宁夏银川一中2019届高三第三次月考数学(文)试题+Word版含答案


2019 届高三年级第三次月考

文科 数 学
命题人:
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则 A∩B= 3? ? A.?-3,-2? 3? ? B.?-3,2?

? 3? C.?1,2?

?3 ? D.?2,3?

2.已知向量 a =(1,m), b =(3,-2),且( a + b )⊥ b ,则 m= A.-8 B.-6 C.6 D.8

3.下列函数中,既是偶函数又在 (?? , 0) 上单调递增的函数是 A. y ? x 2 B. y ? 2 x C. y ? ln x
1

D. y ? x cos x

4.设不同直线 l1:2x-my-1=0,l2:(m-1)x-y+1=0.则“m=2”是 “l1∥l2”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

π? ? 5.已知函数 f(x)=sin?ωx+3?(ω>0)的最小正周期为 π,则该函数的图象

?π ? A.关于点?3 ,0?对称 ?π ? C.关于点?4 ,0?对称
6.若 cos( A. ?
1 2

π B.关于直线 x=4对称 π D.关于直线 x=3对称

? 1 ? ? )= ,则 sin2? = 4 2
B. ?
3 2

C.

1 2

D.

3 2

7.如图所示的是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图, 则该几何体的表面积为 A.20π B.24π C.28π D.32π

8.在等差数列 ?a n ? 中,已知 a 4 ? a 8 ? 16 ,则该数列前 11 项和 S 11 = A.58 B.88 C.143 D.176

9.设 α、β 为不重合的平面,m、n 为不重合的直线,则下列命题正确的是 A.若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥α B.若 m? α,n? β,m∥n,则 α∥β C.若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α⊥β D.若 n⊥α,n⊥β,m⊥β,则 m⊥α 10.已知直线 l:x+ay-1=0(a∈R)是圆 C:x2+y2-4x-2y+1=0 的对称轴,过点 A(-4,a) 作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|= A.2 B. 4 2 C.6 D.2 10

11.侧棱和底面垂直的三棱柱 ABC-A1B1C1 的六个顶点都在球 O 的球面上,若△ABC 是边长 为 7 的等边三角形,C1C= 2 3 ,则球 O 的表面积为 A.
8? 3

B.

16? 3

C.

28? 3

D.

64? 3

1 12.已知函数 y ? a ? 2 ln x ( x ? [ , e] ) 的图象上存在点 P,函数 y ? ? x 2 ? 2 的图象上存在点 e

Q,且点 P,Q 关于原点对称,则实数 a 的取值范围为 A. [e 2 ,? ?)
1 B. [3,4 ? ] e

C. [4 ?

1 2 ,e ] e2

D.[3, e2]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.共 20 分, 13.函数 f(x)=lnx-2x 的单调递增区间是________ 14.在 ?ABC 中, A ? 60? , BC ? 6 , AC ? 2 2 ,则 ?ABC 的面积为________. 15 . 函 数 y ? loga ( x ? 3) ? 1 (a ? 0,且a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线

mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则

1 2 ? 的最小值为 m n



16.函数 f ( x) ? e x ? e ? x ? ax ? 0 在 [ 0 , ? ?) 上恒成立,则实数 a 的取值范围是__________.

三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考 题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分) 17.(12 分) 风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树,记作 A,B,P,Q, 湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近.欲测量 P,Q 两棵树和 A,P 两棵树之间的距离,现可测得 A,B 两点间的距离为 100 m, ∠PAB=75° ,∠QAB=45° ,∠PBA=60° ,∠QBA=90° ,如图 所示.则 P,Q 两棵树和 A,P 两棵树之间的距离各为多少?

18.(12 分) 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1). (1)求{an}的通项公式; (2)等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和为 Tn,且 T3=15,又 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列,求 Tn.

19.(12 分) 如图,已知 AF⊥平面 ABCD,四边形 ABEF 为矩形, 四边形 ABCD 为直角梯形,∠DAB=90° ,AB∥CD, AD=AF=CD=2,AB=4. (1)求证:AC⊥平面 BCE; (2)求三棱锥 E-BCF 的体积.

