2013年北京市丰台区高三一模数学文科试卷及答案


丰台区 2013 年高三年级第二学期统一练习(一) 数学(文科)
一、选择题 1. 复数 z=

i ?1 在复平面内对应的点位于 i
(B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

(A) 第一象限

2.若集合 A= { y y ? sin x , x ? R},B={-2,-1,0,1,2},则集合( ?R A ) ? B 等于 (A) {-2,-1} (C) {-2,-1,2} (B) {-2,-1,0,1,2} (D) {?2, 2} 开始
b ? 0, k ? 1

S 3. 设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,2a3 ? a4 ? 0 , 则 3( a1
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5


2 a ? k ? ( )k 3

b?a k ? k ?1

4.执行右边的程序框图所得的结果是 (A)3 5. 已知椭圆 (B)4 (C)5 (D) 6

b ? 1? a
是 输出 k 结束



x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点重 2 a 2

合,则该椭圆的离心率是 (A)

3 2

(B)

2 3 3

(C)

2 2
x

(D)

6 3

6.已知命题 p: ?x ? (0, ??),3 ? 2 ,命题 q: ?x ? (??,0),3x ? 2 x ,
x

则下列命题为真命题的是 (A) p ? q (C) (B) p ? (?q) (D) (?p) ? (?q)

(?p) ? q

7.某四面体三视图如图所示,则该四面体的四个面中,直角三角 形的面积和是 (A) 2 (B) 4 (C) 2 ? 5 (D) 4 ? 2 5

8.如果函数 y=f(x)图像上任意一点的坐标(x,y)都满足方程 lg( x ? y) ? lg x ? lg y ,那么正确的选项 是

(A) y=f(x)是区间(0, ?? )上的减函数,且 x+y ? 4 (B) y=f(x)是区间(1, ?? )上的增函数,且 x+y ? 4 (C) y=f(x)是区间(1, ?? )上的减函数,且 x+y ? 4 (D) y=f(x)是区间(1, ?? )上的减函数,且 x+y ? 4 二.填空题 9. 若 cos x ?

3 , tan x ? 0 ,则 sin x = 5



10. 某校从高一年级学生中随机抽取 100 名学生,将他们 期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段:[40,50), [50,60), [90,100]后得到频率分布直方图(如图所示). ?, 则 分数在[70,80)内的人数是________ 11.直线 x- 3 y+2=0 被圆 x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为 _________。

?x ? y ? 1 ? 12.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为________。 ?x ? y ? 1 ?
??? ??? ? ? 13. 在直角梯形 ABCD 中, ∥BC, AD ∠A=90° AB=AD=1, , BC=2, 是 CD 的中点,则 CD ? BE ? E

.

? x2 ? 2ax, x ? 1, 3 2 ? 14. 已知实数 a ? 0, f ( x) ? ? 若方程 f ( x) ? ? a 有且仅有两个不等实根, 且较大实 4 ?log 1 x, x ? 1, ? 2
根大于 2,则实数 a 的取值范围是 三.解答题 15. 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2cos x.
2 2



(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [

? 3?
4 , 4

] 上的值域.

16. 如图,四棱锥 P-ABCD 中, BC∥AD,BC=1,AD=3,
P

AC⊥CD,且平面 PCD⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:AC⊥PD; (Ⅱ)在线段 PA 上,是否存在点 E,使 BE∥平面 PCD?
A D C E

B

若存在,求

PE 的值;若不存在,请说明理由。 PA

17. 在一次抽奖活动中,有 a、b、c、d、e、f 共 6 人获得抽奖的机会。抽奖规则如下:主办方先从 6 人中随机抽取两人均获一等奖,再从余下的 4 人中随机抽取 1 人获二等奖,最后还从这 4 人中随机 抽取 1 人获三等奖。 (Ⅰ)求 a 能获一等奖的概率; (Ⅱ)若 a、b 已获一等奖,求 c 能获奖的概率。

18. 已知函数 f ( x) ?

