山东省淄博六中2013-2014学年高二数学上学期期末考试 理 新人教A版

淄博六中 12 级第一学期学分认定模块考试 高二 第一学段 数学试卷

注意事项:

1.答卷前,考生务必用钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题纸和答题卡的相应位置 处。

2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

3.非选择题答案必须写在答题纸相应位置处,不按要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡和答题纸一并收回。

第Ⅰ卷 60 分 一.选择题(每小题 5 分,12 小题共 60 分) 1.已知数列{an}的前 4 项分别为 2,0,2,0,?,则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项是 ( )
n+1

A.an=1+(-1)

nπ B.an=2sin 2
? ?2,n为奇数, D.an=? ? ?0,n为偶数
2 2 2 2 3 3 2 2

C.an=1-cos nπ

2. 给出下列命题:①a>b?ac >bc ;②a>|b|?a >b ;③a>b?a >b ;④|a|>b?a >b .其中正确的命题 是( A.①② ) B.②③ C.③④ D.①④ )

3.△ABC 中,a= 5,b= 3,sin B= A.1 个 B.2 个

2 ,则符合条件的三角形有( 2 C.3 个 ) D.28

D.0 个

4.在△ABC 中,若 a=2,c=4,B=60°,则 b 等于( A.2 3 B.12 C.2 7

1 5.设数列{an}满足:a1=2,an+1=1- ,记数列{an}的前 n 项之积为 Tn,则 T2 013 的值为( an

)

1

1 A.- 2

B.-1 )

1 C. 2

D.2

6.下列命题中,真命题是(

? π? A.?x0∈?0, ?,sin x0+cos x0≥2 2? ?
C.?x0∈R,x0 +x0=-1
2 2

B.?x∈(3,+∞),x >2x+1 D.?x∈?
2

2

?π ,π ?,tan x>sin x ? ?2 ?
)

7.“a=b”是“直线 y=x+2 与圆(x-a) +(y-b) =2 相切”的( A.充分不必要条件 C.充要条件
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

8.不等式 f(x)=ax -x-c>0 的解集为{x|-2<x<1},则函数 y=f(-x)的图象为图中的(

x y 9.设 P 是双曲线 2- =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1,F2 分别是双曲线的左, a 9 右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|=( A.1 或 5 10.数列{an}的通项 an= A.3 10
2 2

2

2

) C.7 ) D. 10 60 D.9

B.6

n ,则数列{an}中的最大值是( n +90 B.19
2

1 C. 19

x y 3a 11. 设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点,△F2PF1 是底角为 30° a b 2 的等腰三角形,则 E 的离心率为( A. 1 2
2

) 3 C. 4 4 D. 5 )

2 B. 3

12.数列{an}的通项 an=n ?cos A.470

? ?

2

nπ 2nπ ? -sin ,其前 n 项和为 Sn,则 S30 为( 3 3 ? ? C.495 D.510

B.490

2

第Ⅱ卷

90 分

二.填空题(每题 4 分,4 小题共 16 分) 1 1, ?,则点 A 到此抛物线的焦点的距离为________. 13.若抛物线 x2=ay 过点 A? ? 4? 1 14.在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C= ,则△ABC 的面积为________. 3 15. 数列{an}的前 n 项和为 Sn=n -n+1,它的通项公式 an= ________. x-y+6≥0, ? ? 16. 已知实数 x,y 满足?x+y≥0, ? ?x≤3, 值范围为________. 三.解答题(本题共 74 分) 17.(本小题 12 分) 1 1 - (1)函数 y=a1 x(a>0, a≠1)的图象恒过定点 A, 若点 A 在直线 mx+ny-1=0(m, n>0)上, 求 + 的 m n 最小值; (2)若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,求 ab 的取值范围.
2

若 z=ax+y 的最大值为 3a+9,最小值为 3a-3,则实数 a 的取

18. (本小题 12 分) 已知命题 p:方程 x2-(2+a)x+2a=0 在[-1,1]上有且仅有一解;命题 q:存在实数 x 使不等式 x2 +2ax+2a≤0 成立.若命题“p∧q”是真命题,求 a 的取值范围.

19. (本小题 12 分) 如图所示,某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸边选取两点 A,B, 观察对岸的点 C,测得∠CAB=75° ,∠CBA=45° ,且 AB=100 m.求该河段的宽度.

20. (本小题 12 分) 已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 OC = OA +λ OB ,求 λ 的值.
3

21. (本小题 13 分) 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+1=kSn+2(n∈N ),且 a1=2,a2=1. (1)求 k 的值; (2)求证{Sn-4}为等比数列; Sn-m 1 (3)是否存在正整数 m,n,使得 < 成立?若存在,求出这样的正整数;若不存在,请说明理由. Sn+1-m 2
*

22. (本小题 13 分) 设点 P( x, y) 到直线 x ? 2 的距离与它到定点 (1, 0) 的距离之比为 2 ,并记点 P 的轨迹为曲线 C .