20.(12 分) 已知圆 C: ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 ,直线 l1 过定点 A (1,0). (1)若 l1 与圆 C 相切,求 l1 的方程; (2)若 l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求三角形 CPQ 的面积的最大值,并求此时直线 l1 的 方程.

21.(12 分)

已知函数 f ( x) ? e x ? x 2 ? a, x ? R 的图像在点 x ? 0 处的切线为 y ? bx . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)当 x ? R 时,求证: f ( x) ? ? x 2 ? x ; (3)若 f ( x) ? kx 对任意的 x ? (0,??) 恒成立,求实数 k 的取值范围;

(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题做答,如果多做.则按所做的第 一题记分。 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分)
? 2 x?3? t ? ? 2 ( t 为参数) 在直角坐标系 xoy中, 直线 l 的参数方程为 ? , 在极坐标系 (与 ?y ? 5 ? 2 t ? 2 ?

直角坐标系 xoy取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的 方程为 ? ? 2 5 sin? . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A 、 B ,若点 P 的坐标为 ( 3 , 5 ) ,求 PA ? PB . 23.[选修 4-5:不等式选讲] 已知 a>0,b>0,c>0,求证:
a 4 ? b4 ? c 4 ? a?b?c . abc
1 1

银川一中 2019 届高三第三次月考数学(文科)试题参考答案
一.选择题 题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 C 5 A 6 A 7 C 8 B 9 D 10 C 11 D 12 D

二.填空题 1 13. (0,2) 三、解答题: 17.解 )=45° △PAB 中,∠APB=180° -(75° +60° , 14. 3 15.8 16.(- ? ,2]

AP 100 由正弦定理得sin60° =sin45° ? AP=50 6. △QAB 中,∠ABQ=90° , ∴AQ=100 2,∠PAQ=75° -45° =30° ,
2 2 2 50 6× 100 2cos30° 由余弦定理得 PQ =(50 6) +(100 2) -2× =5000,

∴PQ= 5000=50 2. 因此,P,Q 两棵树之间的距离为 50 2 m,A,P 两棵树之间的距离为 50 6 m. 18.解 (1)由 an+1=2Sn+1,可得 an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减得 an+1-an=2an,则 an+1

=3an(n≥2). 又 a2=2S1+1=3,∴a2=3a1. 故{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,∴an=3 (2)设{bn}的公差为 d. 由 T3=15,即 b1+b2+b3=15,可得 b2=5, 故 b1=5-d,b3=5+d,又 a1=1,a2=3,a3=9, (5+d+9)=(5+3)2,解得 d=2 或 由 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列可得(5-d+1)· d=-10. ∵等差数列{bn}的各项为正,∴d>0, ∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+ 19.解 n(n-1) 2=n2+2n. 2 ×
n-1

.

(1)证明:过点 C 作 CM⊥AB,垂足为 M,因为 AD⊥DC,

所以四边形 ADCM 为矩形,所以 AM=MB=2, 又 AD=2,AB=4,所以 AC=2 2,CM=2,BC=2 2, 所以 AC2+BC2=AB2,所以 AC⊥BC,因为 AF⊥平面 ABCD,AF∥BE, 所以 BE⊥平面 ABCD,所以 BE⊥AC. 又 BE? 平面 BCE,BC? 平面 BCE,且 BE∩BC=B,

所以 AC⊥平面 BCE. (2)因为 AF⊥平面 ABCD,所以 AF⊥CM, 又 CM⊥AB,AF? 平面 ABEF, AB? 平面 ABEF,AF∩AB=A,所以 CM⊥平面 ABEF. 1 1 1 8 VE-BCF=VC-BEF=3× BE× EF× CM=6× 2× 4× 2=3. 2× 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=4,CB=2,AA1=2,∠ACB=60° ,E、F 分别是 A1C1、BC 的中点. 20.(Ⅰ) ①若直线 l1 的斜率不存在,则直线 l1:x=1,符合题意. ②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2,即:
k? 3 . 4
3k ? 4 ? k k2 ?1 ? 2 ,解之得

所求直线 l1 的方程是 x ? 1 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 .