1 , g ( x) ? bx2 ? 3x . x?a

(1)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,且 h(1) ? h' (1) ? 0 求 a,b 的值; (2)当 a=2 且 b=4 时,求函数 ? ( x ) ? 上的最大值。

1 g ( x) 的单调区间,并求该函数在区间(-2,m] ( ?2 ? m ? ) 4 f ( x)

x2 y 2 19.已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F(2,0),且过点 P(2, 2 ).直线 l 过点 F a b
且交椭圆 C 于 A、B 两点。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点为 M( 20. 设满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , ???, an 为 n(n=2,3,4,?,)阶“期待数列” : ① ②

1 ,0 ) ,求直线 l 的方程. 2

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 ;

a1 ? a2 ? a3 ??? an ? 1.

(Ⅰ)分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列” ; (Ⅱ)若某 2013 阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; (Ⅲ)记 n 阶“期待数列”的前 k 项和为 Sk (k ? 1, 2,3,?, n) ,试证: S k ?

1 . 2

丰台区 2013 年高三年级第二学期统一练习(一) 数学(文科)参考答案

一、选择题 题号 答案 二.填空题 9. ? 1 A 2 D 3 B 4 A 5 D 6 B 7 C 8 C

4 ; 10. 30 ; 11. 5

2 3 ;

12. 2 ;

13. -1 ;

14.

(

2 3 , 2] . 3

三.解答题 15. (本题 13 分)已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2cos x.
2 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间;

? 3? (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [ , ] 上的值域. 4 4
2 解: (Ⅰ) f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? 2 cos x ?

2 sin(2 x ? ) , ?????????????3 分 4

?

? 最小正周期 T= ? , ?????..????????????????????????4 分
3? ](k ? Z ) , ?????????????????????7 分 8 8 ? 3? ? 3? ? ? 5? ,? ? 2 x ? (Ⅱ)? ? x ? ,? ? 2 x ? ? , ???????????10 分 4 4 2 2 4 4 4 ? 3? ????????????????????13 分 ? f ( x) 在 [ , ] 上的值域是 [?1, 2] . 4 4
单调增区间 [k? ?

?

, k? ?

16. (本题 13 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中, BC∥AD,BC=1,AD=3,AC⊥CD,且平面 PCD⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:AC⊥PD; (Ⅱ)在线段 PA 上,是否存在点 E,使 BE∥平面 PCD?若存在, 求

PE 的值;若不存在,请说明理由。 PA

P E F

解: (Ⅰ)∵平面 PCD⊥平面 ABCD,平面 PCD∩平面 ABCD=CD, AC ⊥CD , AC? 平面 ABCD , ∴AC⊥平面 PCD, ∵PD? 平面 PCD , ∴AC⊥PD. .................................6 分 ...........................4 分
B C A D

(Ⅱ)线段 PA 上,存在点 E,使 BE∥平面 PCD, ......7 分 ∵AD=3, ∴在△PAD 中,存在 EF//AD(E,F 分别在 AP,PD 上) ,且使 EF=1,

又∵ BC∥AD,∴BC∥EF,且 BC=EF, ∴四边形 BCFE 是平行四边形, ...................................................9 分

∴BE//CF, BE ? 平面PC D , F ? 平面PC D , C ∴BE∥平面 PCD, ∵EF =1,AD=3, ∴ ..............................................................11 分

