

?

?? ?

y

??

|

y

?

? ??

1 2

?x ??

,x

? 1???, ??



M

N ?( )

A.

? ??

0,

1 2

? ??

B. ?0,1?

C.

? ??

1 2

,1???

D. ?

2.有关下列命题的说法正确的是

()

A.命题“若 x 2 ? 1, 则 x ? 1”的否命题是“若 x 2 ? 1, 则 x ? 1”

B.“ x ? ?1 ”是“ x2 ? 5x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件

C.命题“ ?x ? R ,使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,都有 x2 ? x ? 1 ? 0 ”

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题 3.已知函数 f (x) ? 3 ,则下面区间不是递减区间的是( )
x A. (0, ??) B. (??, 0) C. (??, 0) (0, ??) D.(1,+∞)

4.函数 f (x) ? sin x ? cos x在点(0, f (0)) 处的切线方程为( )

A. x ? y ?1 ? 0 B. x ? y ?1 ? 0 C. x ? y ?1 ? 0 D. x ? y ?1 ? 0

5.已知 f (x) = a x 3 +3 x 2 +2,若 f ' ??1? ? 4 ,则 a 的值等于( )

A . 19 3

B . 10 3

C. 16 3

D . 13 3

6.曲线

y



?

1 3

x3

?

2

在点

? ??

?1,

?

5 3

? ??

处切线的倾斜角为(



A. 30?

B. 45?

C. 135?

D. 150?

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7. 顶点在原点,经过圆 C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 2 y ? 0 的圆心,且准线与 x 轴垂直的

抛物线方程为( )A. y 2 ? ?2x B. y 2 ? 2x C. y ? 2x2 D. y ? ? 2x2

8.函数 y ? ln x 的最大值为( ) x

A. e ?1

B. e C . e 2

D. 10 3

9.下图是计算 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ... ? 1 的一个程序框图,判断框内的条件是( ) 2 4 6 8 2014

A. i ? 2015?

B. i ? 2014?

C. i ?1008? D. i ?1007?

10. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A. 2? ? 2 3 B. 4? ? 2 3 C. 2? ? 2 3 3

D. 4? ? 2 3 3

2

2

2

2

2

(第 9 题图 )

( 第 10 题图)

11.若双曲线 x2 a2

?

y2 b2

?1( a

? 0 , b ? 0 )的一条渐近线被圆 x2

?

y2

? 6x ? 0 截得的

弦长为 2 5 ,则双曲线的离心率为( )

A. 3

B. 6 C. 3 5 D. 5

2

5

12.已知抛物线 C: y 2 ? 8x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在 C 上,

且|AK|= 2|AF|,则△AFK 的面积为( )

A.4

B.8

C.16

D.32

第Ⅱ卷(90 分) 中小学最新教育资料

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二.填空题(本大题共 4 小题每小题 5 分共 20 分。把答案填在答题卡上)

13. 函数 f (x) ? x3 ? x2 ? ax ? b 在点 x =1 处的切线,与直线 y ? 2x ?1垂直,

则 a =______.

14. 抛物线 y ? 1 x2 的焦点与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的上焦点重合,则 m = .

16

3m

15. 各个棱长均为 a 的三棱锥的外接球的表面积为________.

16.函数 f (x) ? x3 ? 2xf '(?1) ,则函数 f (x) 在区间??2 ,3? 上的值域是______.

三、解答题(共 70 分,17 题 10 分,18-22 每题 12 分)
17.设 x ?1和 x ? 2 是函数 f ? x? ? a ln x ? bx2 ? x 的两个极值点.
(1)求 a, b 的值;
(2)求 f ? x? 的单调区间。

18..已知数列 ?an ?中, a1 ? 3 ,满足 an ? 2an?1 ? 2n ? 1(n ? 2) 。

(1)求证:数列

? ? ?

an 2

?
n

1? ? ?

为等差数列;

(2)求数列?an ?的前 n 项和 S n .

19.在一个盒子中,放有标号分别为1, 2 , 3 的三个小球,现从这个盒子中, 有.放.回.地先后抽得两个小球的标号分别为 x 、 y ,设 O 为坐标原点,设 M
的坐标为 (x ? 2, x ? y) .
2
(1)求 OM 的所有取值之和;
2
(2)求事件“ OM 取得最大值”的概率.

20.在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 底面 ABCD , AB / /CD , AB ? BC ,
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AB ? 2BC ? 2CD, E 是 PA 的中点
(1)求证: DE / / 平面 PBC (2)求证: AD ? PB

P

ED

C

A

B

21.设函数 f (x) ? (x ?1)ex ? kx2 . (1)当 k ?1时,求函数 f (x) 的单调区间;
(2)若 f (x) 在区间?0, ??? 上是增函数,求实数 k 的取值范围.

21.一动圆与圆 F1:x2 +y2 +6x+6=0 相外切,与圆 F2:x2 +y2 ? 6x ?18=0 相内切.
(1)求动圆圆心的轨迹曲线 E 的方程,并说明它是什么曲线。
(2)过点 (?3, 0) 作一直线 l 与曲线 E 交与 A,B 两点,若 AB ? 8 3 , 5
求此时直线 l 的方程。

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云天化中学 2015—2016 学年下学期 4 月月考试卷

高 二 数 学(文)

选择题:ADCABC BADCCB

填空题:13. ? 3 2

14. 13

15. 3 a2? 16.[?4 2, 9] 2

17.解 (1) f ?(x) ? a ? 2bx ? 1 x

f ?(1) ? 0

f ?(2) ? 0

?a ? 2b ? 1 ? 0

?