(Ⅱ) 直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0, 设直线方程为 kx ? y ? k ? 0 , 则圆心到直线 l1 的距离

d?

2k ? 4 1? k 2
y l1 Q M P 1 O A 1 x

又∵△CPQ 的面积

S?

1 d ?2 4?d2 ? d 4?d2 2
? (d 2 ? 2) 2 ? 4

C

= 4d 2 ? d 4 ? ∴当 d= 2 时,S 取得最大值 2. ∴d ?

2k ? 4 1? k 2

= 2

∴ k=1 或 k=7

所求直线 l1 方程为 x-y-1=0 或 7x-y-7=0 .

21.解:(1) f ( x) ? e x ? x 2 ? a, f ?( x) ? e x ? 2x
? f (0) ? 1 ? a ? 0 ? a ? ?1 由已知 ? 解得 ? ,故 f ( x) ? e x ? x 2 ? 1 ? b ? 1 f ( 0 ) ? 1 ? b ? ?

(2)令 g ( x) ? f ( x) ? x 2 ? x ? e x ? x ? 1 ,

由 g ?( x) ? e x ? 1 ? 0 得 x ? 0

当 x ? (??,0) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减;当 x ? (0,??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增 ∴ g ( x) min ? g (0) ? 0 ,从而 f ( x) ? ? x 2 ? x

(3) f ( x) ? kx 对任意的 x ? (0,??) 恒成立 ? 令
g( x ) ?

f ( x) ? k 对任意的 x ? (0,??) 恒成立 x

xf ?( x) ? f ( x) x(e x ? 2 x) ? (e x ? x 2 ? 1) ( x ? 1)(e x ? x ? 1) f ( x) , x ? 0 ,∴ g' ( x) ? ? ? x x2 x2 x2

由(2)可知当 x ? (0,??) 时, e 2 ? x ? 1 ? 0 恒成立 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ; g ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ∴ g ( x) 的增区间为 (1,?? ) ,减区间为 (0,1) , g ( x) m i n? g (1) ? 0 ∴ k ? g ( x) min ? g (1) ? 0 ,∴实数 k 的取值范围为 ( ??,0) 22.解:(1)? C : ? ? 2 5 sin ? ? C : ? 2 ? 2 5? sin ?

? C : x2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0 ,即圆 C 的标准方程为 x 2 ? ( y ? 5 )2 ? 5 .
(2)设直线 l 圆 C 的两个交点 A 、 B 分别对应参数 t1 , t 2 ,则

? 2 x ? 3? t ? ? 2 将方程 ? 代入 C : x 2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0 得: t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0 ?y ? 5 ? 2 t ? 2 ?

? t1 ? t2 ? 3 2 , t1 ? t2 ? 4 ? t1 ? 0 , t2 ? 0
由参数 t 的几何意义知: PA ? t1 ? t1 , PB ? t2 ? t2

?

1 1 1 1 t ?t 3 2 ? ? ? ? 1 2? . PA PB t1 t2 t1 ? t2 4

?a 4 ? b4 ? 2a 2b2 ? 4 4 2 2 23. 解: ?b ? c ? 2b c 得: a 4 ? b4 ? c 4 ? a 2b2 ? b2c 2 ? a 2c 2 ?a 4 ? c 4 ? 2a 2c 2 ? ?a 2b 2 ? b 2c 2 ? ab 2c ? 2 2 2 2 2 又: ?b c ? a c ? abc 得: a 2b2 ? b2c 2 ? a 2c 2 ? ab2c ? abc 2 ? a 2bc ?a 2b 2 ? a 2c 2 ? a 2bc ?
得: a4 ? b4 ? c4 ? ab2c ? abc2 ? a2bc ;所以

a 4 ? b4 ? c 4 ≥a ? b ? c abc


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