EF PE 1 ? ? . ..............................................................13 分 AD PA 3

17. (本题 13 分) 在一次抽奖活动中,有 a、b、c、d、e、f 共 6 人获得抽奖的机会。抽奖规则如 下:主办方先从 6 人中随机抽取两人均获一等奖,再从余下的 4 人中随机抽取 1 人获二等奖,最后还 从这 4 人中随机抽取 1 人获三等奖。 (Ⅰ)求 a 能获一等奖的概率; (Ⅱ)若 a、b 已获一等奖,求 c 能获奖的概率。 解: (Ⅰ)设“a 能获一等奖”为事件 A, 事件 A 等价于事件“从 6 人中随机取抽两人,能抽到 a”.从 6 人中随机抽取两人的基本事件有 (a、b)(a、c)(a、d)(a、e)(a、f)(b、c)(b、d)(b、e)(b、f)(c、d)(c、e) 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 (c、f)(d、e)(d、f)(e、f)15 个, 、 、 、 包含 a 的有 5 个,所以,P(A)= 答: a 能获一等奖的概率为 ?????????????????????4 分

5 1 ? , 15 3
??????????????????????6 分

1 . 3

(Ⅱ)设“若 a、b 已获一等奖,c 能获奖”为事件 B, a、b 已获一等奖,余下的四个人中,获奖的基本事件有(c,c)(c、d)(c、e)(c、f)(d, 、 、 、 、 c)(d、d)(d、e)(d、f)(e,c)(e、d)(e、e)(e、f)(f,c)(f、d)(f、e)(f、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 f) 个, 16 ??????????????????????????????????11 分

7 , 16 7 答: 若 a、b 已获一等奖,c 能获奖的概率为 . ???????????????????13 分 16 1 2 18. (本题 14 分) 已知函数 f ( x) ? , g ( x) ? bx ? 3x . x?a
其中含有 c 的有 7 种,所以,P(B)=
' (1)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,且 h(1) ? h (1) ? 0 求 a,b 的值;

(2)当 a=2 且 b=4 时, 求函数 ? ( x ) ?

1 g ( x) 的单调区间, 并讨论该函数在区间 (-2, ( ?2 ? m ? ) m] 4 f ( x)

上的最大值。 解:(Ⅰ)函数 h(x)定义域为{x|x≠-a},???????????????????????1 分 则 h?( x) ? f ?( x) ? g ?( x) ? ?

1 ?????????????????????3 分 ? 2bx ? 3 , ( x ? a) 2

? 1 4 ? ?1 ? a ? b ? 3 ? 0, ?h(1) ? 0, ?a ? 0, ? ?a ? ? , 因为 ? 所以 ? 解得, ? 或? 3 ????????6 分 1 h?(1) ? 0. b ? ?2, ? ? ? ?? ? 2b ? 3 ? 0. ?b ? ?6. ? (1 ? a) 2 ?
(Ⅱ)记 ? (x)=

g ( x) 2 ,则 ? (x)=(x+a)(bx +3x)(x≠-a) , f ( x)

? 因为 a=2,b=4,所以 ? ( x) ? ( x ? 2)(4x2 ? 3x) (x≠-2), ???????????????7 分

??( x) ? 12x2 ? 22x ? 6 ? 2(2x ? 3)(3x ? 1) ,
3 1 ,或 x ? ? , ???????????????????????8 分 2 3 3 1 3 1 当 x ? ? ,或 x ? ? 时, ? ?( x) ? 0 ,当 ? ? x ? ? 时, ? ?( x) ? 0 , 2 3 2 3 3 1 ? 函数 ? ( x) 的单调递增区间为 (??, ?2), (?2, ? ), (? , ??) , 2 3 3 1 单调递减区间为 (? , ? ) , ????????????????????????????10 分 2 3 3 ①当-2<m< ? 时, ? (x)在(-2,m)上单调递增, 2
令 ? ?( x) ? 0 ,得 x ? ?

