(数学[实验班])深圳科学高中2013届高一上学期期末考试


深圳科学高中 2013 届高一上学期期末考试 数 学

(实验、荣誉体系) 考试时长:120 分钟 卷面总分:120 分 注意事项:答案写在答题卡指定的位置上,写在试题卷上无效.选择题作答必须用 2B 铅 笔,修改时用橡皮擦干净.解答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写,答题不得超出 答题框. 相关公式: V台体 ?

1 h S1 ? S 2 ? S1S 2) ( 3

一、选择题(只有一个答案正确,8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 1. 若 a,b 为异面直线,直线 c∥ a,则 c 与 b 的位置关系是 (A) 相交 (B)异面 (C)平行 (D) 异面或相交

2. 直线 l 上一点(-1,-2),倾斜角为 α,且 tan (A) 3x ? y ? 2 ? 3 ? 0 (C) 4 x+3 y+10=0

? 3 ,则直线 l 的方程是 ? 2 3

(B) 4 x-3 y-10=0 (D) 3x ? y ? 2 ? 3 ? 0

3.三棱锥的三条侧棱两两垂直,则顶点在底面的射影是底面三角形的 (A) 内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心 4.点 A(0,1) 和 B(2, 0) ,直线 l 是线段 AB 的中垂线,则 l 的方程为 (A) 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 (C) 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 (B) 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 (D) 4 x ? 2 y ? 3 ? 0

5. 如图,PA ⊥ 平面 ABC,AB 是圆的直径,C 是圆上的任意 点(不同于 A,B),则图中互相垂直的平面共有 (A)2 组 (B) 3 组 (C)4 组 (D)5 组

6.已知圆: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0) 关于直线:y= x 对称,且过 坐标原点,则有 (A) D ? E, F=0 (B) D=F, E=0 (C) D=E ? 0 , F=0 (D) D=E=F=0 7.已知 a ∥ ?,b∥ ?,则直线 a ,b 的位置关系:① 面 面 平行;② 垂直不相交;③ 垂直相交; ④ 相交;⑤ 不垂直且不相交;其中可能成立的有 (A) 2 个 (B) 3 个 (C) 4 个 (D)
2

5个
2

8.已知直线 l : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与圆 C : ( x ? 4) ? ( y ?1) ? 9 ,则直线 l 与 C 的位置 关系是 (A) l 与 C 相切 (B) l 与 C 相交且过 C 的圆心
1

(C) l 与 C 相交且不过 C 的圆心 (D) l 与 C 相离 二、填空题(6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.若一个正三棱柱的三视图如下图所示, 则这个正三棱柱的侧面积等于
2 3
主视图 左视图 2

10.已知点A(0, 0), B(?4, 0), C (0, 6), 则?ABC外接圆的方程
11. 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径, 则圆柱、圆锥、球的体积的比为 .

俯视图

12 . 右 图 的 长 方 体 ABCD- A1B1C1D1 中 AB= BB1 且 BC=2AB,E,F 分别是 BC1 , A1 D1 的中点,则异面直线 BE 与 DF 所成的角是_______ 13.直线 L1: ax ? 3 y ? 1 ? 0 若 L1∥ 2,则 a ? L . L2: 2 x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 ,

? 14. 已知 a, 是两条直线, , ? 是两个平面, b 有下列 4 个命题: (1)若 a ∥ b, b ? ? , a // ? ; 则
(2)若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 b // ? ; (3)若 ? ? ? , a ? ? , b ? ? ,则 a ? b ; .

(4)若 a, b 是异面直线, a ? ? , b ? ? ,则 ? // ? .其中正确的命题的序号是

三、解答题(6 大题,共 64 分) 15.(本题 10 分) 如图,正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, (1)求证:直线 A1 B // 平面 ACD1 (2)求证: AC ? BD1 ;

2

16. (本题 10 分)直线过点 P(2,2) ,且截圆 x 2 ? y 2 ? 4 所得的弦长为 2,求直线的斜率

17. (10分)如图,边长为 4 的正方形ABCD中 (1) E,F分别是AB,BC的中点,将?AED,?CFD分别沿DE,DF折A起,使A,C两点 点 重合于点A?,求证:面A? DF ? 面A? EF. (2)当BE=BF= 1 BC时,求三棱锥A?-EFD 的高 4

18. (本题10分)已知AD是?ABC边BC 的中线,用坐标法证明: AB ? AC ? 2( AD ? DC )
2 2 2 2

19.(本题 12 分)已知圆过三点 0(0,0) ,M(1,1) ,N(4,2) (1)求圆的方程. (2)若点 P ( x, y ) 在圆上运动,求

y?3 的最大、最小值 x?6

3

20.(本题 12 分)已知正方形 ABCD 的边长为 2,中心为 O, 四边形 PACE 是直角梯形, 设 PA ? 平面ABCD ,且 PA=2,CE=1, (1) 求证: 面 PAD // 面 BCE. (2) 求 PO 与平面 PAD 所成角的正弦. (3)求二面角 P—EB—C 的正切值.