(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设 M (?2,0) ,过点 M 的直线 l 与曲线 C 相交于 E , F 两点, 当 线 段

EF

















C1 (?1,0), C2 (1,0), B1 (0, ?1), B2 (0,1) 构成的四边形内(包括边
界)时,求直线 l 斜率的取值范围. 淄博六中 12 级第一学期学分认定模块考试答案 高二 第一学段 数学试卷 一.选择题 BBBAB 二.填空题 5 13.4 14. 4 BABCC CA

1(n=1, 15. an=2n-2(n≥2.

16. [-1,1]

三.解答题 1-x 17. 解:(1)∵y=a (a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,∴A(1,1).?????..2 分 1 1 1 n 又点 A 在直线 mx+ny-1=0(m>0,n>0)上,∴m+n=1(m>0,n>0).∴m+n=(m+n)·n=2+m+ m 1 1 1 n≥2+2= 4,当且仅当 m=n=2时,等号成立,∴m+n 的最小值为 4????????????????6 分 (2)∵ab=a+b+3,又 a,b∈(0,+∞), ∴ab≥2+3.设=t>0,???????????????..?..8 分 2 ∴t -2t-3≥0.∴t≥3 或 t≤-1(舍去). ∴ab 的取值范围是[9,+∞).????????????????..12 分
4

18 解:由 x -(2+a)x+2a=0,得(x-2)(x-a)=0, ∴x=2 或 x=a???????????????????..2 分 2 又方程 x -(2+a)x+2a=0 在[-1,1]上有且仅有一解, ∴-1≤a≤1. ???????????????.4 分 2 ∵存在实数 x 满足不等式 x +2ax+2a≤0, 2 ∴Δ =4a -8a≥0,解得 a≤0 或 a≥2. ???????????????.8 分 又∵命题“p∧q”是真命题,∴命题 p 和命题 q 都是真命题.?????.10 分 ∴a 的取值范围为{a|-1≤a≤0}.???????????????..12 分 19. 解:∵∠CAB=75°,∠CBA=45°, ∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=60°. AB BC 由正弦定理得sin ∠ACB=sin ∠CAB, ABsin 75° ∴BC= sin 60° .????????????6 分 如图,过点 B 作 BD 垂直于对岸,垂足为 D,则 BD 的长就是该河 段的宽度. 在 Rt△BDC 中, BD ∵∠BCD=∠CBA=45°,sin∠BCD=BC, ABsin 75° 3 2 3 ∴BD=BCsin 45°= sin 60° ·sin 45°=2×2=3 m,??..10 分 3 ∴该河段的宽度为3 m. ???????????????..12 分 p 2 20. 解(1)直线 AB 的方程是 y=22,与 y =2px 联立, 5p 2 2 从而有 4x -5px+p =0,所以 x1+x2= 4 . 由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9, 2 所以 p=4,从而抛物线方程是 y =8x. ???????????????..6 分 2 2 2 (2)由 p=4,4x -5px+p =0 可简化为 x -5x+4=0,从而 x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4, 从而 A(1,-2),B(4,4). 设 =(x3,y3)=(1,-2)+λ (4,4)=(4λ +1,4λ -2),

2

2 2 又 y3=8x3,即[2(2λ -1)] =8(4λ +1), 即(2λ -1) =4λ +1, 解得λ =0 或λ =2. ???????????????..12 分 21. 解:(1)由条件 Sn+1=kSn+2(n∈N ),得 S2=kS1+2,即 a1+a2=ka1+2, 1 ∵a1=2,a2=1,∴2+1=2k+2,得 k=2.??????4 分 1 (2)定义证明数列{Sn-4}是首项为-2,公比为2的等比数列. 1n-1 1 * ∴Sn-4=(-2)·2 ,即 Sn=42n(n∈N ).??????8 分
5
* 2

Sn-m 1 1 1 2n(4-m-4 1 (3)由不等式Sn+1-m<2,得-m<2,即2n(4-m-2<2. t-4 1 n 令 t=2 (4-m),则不等式变为t-2<2, 解得 2<t<6,即 2<2 (4-m)<6. ??????10 分 假设存在正整数 m,n,使得上面的不等式成立,由于 2 为偶数,4-m 为整数, 2n=2, 2n=4, n 则只能是 2 (4-m)=4,∴4-m=2,或4-m=1. m=2, m=3, 解得n=1,或 n=2. 于是,存在正整数 m=2,n=1 或 m=3,n=2, Sn-m 1 使得Sn+1-m<2成立.??????13 分 22. 解 : ( Ⅰ ) 有 题 意
n n



??????2 分

整理得

,所以曲线

的方程为

??????4 分 .

(Ⅱ)显然直线 的斜率 存在,所以可设直线 的方程为 设点 线段 的坐标分别为 的中点为 ,

由 得



解得

.?(1) ????8 分

由韦达定理得

,于是

=



?????10 分

6

因为 又直线 所以点

,所以点 ,方程分别为

不可能在

轴的右边,

在正方形内(包括边界)的充要条件为



亦即

??????12 分

解得

,?????(2)

由(1)(2)知,直线 斜率的取值范围是

??????13 分

7


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