? 其最大值为 ? (m)= 4m3 ? 11m2 ? 6m , ?????????????????????12 分
3 1 3 3 1 1 ≤m≤ 时, ? (x)在(-2, ? )上单调递增,在( ? ,- )上单调递减,在( ? ,m) 2 4 2 2 3 3 3 1 9 上单调递增,而 ? ( ? )= ? ( )= , 2 4 4 9 ?????????????????????????????14 分 ? ? (x)的最大值为 . 4
②当 ? 19. (本题 13 分)已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F(2,0),且过点(2, 2 ).直 a 2 b2

线 l 过点 F 且交椭圆 C 于 A、B 两点。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点为 M(

1 ,0 ) ,求直线 l 的方程. 2

解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,则 a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? 4 x2 y 2 ? 2 2 ,解得 a ? 8 , b ? 4 ,所以椭圆 C 的方程为 ? ? 1 ,???????.5 分 ?4 2 8 4 ? 2 ? 2 ?1 ?a b
(Ⅱ)当斜率不存在时,不符合题意,????????????????????????6 分 当斜率存在时设直线 l 的方程为 y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点为 N(x0,y0),

? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 8 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 4 ? y ? k ( x ? 2) ?

???????????????7 分

因为 ? ? 64k 4 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 8) ? 32(k 2 ? 1) ? 0 , X|k 所以 x1 ? x2 ?

|B| 1 . c|O |m

8k 2 , ??????????????????????????????8 分 1 ? 2k 2

?2k x1 ? x2 4k 2 ? 所以 x0 ? , y0 ? k ( x0 ? 2) ? , ????????????????9 分 2 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k
因为线段 AB 的垂直平分线过点 M(

1 , 0 ), 2

所以 kMN ? k ? ?1 ,即

y0 x0 ? 1 2

? k ? ?1,所以 ?

2k 2 4k 2 1 ?? ? , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

解得, k ? ?

2 , ????????????????????????????????12 分 2

所以直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 或 x ? 2 y ? 2 ? 0 ????????????????13 分

20. (本题 14 分)设满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , ???, an 为 n(n=2,3,4,?,)阶“期待数列” : ③ ④

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 ;
a1 ? a2 ? a3 ??? an ? 1.

(Ⅰ)分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列” ; (Ⅱ)若某个 2013 阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; (Ⅲ)记 n 阶“期待数列”的前 k 项和为 Sk (k ? 1, 2,3,?, n) ,试证: S k ?

1 . 2

解: (Ⅰ)数列 ?

1 1 , 0, 为三阶期待数列??????????????????????1 分 2 2

数列 ?

3 1 1 3 , ? , , 为四阶期待数列,???????????????3 分(其它答案酌情给分) 8 8 8 8
? a3 ? ? ? a2013 ? 0 ,? 2013(a1 ? a2013 ) ? 0, ? a1 ? a2013 ? 0 ,
2

(Ⅱ)设该 2013 阶“期待数列”的公差为 d , 因为 a1 ? a2 即 a1007

? 0 , ? a1008 ? d ,??????????????????????????5 分

当 d=0 时,与期待数列的条件①②矛盾, 当 d>0 时,据期待数列的条件①②可得 a1008

? a1009 ? ? ? a2013 ?

1 , 2

? 1006d ?

1006 ?1005 1 1 d ? , 即d ? , ??????????????????6 分 2 2 1006 ?1007

? 该数列的通项公式为 an ? a1007 ? (n ? 1007)d ?
当 d<0 时,同理可得 an ?

n ? 1007 . ? n ? N *且n ? 2013? ,?7 分 1006 ?1007

? n ? 1007 . ? n ? N *且n ? 2013? .?????????????8 分 1006 ? 1007

(Ⅲ)当 k=n 时,显然

Sn ? 0 ?

1 成立; 2

??????????????????????9 分

当 k<n 时,根据条件①得

Sk ? a1 ? a2 ? ?? ak ? ?(ak ?1 ? ak ?2 ????? an ) ,
即 S k ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ak ?2 ? ? ? an

?????????????10 分 ,??????????????11 分

? 2 Sk ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ak ? 2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ak ? 2 ? ? ? an ? 1,

Sk ?

1 (k ? 1, 2,3,? , n). 2 ???????????????????????????14 分


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