人教b版高中数学选修:第二章圆锥曲线与方程2.1.3椭圆的几何性质二导学案含答案


2.1.3 椭圆的几何性质(二) 课堂导学 三点剖析 一、椭圆的第二定义 x2 y2 【例 1】 椭圆 ? =1 上有一点 P,它到左准线的距离等于 2.5,求 P 到 25 9 右焦点的距离. 2a 2 50 ? 解法一: 如图, 设 P 到左、 右准线的距离分别为 d1,d2, 则 d1+d2= =12.5. c 4 又 d1=2.5,所以 d2=10. 又 | PF 2 | 4 ?e? , 2 5 d 4 4 d 2 ? ? 10 ? 8. ∴|PF2|= · 5 5 解法二:由 | PF1 | c 4 ? ? 及 d1=2.5, d1 a 5 4 得|PF1|= ·d1=2. 5 又|PF1|+|PF2|=2a=10, ∴|PF2|=10-|PF1|=8. 温馨提示 根据椭圆的第二定义,往往把椭圆上的点到焦点的距离转化到该点到相应准 线的距离. 二、焦半径 【例 2】 对于椭圆 x2 y2 ? =1.(a>b>0)它的左、右焦点分别是 F1(-c,0)和 a2 b2 F2(c,0),P(x0,y0)是椭圆上的任一点,求证:|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,其中 e 是椭 圆的离心率. 证明:椭圆 x2 y2 ? =1(a>b>0)的两焦点 a2 b2 F1(-c,0)、F2(c,0),相应的准线方程分别是 x= ? a2 a2 2 和 x= . c c ∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离 心率. ∴ | PF1 | | PF | ? e, 2 2 ? e. 2 a a x0 ? ? x0 c c 化简得:|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0. 温馨提示 |PF1|、|PF2|都是椭圆上的点到焦点的距离,习惯称作焦点半 径.|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0 称作焦半径公式,结合这两个公式,显然到焦点距离 最远(近)点为长轴端点. 三、利用椭圆第二定义求最值 【例 3】 已知定点 A(-2, 3 ),点 F 为椭圆 x2 y2 ? =1 的右焦点,点 M 的椭 16 12 圆上移动时,求|AM|+2|MF|的最小值,并求此时点 M 的坐标. 解析:由椭圆方程,得 a=4,b=2 3 ,c=2, 1 ∴e= ,右焦点 F(2,0),右准线 l:x=8. 2 | MF | 1 ? e ? ,即|2MF|=d. 设点 M 到右准线 l 的距离为 d,则 d 2 ∴|AM|+2|MF|=|AM|+d. 由于 A 在椭圆内,过 A 作 AK⊥l,K 为垂足,易证|AM|即为|AM|+d 的最小值, 其值为 8-(-2)=10. 此时 M 点纵坐标为 3 ,得横坐标为 2 3 . ∴|AM|+2|MF|的最小值为 10,这时点 M 的坐标为(2 3 , 3 ). 温馨提示 (1)转化是一种重要的数学思想,本题利用第二定义,将看似没有“出路”的 问题巧妙地化解了. (2)本题实际上要求对椭圆的第二定义有深刻的理解,在后面的双曲线、抛物 线中也有类似问题,注意总结规律. 各个击破 类题演练 1 在椭圆 x2 y2 ? =1 上求一点 P, 使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍. 25 9 解析:设 P 点的坐标为(x,y),F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点. ∵椭圆的准线方程为 x=± 25 , 4 ∴ | PF1 | | PF2 | ? , 25 25 ?x ?x 4 4 ∵|PF1|=2|PF2|, ∴ 2 | PF2 | | P

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