? ??

1 2

a

?

4b

?

1

?

0

(2) f ?( x) ? ? 2 ? 1 x ? 1 ? 0( x ? 0) x 2 ? 3x ? 2 ? 0( x ? 0) 1 ? x ? 2 3x 3
∴f(x)在(2,+∞)及(0,1)上是减函数,在(1,2)上为增函数

???a

?

?

2 3

? ???b

?

?

1 6

18.(1)证明:由定义

an ?1 2n

?

an?1 ?1 2n?1

?

2an?1

? 2n 2n

?

2

?

an?1 ?1 2n?1

?1



? ? ?

an ? 2n

1

? ? ?

是以

a1 ? 2

1

?

1

为首项,1

为公差的等差数列。

? ? (2)由(1)知

an ? 2n

1

?

n

? an ? n ? 2n ?1

令Tn为 n ? 2n 的前 n 项和,则

Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ??? ? n ? 2n ①

2Tn ? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ??? ? n ? 2n?1 ②

①-②得 ?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 2n ? n?2n?! ? ?1? ?n 2n?1 ?2

?Tn ? ?n ? ?1 2n?1 ? 2 故 Sn ? ?n ? ?1 2n?1 ? n ? 2

19.(1)? x 、 y 可能的取值为1、 2 、 3 ,

则 ?? x ? 2?,? x ? y??的所有可能取值为 ?1,1?;?1,2?;?1,3?;?2,1?;?2,2?;?2,3?;

?3,1?;?3,2?;?3,3?;共 9 种

由 OM 2 ? ? x ? 2?2 ? ? x ? y?2 可知 OM 2 的所有可能值为 0,1, 2,5

2
故 OM 的所有可能取值之和为 8

2
(2)由于 OM 取最大值 5 时,

x, y 的取值为 ?1,3?;?3,1?; 共 2 种

故求事件“ OM 2 取得最大值”的概率为 2 9

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20.证:(1)取 PB 中点 F ,连接 EF, FC, E, F 分别是 PA, PB 的中点,

? EF ? 1 AB, EF / / AB ,又?CD ? 1 AB,CD / / AB

2

2

即四边形 EFCD 为平行四边形,

? DE / /CF ??CF ? 面PBC ? DE / /面PBC ??ED ? 面PBC

(2) 由题意知 AD ? PD 设 BC ? 1, 则 CD ? 1, AB ? 2

又 BC ? CD, BC ? CD ,即 BD ? 2, ?DBC ? ?ABD ? ? 4

在VABD 中,由余弦定理知 AD ? 2 ,

P

又 AD2 ? BD2 ? AB2, ?ADB ? ? 2

? AD ? BD

??PD ?

? ?

AD

?

BD ? D 面PBD

?

AD

?

PB

??PB ? 面PBD

F

E

D

C

A

G

B

21.解:(1) f (x) 的定义域为 R 当 k ?1时, f (x) ? (x ?1)ex ? x2 ,

f ?(x) ? ex ? (x ?1)ex ? 2x ? x(ex ? 2) , 令 f ?(x) ? 0 ,即 x(ex ? 2) ? 0 ,

?x ? ln 2 或 x ? 0 . 令 f ?(x) ? 0 ,即 x(ex ? 2) ? 0 ,
?0 ? x ? ln 2, ? 函数 f (x) 的增区间为 (??, 0) , (ln 2, ??) ,减区间 ?0,ln 2? . (2) f (x) 在区间?0, ??? 上是增函数,又 f ?(x) ? ex ? (x ?1)ex ? 2kx ? x(ex ? 2k) ? f ?(x) ? 0 在区间?0, ??? 上恒成立, 又 x ? 0 ,?ex ? 2k ? 0 ,

即 2k ? ex 恒成立, 又

ex

? 1,?2k

?1? k

?

1. 2



k

的取值范围为

? ??

??,

1 2

? ??



22.解:(1)设动圆圆心的坐标为 M (x, y) ,半径为 r

又内切和外切的几何意义 MF1 ? 3 ? r MF2 ? 3 3 ? r MF1 ? MF2 ? 4 3 所以所求曲线轨迹为椭圆, 2a ? 4 3, 2c ? 6, b2 ? 3

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方程为: x2 ? y2 ? 1 12 3

(2)设直线方程为 y ? k(x ? 3) 直线与椭圆交与 A (x1, y1) , B (x2 , y2 )

? y ? k(x ? 3)

联立方程组

? ?

x

2

?

4y2

把直线方程代入椭圆方程化简整理得
? 12

(1? 4k 2 )x2 ? 24k 2 x ? (36k 2 ?12) ? 0

x1

?

x2

?

? 24k 2 1? 4k 2

x1 x2

?

36k 2 ?12 1? 4k 2

又弦长公式 AB ? 1? k 2 ? (x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ,代入解的 k ? ?1 所以直线方程为 y ? ?x ? 3

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