2018-2019学年高中数学人教A版选修4-1课件创新应用:第二讲 二 圆内接四边形的性质及判定定理_图文

理解教材新知 考点一 第 二 讲 二 把握热点考向 考点二 考点三 应用创新演练 二 圆内接四边形的性质及判定定理 1.圆内接四边形的性质 对角互补 . (1)圆的内接四边形___________ 如图:四边形 ABCD 内接于⊙O,则有: ∠D =180° ∠A+____ ,∠B+______ . ∠C =180° 内角的对角 . (2)圆内接四边形的外角等于它的_____________ 如图:∠CBE 是圆内接四边形 ABCD 的一外角,则有: ∠D ∠CBE=_______. 2.圆内接四边形的判定 对角互补 ,那么这个 (1)判定定理:如果一个四边形的___________ 四边形的四个顶点共圆. 对角 , (2)推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的_____ 共圆 . 那么这个四边形的四个顶点______ 圆内接四边形的性质 [例 1] 如图, AB 是⊙O 的直径, 弦 BD, CA 的延长线相交于点 E,EF 垂直 BA 的延 长线于点 F. 求证:∠DEA=∠DFA. [思路点拨] 本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应 用.解题时,只需证 A,D,E,F 四点共圆后可得结论. [证明] 连接 AD.因为 AB 为圆的直径, 所以∠ADB=90° . 又 EF⊥AB,∠EFA=90° ,所以 A,D,E,F 四点共圆. 所以∠DEA=∠DFA. 圆内接四边形的性质即对角互补, 一个外角等于其内角的 对角, 可用来作为三角形相似的条件, 从而证明一些比例式的 成立或证明某些等量关系. 1.圆内接四边形 ABCD 中,已知∠A,∠B,∠C 的度数比为 4∶3∶5,求四边形各角的度数. 解:设∠A,∠B,∠C 的度数分别为 4x,3x,5x, 则由∠A+∠C=180° , 可得 4x+5x=180° .∴x=20° . ∴∠A=4×20° =80° ,∠B=3×20° =60° , ∠C=5×20° =100° ,∠D=180° -∠B=120° . 2.已知:如图,四边形 ABCD 内接于圆, 延长 AD, BC 相交于点 E, 点 F 是 BD 的延长线上的点,且 DE 平分∠CDF. (1)求证:AB=AC; (2)若 AC=3 cm,AD=2 cm,求 DE 的长. 解:(1)证明: ∵∠ABC=∠2, ∠2=∠1=∠3,∠4=∠3, ∴∠ABC=∠4. ∴AB=AC. (2)∵∠3=∠4=∠ABC, ∠DAB=∠BAE, ∴△ABD∽△AEB. AB AD ∴AE= AB . ∵AB=AC=3,AD=2, AB2 9 ∴AE= AD = . 2 9 5 ∴DE= -2= (cm). 2 2 圆内接四边形的判定 [例 2] 如图,在△ABC 中,E,D,F 分别为 AB,BC,AC 的中点,且 AP⊥BC 于 P. 求证:E,D,P,F 四点共圆. [思路点拨] 可先连接 PF,构造四边形 EDPF 的外角∠ FPC,证明∠FPC=∠C,再证明∠FPC=∠FED 即可. [证明] 如图,连接 PF, ∵AP⊥BC,F 为 AC 的中点, 1 ∴PF= AC. 2 1 ∵FC= AC,∴PF=FC.∴∠FPC=∠C. 2 ∵E、F、D 分别为 AB,AC,BC 的中点. ∴EF∥CD,ED∥FC. ∴四边形 EDCF 为平行四边形,∴∠FED=∠C. ∴∠FPC=∠FED. ∴E,D,P,F 四点共圆. 证明四点共圆的方法常有:①如果四点与一定点等距离, 那么这四点共圆;②如果四边形的一组对角互补,那么这个四 边形的四个顶点共圆;③如果四边形的一个外角等于它的内对 角,那么这个四边形的四个顶点共圆;④如果两个三角形有公 共边,公共边所对的角相等且在公共边的同侧,那么这两个三 角形的四个顶点共圆. 3.判断下列各命题是否正确. (1)任意三角形都有一个外接圆,但可能不只一个; (2)矩形有唯一的外接圆; (3)菱形有外接圆; (4)正多边形有外接圆. 解:(1)错误,任意三角形有唯一的外接圆;(2)正确,因为 矩形对角线的交点到各顶点的距离相等;(3)错误,只有当 菱形是正方形时才有外接圆;(4)正确,因为正多边形的中 心到各顶点的距离相等. 4.已知:在△ABC 中,AD=DB,DF⊥AB 交 AC 于点 F, AE=EC,EG⊥AC 交 AB 于点 G.求证: (1)D、E、F、G 四点共圆; (2)G、B、C、F 四点共圆. 证明:(1)如图, 连接 GF, 由 DF⊥AB,EG⊥AC, 知∠GDF=∠GEF=90° , ∴GF 中点到 D、E、F、G 四点距离相等,∴D、E、F、 G 四点共圆. (2)连接 DE.由 AD=DB,AE=EC,知 DE∥BC, ∴∠ADE=∠B.又由(1)中 D、E、F、G 四点共圆, ∴∠ADE=∠GFE.∴∠GFE=∠B. ∴G、B、C、F 四点共圆. 圆内接四边形的综合应用 [例 3] 如图, 已知⊙O1 与⊙O2 相交 于 A、B 两点,P 是⊙O1 上一点,PA、 PB 的延长线分别交⊙O2 于点 D、C,⊙ O1 的直径 PE 的延长线交 CD 于点 M. 求证:PM⊥CD. [思路点拨] ⊙O1 与⊙O2 相交,考虑连接两交点 A、B 得 公共弦 AB;PE 是⊙O1 的直径,考虑连接 AE 或 BE 得 90° 的 圆周角;要证 PM⊥CD,再考虑证角相等. [证明] 如图, 分别连接 AB,AE, ∵A、B、C、D 四点共圆, ∴∠ABP=∠D. ∵A、E、B、P 四点共圆,∴∠ABP=∠AEP. ∴∠AEP=∠D.∴A、E、M、D 四点共圆. ∴∠PMC=∠DAE. ∵PE 是⊙O1 的直径,∴EA⊥PA. ∴∠PMC=∠DAE=90° . ∴PM⊥CD. 此类问题综合性强,知识点丰富,解决的办法大多是先 判断

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