三角函数解题八戒_图文

中学数学杂志 ( 高中) + "&&$ 年第 $ 期

#% 队连续 # 人被淘汰后乙队连续 $ 人被淘汰的 概率 ( ( #! #" #% ## % ! % " % % % # % $ #$ ) & ( ! ( )! "

先排好的顺序进行擂台赛, 双方 ! 号队员先 比赛, 负者被淘汰, 然后负方的 " 号队员再与 对方的获胜队员比赛, 负者又被淘汰, 一直这 样进行下去, 直到有一方队员全部被淘汰时, 另一方获胜! 假设每个队员的实力相当, 求甲 方有 # 个队员被淘汰且最后战胜乙方的概 率? 错解 " # $ %( ", …$ )表示甲、 乙两 $ $ & !, 队先后出场的队员, 按各队员被淘汰的先后 顺序排列, #! #" #% ## #$ % ! % " % % % # % $ 表 示 甲 队 连续 $ 个队员被淘汰! 那么 “ 淘汰的先后顺 序”出现的结果总数就是: 从 !& 个位置中选 $ 个位置安排甲队 $ 名队员的方法总数 & ’ , 而甲方有 # 个队员被淘汰且最后战胜乙 方的 “ 淘汰的先后顺序”的结果总数就是: 从 前 ’ 个位置中选 # 个位置安排甲队被淘汰的
# # 名队员的方法总数 & ’( ’ 因为最后两个位 $ !&

显然 “ 淘汰的先后顺序”的出现的各种结果 的概率不相等, 不是等可能的! 我们令打 ( 场 而结束比赛的事件为 ! 个标准基本事件, 那 么打 ’ 场、 打 ) 场、 打 * 场、 打 $ 场而结束比赛 的事件分别为 " 个、 # 个、 ’ 个、 !* 个标准基本 事件, 所以标准基本事件的总数是 " [ !* ’# # )
# # # ’ ’# 即甲方有 # 个 $ ) # ’ * ) " ’ ) ) ’ ’ ] & $!" ,

队员被淘汰且最后战胜乙方的概率 ( & & %$ ! "$*

’# ’ $!"

此题用独立重复实验的概率求解更为简 单: 因每个队员的实力相当, 则每场比赛胜、 负的概率都是 ! , 甲方有 # 个队员被淘汰且 " &

置只能是 %$ #$ ) ! 由等可能事件的概率可得: ’# $ ’ ( & $ & ! !’ ’!& 错因与正解 " 分析 ’$ !& 中的每 ! 个基本 事件可以发现: 甲队连续 $ 人被淘汰的概率 & ( ( #! #" #% ## #$ % ! % " % % % # % $ ) & ( ! $ ), 甲 "

最后战胜乙方就是: 甲方最后 ! 场取胜并且 前 ’ 场 中 有 # 场 失 败, 所 以 (
# ’( ’

! # ! # ! %$ ) ( )* & ! " " " "$*

三角函数解题八戒
广东省揭阳市揭阳华侨中学 " " $""&&&+ + " " 在三角函数的解题中, 由于概念众多, 袁伟忠

析, 提出八大戒条: ! 戒: 混淆角的概念, 题目察看欠周 例 !+ 则 (" " ) ( #) ,-.! + ,-."" ( % ) ,-.! , ,-." ( ’) ,-.! & ,-."" ( -)以上都错误 错解 " 因函数 . & ,-./ 在第三象限是 增函数, 又 ! + ", 所以 ,-.! + ,-.", 选 ( #) ! 剖析 " 混淆角的概念, 审题不细致, 误 若 !、 且 ! + ", " 为第三象限角,

公式变换灵活多样, 因而解题要求较高, 学生 往往会因解法运用不当, 导致出错! 如因象 限角、 区间角、 界限角、 终边相同的角等定义 混淆不清, 或因解题中忽视对题设隐含条件 的深刻挖掘, 不能正确地确定三角函数的符 号而产生错解, 或因解题中忽视三角函数的 定义域、 值域的限制而导致错误等等, 下面就 学生在三角函数解题中的常见错误进行剖

%% !! 将象限角看成区间 ( !, )中的角而出错, " #! % 如取 " ! " ! " , 可验算得 ( #) 错 # ! !, $ ! 误$ 用排除法, 可知应选 ( %) $ ( 解略) " 戒: 三角替换失当, 改变角的范围 例 "& 求函数 & ! ! ’ " ! "! " ( ’ 的值 域$ 错解 )
" " 因为 (! ’ " !) "(! " ( ’) !