4

参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空 9. 24 ; 12. 90
0

1 D

2 A

3 D

4 B

5 B

6 C

7 D

8 C

10. ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 13 ; 13. -3 ;

11. 3:1:2; 14. (2),(3)



三、解答题

15.(1)连接A1 B,由已知得:A1 D1 / /BC ,四边形A1 BCD1是平行四边形 ??? 2分 ? A1 B / / D1C ??? 3分 由D1C ? 面D1 AC ,? A1B / / 面AD1C ??? 5分 (亦可以证明面A1C1 B / / 面AD1C , 得出A1B / / 面AD1C) (2) ? BD,AC ? DD1 , BD ? DD1 ? D, BD,DD1 ? 面BDD1 AC ? AC ? 面BDD1, 8分, ??? BD1 ? 面BDD1 ,? AC ? BD1 ???10分

16.设所求方程为:y ? 2 ? k ( x ? 2), 即:kx ? y ? 2 ? 2k ? 0 ??? 2分 由垂径定理知:原点到直线的距离为 3 ??? 4分 ? 3 ??????6分 12 ? k 2 平方、化简得:k 2 ? 8k ? 1 ? 0 ??????8分 求得:k =4+ 15 或 k =4- 15 ??????10分 k ? 0 ? 0 ? 2 ? 2k

17. (1) A?D ? A?E , A?D ? A?F , ?????? 2分 A?E ? A?F ? A, A?E , A?F ? 面A?EF, A?D ? 面A?EF ??????4分 ? 又 EF ? 面A?EF ,? A?D ? EF ??????5分 (2) 解法一、VA?? DEF ? VD ? A?EF , 设所求的高为 h 1 1 1 h ? S ?DEF ? A?D ? A?E ? A?F ??????7分 3 3 2 1 1 1 1 34 即: h( ? 16- -3 ? 4) ? 4 ? ? 2 ? ? ??????9分 3 2 3 2 2 4 17 h? ??????10分 7

5

19. 1)设圆方程为:x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey+F =0 ??????1分 ( 因为O, M , N 三点在圆上,其坐标适合方程,把它们的 坐标依次代人方程得: ?F ? 0 ? ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ? 解得:D ? ?8, E ? 6, F ? 0 所求圆方程:x ? y -8 x ? 6y=0
2 2

??????3分 ??????5分 ??????6分

(2) 设k=

y?3 , 即:y ? 3=k(x +6), ??????7分 x?6 问题转化为:求点P(-6,-3)与圆上点(x,y)连线斜率的最大最小值. 由图可知,当直线与圆相切时取到最值. 由(1)知,圆心C(4,-3),半径为 5,由相切的条件得: 4k ? 3 ? 6k ? 3 k 2 ?1 解得:k ? ?5 ??????10分 ??????11分 ????? ?12分 ??????9分

3 3 或k ? 3 3 y?3 3 3 因此 的最大值是 ,最小值是. x?6 3 3 (直接根据图形用几何法解参照给分)

6

(2) PA ? 面ABCD, PA ? 面PAD,? 面PAD ? 面ABCD ? ? GPO是PO与面PAD所成的角. ? PO= PA2 ? OA2 ? 6, OG ? 1,sin ? GPO ? 6 6

??????4分 ??????6分 ??????7分

过 O 作 OG ? AD 于 G 则 OG ? 面PAD, 连接GP, GP是OP在面PAD 内的射影

(3) 把图补成如图的形状使BCFG是正方形,连接PG.则PG ? 面BCFG ??????8分 取BC 的中点H ,连接GH 交BE与R,连接PR, 由 ?GBR ? ?BCE , 得:GR ? BE,又PG ? 面BCFG,? PG ? BE ? BE ? 面RPG,BE ? PR, ?PRG是所求二面角的平面角的补角. 又 GH = 5, BG 2 =GR ? GH ,? GR ? tan ?PRG ? GP 5 ? GR 2 5 2 4 5 5 ??????9分 ??????10分 ??????11分 ??????12分

所求二面角的正切是-

7


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