人教b版高中数学选修:第二章圆锥曲线与方程2.1.3椭圆的几何性质二导学案含答案

2.1.3 椭圆的几何性质(二) 课堂导学 三点剖析 一、椭圆的第二定义 x2 y2 【例 1】 椭圆 ? =1 上有一点 P,它到左准线的距离等于 2.5,求 P 到 25 9 右焦点的距离. 2a 2 50 ? 解法一: 如图, 设 P 到左、 右准线的距离分别为 d1,d2, 则 d1+d2= =12.5. c 4 又 d1=2.5,所以 d2=10. 又 | PF 2 | 4 ?e? , 2 5 d 4 4 d 2 ? ? 10 ? 8. ∴|PF2|= · 5 5 解法二:由 | PF1 | c 4 ? ? 及 d1=2.5, d1 a 5 4 得|PF1|= ·d1=2. 5 又|PF1|+|PF2|=2a=10, ∴|PF2|=10-|PF1|=8. 温馨提示 根据椭圆的第二定义,往往把椭圆上的点到焦点的距离转化到该点到相应准 线的距离. 二、焦半径 【例 2】 对于椭圆 x2 y2 ? =1.(a>b>0)它的左、右焦点分别是 F1(-c,0)和 a2 b2 F2(c,0),P(x0,y0)是椭圆上的任一点,求证:|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,其中 e 是椭 圆的离心率. 证明:椭圆 x2 y2 ? =1(a>b>0)的两焦点 a2 b2 F1(-c,0)、F2(c,0),相应的准线方程分别是 x= ? a2 a2 2 和 x= . c c ∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离 心率. ∴ | PF1 | | PF | ? e, 2 2 ? e. 2 a a x0 ? ? x0 c c 化简得:|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0. 温馨提示 |PF1|、|PF2|都是椭圆上的点到焦点的距离,习惯称作焦点半 径.|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0 称作焦半径公式,结合这两个公式,显然到焦点距离 最远(近)点为长轴端点. 三、利用椭圆第二定义求最值 【例 3】 已知定点 A(-2, 3 ),点 F 为椭圆 x2 y2 ? =1 的右焦点,点 M 的椭 16 12 圆上移动时,求|AM|+2|MF|的最小值,并求此时点 M 的坐标. 解析:由椭圆方程,得 a=4,b=2 3 ,c=2, 1 ∴e= ,右焦点 F(2,0),右准线 l:x=8. 2 | MF | 1 ? e ? ,即|2MF|=d. 设点 M 到右准线 l 的距离为 d,则 d 2 ∴|AM|+2|MF|=|AM|+d. 由于 A 在椭圆内,过 A 作 AK⊥l,K 为垂足,易证|AM|即为|AM|+d 的最小值, 其值为 8-(-2)=10. 此时 M 点纵坐标为 3 ,得横坐标为 2 3 . ∴|AM|+2|MF|的最小值为 10,这时点 M 的坐标为(2 3 , 3 ). 温馨提示 (1)转化是一种重要的数学思想,本题利用第二定义,将看似没有“出路”的 问题巧妙地化解了. (2)本题实际上要求对椭圆的第二定义有深刻的理解,在后面的双曲线、抛物 线中也有类似问题,注意总结规律. 各个击破 类题演练 1 在椭圆 x2 y2 ? =1 上求一点 P, 使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍. 25 9 解析:设 P 点的坐标为(x,y),F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点. ∵椭圆的准线方程为 x=± 25 , 4 ∴ | PF1 | | PF2 | ? , 25 25 ?x ?x 4 4 ∵|PF1|=2|PF2|, ∴ 2 | PF2 | | PF2 | 25 ? ,? x ? . 25 25 12 ?x ?x 4 4 25 x2 y2 把 x= 代入方程 ? =1 12 25 9 得 y=± 119 . 4 25 119 ). ,? 12 4 因此,P 点的坐标为( 变式提升 1 点 M(x,y)与定点(3,0)的距离和它到直线 l:x= M 的轨迹方程. 解:设 d 是点 M 到直线 l:x= 由题意,点 M 的轨迹就是集合 | MF | 3 ? ? P ? ?M | ? ? d 5? ? 25 的距离. 3 25 3 的距离的比是常数 ,求点 3 5 由此的 ( x ? 3) 2 ? y 2 3 ? 25 5 | ?x| 3 化简得 16x2+25y2=400 即 x2 x2 ? =1 25 16 类题演练 2 设椭圆的左焦点为 F,AB 为椭圆中过 F 的弦,试判断以 AB 为直径的圆与左 准线的位置关系. 解:设 M 为弦 AB 的中点(即圆心),A′,B′,M′分别是 A,B,M 的准线 l 上的射影,由椭圆第二定义,得|AB|=|AF|+|BF|=e(|AA′|+|BB′|). ∵0<e<1, ∴|AB|<|AA′|+|BB′|=2|MM′|, ∴ | AB | <|MM′|, 2 ∴以 AB 为直径的圆与左准线相离. 变式提升 2 椭圆 x2 y2 ? =1 上一点 P 到两焦点的距离之积为 m,则当 m 取得最大值时, 点 25 9 P 的坐标是( ) A.(5,0)和(-5,0) 5 3 3 5 3 3 B.( , )和( ,? ) 2 2 2 2 C.(0,3)和(0,-3) D.( 5 3 5 3 3 3, ) ,? )和( ? 2 2 2 2 解析:设 d1,d2 是点 P 到两焦点的距离于是 m=d1·d2=(a+ex0)·(a-ex0) =a2-e2x0.由于-5≤x0≤5,所以当 x0=0 时,m 取得最大值 a2.因此,点 P 的坐标 为(0,3)和(0,-3). 答案:C 类题演练 3 设 P(x0,y0)是椭圆 x2 y2 ? =1(a>b>0)上任意一点,F1 为其左焦点. a2 b2 (1)求|PF1|的最小值和最大值; (2)在椭圆 x2 y2 ? =1 上求一点 P,使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直. 25 5 |

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