中学数学杂志 ( 高中) & "..’ 年第 ’ 期

# ! % 错解 ) ()*# ! 将 *+," ( *+,# ! ( 和 ()*" ( "

两边平方相加, 得 " ( ()* ( " ( #) " ! ! , 所以 ()* ( " ( #)! , 因为 "、 (., #$ " % ! ! ! ) ,所以 " ( # $( ( , ) , *+, ( " ( #) " " "

’, 所以令! ’ "! !! ’()*$, " (’ !! ’*+,$, ! 则& ! ! ’()*$ " ! ’*+,$ ! ! -.*+, ($ " ! )$ [( ! -. , -. ] , ! % -. , -. ] $ 即所求值域为 [( ! ! 剖析 ) 上述解答虽巧用三角替换解题, 忽视了替换后 $ 的取值范 却默认了 $ $ !, ’ " ! * ., " ( ’ * ., 知 *+,$ 围, 事实上由! ! ! ()* * . , 所以 " *! / $ / " *! " ( * $ * ., " ") ,故 & $ [! ’, -. ] $ ( 解略) ! ! 戒: 分类讨论不全, 缩小角的范围 例 !& 已知 *+,# ! +,求 ()*# 的值及相 应的 # 的取值范围$ 错解 ) 当 # 是第一、 四象限角时, ()*# !! - ( +" $ 当 # 是第二、 三象限角时, ()*# ! (! - ( +" $ 剖析 ) 把 # 限制为象限角时, 只讨论了 , + , - - 且 + ! . 的情形, 遗漏了界限角$ 事 ! , 实上, 当 , + , ! - 时, # ! * ! " ( * $ ") " ()*# ! . ,当 + ! . 时, ( * $ ") , ()*# # ! *! ! - 或 ()*# ! ( - $ ( 解略) % 戒: 隐含条件欠挖, 扩大角的范围 例 %& 已知锐角 "、 且 *+," ( *+,# ! ( #, , ()*" ( ()*# ! ,则 /0, ( " ( #) ! " " () ) ) # # # ( #). ! & ( / )! & ( 0 )( ! & ( %)( ! ! !

# # ! . !, 故 /0, ( " ( #) ! . ! $ 选 ( #) $ % ! ! 剖析 ) 直接由 "、 (., ) , 得" (# #$ " ! ! ( ( , )扩大了角的范围$ 事实上, 由 $ " " *+," ( *+,# ! ( - ., 得 *+," - *+,#, 而 "、 " ! (., ) ,所以 " - #,从而 " ( # $ (( #$ " # ! , .) ,所以 *+, ( " ( #) ! ( ! , " % # 故 /0, ( " ( #) ! ( ! ,应选 ( 0) $ ! ’ 戒: 整体代换不当, 导致出错 例 ’& 求函数 & ! ! *+, ( 调减区间$ 错解 ) 令1 !

!

! ( " ’)的单 %

! ( " ’,则 & ! ! ! *+,1 , % ! 因为 &- ! *+,1 的单调减区间是 [ " *! " , " !! " *! " ] ( * $ ") ,且 1 $ [ " * !, " * ! " !] " ! ! 时 *+,1 * . , 所以由 " *! " / ( " ’ / " *! " % !! ! "! ( * $ ") , 得 ( *! ( / ’ / ( *! ( ( * 1 1 $ $ ") 故函数 & ! ! *+, (

!

! ( " ’) 的单调减区 %

!! ! 间为 [ *! ( , *! ( ] ( * $ ") $ 1 1 剖析 ) 实质上, 当 ’ 减小时, 作为整体, 1

中学数学杂志 ( 高中) ( "//1 年第 1 期

!1 " " ( )*$" " - ) ( -% " 所以当 )*$" ! - 时, $%&" " ( $%&" # 取得最 大值 - ; 当 )*$" ! " - 时, $%&" " ( $%&" # 取得最 小值 " - % 剖析 ) 所求的最小值错误, 错误的原因 是未能注意正弦函数的值域对解题的限制% 正确解法 ) 由 $%&" " ( "$%&" # ! ")*$",

!

