人教b版高中数学选修:第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课堂导学案 含答案


2.1.1 椭圆及其标准方程 课堂导学 三点剖析 一、求椭圆的标准方程 【例 1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点 P 到两焦点距离的 和是 10; 3 5 (2)两个焦点的坐标是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点( , ). 2 2 解析:(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上, ∴设它的标准方程为 ∴2a=10,2c=8, ∴a=5,c=4. ∴b2=a2-c2=52-42=9. ∴所求椭圆的标准方程为 x2 y2 ? =1. 25 9 x2 y2 ? =1(a>b>0). a2 b2 (2)∵椭圆的焦点在 y 轴上, ∴设它的标准方程为 y2 x2 ? =1(a>b>0). a2 b2 3 5 3 5 由椭圆的定义知,2a= (? ) 2 ? ( ? 2) 2 ? (? ) 2 ? ( ? 2) 2 ? 2 10, 2 2 2 2 ∴a= 10 .又 c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6. ∴所求椭圆的标准方程为 温馨提示 求椭圆的标准方程就是求 a2 及 b2(a>b>0),并且判断焦点所在的坐标轴.当焦 点在 x 轴上时,椭圆的标准方程为 x2 y2 ? =1;当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方 a2 b2 y2 x2 ? =1. 10 6 程为 y2 x2 ? =1. a2 b2 二、应用椭圆的定义解题 【例 2】 一动圆与已知圆 O1:(x+3)2+y2=1 外切与圆 O2:(x-3)2+y2=81 内切, 试求动圆圆心的轨迹方程. 解析:两定圆的圆心、半径分别为 O1(-3,0),r1=1;O2(3,0),r2=9. 设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R 由题设条件知: |MO1|=1+R,|MO2|=9-R ∴|MO1|+|MO2|=10 由椭圆的定义知: M 在以 O1, O2 为焦点的椭圆上, 且 a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16 x2 y2 故动圆圆心的轨迹方程为 ? =1 25 16 温馨提示 两圆相切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,据此可以找到动圆圆心满 足的条件. 三、利用椭圆的标准方程解题 【例 3】 椭圆 5x2+ky2=5 的一个焦点为(0,2),则 k=________. y2 解析:将椭圆方程化为标准方程可得 x + =1,由一个焦点为(0,2)知, 5 k 2 5 5 a2= ,b2=1 且 a2-b2=c2,即 -1=4 得 k=1 k k 温馨提示 将椭圆方程化为标准形式可得 x2+ y2 =1,由其中一个焦点为(0,2)可确定 5 k a2-b2,通过 a,b,c 之间的关系确定 k 的值. 各个击破 类题演练 1 1 1 1 求经过两点 P1( , ),P2(0,- )的椭圆的标准方程 3 3 2 解法一:因为焦点位置不确定,故可考虑两种情形. (1)焦点在 x 轴上时: 设椭圆的方程为 x2 y2 ? =1(a>b>0). a2 b2 1 ? 1 2 ( )2 ? ( 3) ? 2 1 3 a ? , ? 2 ? 2 ? 1, ? ? a ? b 5 依题意知 ? 解得? 1 1 ? (? ) 2 ?b 2 ? . ? ? 2 ? 1, 4 ? 2 ? ? b 1 1 ∵ ? ,∴方程组无解. 5 4 (2)焦点在 y 轴上时: y2 x2 设椭圆的方程为 2 ? 2 =1(a>b>0). a b 1 2 ? 1 2 ( ) ( ) ? 3 ? 2 1 3 a ? ,

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