2018秋新版高中数学人教A版选修1-1课件:第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1_图文

2.3 抛物线 2.3.1 抛物线及其标准方程 1.掌握抛物线的定义、几何图形、焦点、准线和标准方程. 2.会求简单的抛物线方程. 1 2 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点 的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线. 归纳总结 抛物线的定义可归结为“一动三定”:一个动点,设为M; 一个定点F,为抛物线的焦点;一条定直线l,为抛物线的准线;一个定 值,即点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比为定值1.另外, 定点F不在定直线l上,否则,动点M的轨迹不是抛物线,而是过点F且 与直线l垂直的一条直线. 1 2 【做一做1-1】 抛物线x2=-16y的焦点坐标是( ) A.(0,-4) B.(0,4) C.(4,0) D.(-4,0) 答案:A 【做一做1-2】 若动点P到定点F(-4,0)的距离与到直线x=4的距 离相等,则点P的轨迹是( ) A.抛物线 B.线段 C.直线 D.射线 解析:由抛物线的定义,到定点F的距离与到定直线距离相等的点 的轨迹为抛物线. 答案:A 1 2 2.抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 p ,0 2 准线方程 y =2px(p>0) 2 x=? 2 p y2=-2px(p>0) p - ,0 2 x= p 2 1 2 图形 标准方程 x2=2py(p>0) 焦点坐标 p 0, 2 p 0,2 准线方程 y=? p 2 x =-2py(p>0) 2 y= 2 p 1 2 归纳总结 四种位置的抛物线标准方程的对比: (1)共同点:①原点在抛物线上; ②焦点在坐标轴上; 1 ③焦点的非零坐标都是一次项系数的4. (2)不同点:①当焦点在x轴上时,方程的右端为±2px,左端为y2;当 焦点在y轴上时,方程的右端为±2py,左端为x2; ②开口方向与x轴(或y轴)的正方向相同,焦点在x轴(或y轴)正半轴上, 方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负方向相同,焦点在x 轴(或y轴)负半轴上,方程的右端取负号. 1 2 【做一做 2-1】 抛物线 y=2x2 的准线方程为( A.y=? 8 B. = ? 4 C.y=? 2 D. = ?1 1 1 1 ) 解析: 由 y=2x2 得 x2= 2 , ∴ = 4. 答案:A 1 又焦点在 y 轴上,∴准线方程为 y=? . 【做一做 2-2】 以 - ,0 为焦点的抛物线的标准方程是 _____________. 答案:y2=-3x 3 4 1 8 二次函数与抛物线的标准方程的关系 剖析 二次函数的图象是开口向上或向下的抛物线,因此抛物线 开口向右或向左时不能认为是二次函数的图象.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),其图象的顶点为 1 4- - , 2 4 2 , 对称轴为x=? 1 4 , 2 它的图象是由y=ax2(a≠0)的图象平移得到的;而 y=ax2(a≠0)可化为 x2= , 当a>0 时,图象开口向上,顶点为(0,0),焦点为 0, , 1 对称轴为y 轴;当 a<0 时,图象开口向下,顶点为(0,0),焦点为 0, 4 , 对称轴为y 轴.由此可见,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可由开口 向上或向下的标准形式的抛物线通过平移得到. 题型一 题型二 题型三 题型一 求抛物线的标准方程 【例1】 试求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)过点(-3,2); (2)焦点在直线x-2y-4=0上; (3)焦点到准线的距离为 2. 分析对于(1),需要确定p的值和开口方向这两个条件,因为点(-3,2) 在第二象限,所以抛物线的标准方程可设为y2=-2px(p>0)或 x2=2py(p>0);对于(2),因为抛物线标准方程的焦点在坐标轴上,所以 求出直线x-2y-4=0与坐标轴的两个交点(4,0)和(0,-2),即为所求抛物 线两种情况下的焦点;而对于(3),由题意知, 5 p= , 下一步需要讨论抛物线的开口方向. 5 2 题型一 题型二 题型三 解:(1)∵点(-3,2)在第二象限, ∴抛物线的标准方程可设为 y2=-2px(p>0)或 x2=2py(p>0). 把点(-3,2)的坐标分别代入 y2=-2px(p>0)和 x2=2py(p>0),得 4=-2p× (-3)或 9=2p· 2, 即 2p= 3 或2p= 2. 4 9 4 9 ∴所求抛物线的标准方程为 y2=? 3 或x2= 2 . 题型一 题型二 题型三 (2)令 x=0,得 y=-2;令 y=0,得 x=4. ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2). 当焦点为(4,0)时, 2 = 4, ∴2p=16,此时抛物线的方程为 y2=16x. 当焦点为(0,-2)时, 2 = 2, ∴2p=8,此时抛物线的方程为 x2=-8y. ∴所求抛物线方程为 y2=16x 或 x2=-8y. (3)由焦点到准线的距离为 2 , 可知p= 2, ∴2p=5.∴所求抛物线的方程为 y2=5x 或 y2=-5x 或 x2=5y 或 x2=-5y. 反思 求抛物线的标准方程需要:(1)求p的值;(2)判断焦点所在的 坐标轴. 5 5 题型一 题型二 题型三 【变式训练1】 求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点为(-2,0); (2)准线为y=-1. 解:(1)焦点在 x 轴负半轴上, = 2, 即p=4,抛物线方程为 y2=-8x. 2 (2)焦点在 y 轴正半轴上, = 1, 即p=2, 2 抛物线方程为 x2=4y. 题型一 题型二 题型三 题型二 抛物线的定义及标准方程的应用 【例2】 已知平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大 1,求动点P的轨

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