! " " # 是增大的, 故所得区间是函数 $ ! ! ! " " #)的单调增区间% ! 设 $%&" " ! &, )*$" " ! ’,求

# $%& (

’ 戒: 忽视两域约束, 改变求值结果 例 ’( +,& ( ! ( ") % ! 错解 ) 因为 +,&" ! ! & $%&" " ! , - (’ - ( )*$" " 所 以 +,& ( ! ! ( ") ! - ( +,&" ! - " +,&" $%&" "$%&"?)*$" ! )*$" ")*$" "

!

知 )*$" " ( ")*$" " - ! "$%&" # * / ,解得! "" " " - / )*$" / - ,所以 $%& " ( $%& # 的最大值为 -, 最小值为 " (! " " -) % . 戒: 忽视图象特征, 零点区分失当 例 0( 由 图 象 ( 如 图)求 出 函 数 $ ! +$%& ( $ # ( %) 的表 达式 ( + , /, $ , /, % % - . !) 错解 ) 由图知: + ! #, / ! " 0( ’ ( " ) ! -’ , $ ! 则 $ ! #$%& ( "! ! ! , / 0

& - ( - (’ - (& (’ ! % - "& (’ & - " - (’ 剖析 ) ! *! ( 由欲求的 +,& ( ! ! ( ")知 ( " ! !

! ! , 即 " ! *! ( ( * $ !) , 而错解 " !



! 中的 +,&" 成立的条件是 " ! *! ( ( * $ " !) ,导致改变了欲求式中 " 的允许值范围, 忽视定义域的约束, 改变求值结果% 正 确 解 法 ! ( "" " ] ! +,& [ " ) +,& ( $%& ( ! ! ( ") !

! # ( %) % 0

由点 1 ( " ", / ) 在 图 象 上,得 / ! #$%& [ ! ! ! 0( " " )( %] , 所以 " ( % ! /, % 0 !

! ( " ") " ! ! - ( )*$ ( ( " ") "

! ,满足 - % - . !,则函数表达式为 $ ! ! ! ! # ( ) % 0 !

#$%& (

’ )*$" " ! ! , 这里 " ! *! ( ( * $ - "& - " $%&" " ! !) ,故 " 始终如一地在题设的允许值变化范 围之中% 若 $%& " ( "$%& # ! ")*$",求 $%& " ( $%& # 的最大值与最小值% 错 解 ) 由 已 知,得 $%&" # ! )*$" " 例 .(
" " " "

剖析 ) 把整体 “ $ # ( %” 看成 2, 函数 $ ! /) , +$%&2 的图象上五个关键点为 1( - /, 1( " 1( ! ! , +) , ) ) ) ) ) ) ) ) " #! ," +) , " 1( /) , # !, /) , 1( 1 " !,

1# , 11 分别叫做第一个零点、 第二 我们把 1- , 个零点、 第三个零点% 在解上述问题中, 一定 要注意区分所给零点是第一个零点, 还是第 二个零点, 否则会导致错误% 上面的解法中,

于是, 有 $%&" " ( $%&" # ! $%&" " ( )*$" $%&" ", " " $%&" " ! ( - " )*$" ")( )*$" ! " "

(/ ! 是第二个零点, 把 ! 作为第一个零点解题, 从而产生错误" 正确解法 # 得 " % #$%& [ 由点 ! ( $ !, " )在图象上, ! ! & ( $ ! )’ "] , 所以 $ ’" ’ ( )! " 因为 (

中学数学杂志 ( 高中) + !"") 年第 ) 期

[", . ) 时 有 且 只 有 一 个 解, 则 有

{

! ( . $ -) % " ! % ./ - $ ’ " /- /.

或( / ") ( / . )* " ,解得 - %

. # 或 * - * ." ! )

% ! (! ’ ! ( ( $ !) , " % ! (! ’

又当 ( / " ) % . 时, 有 - % ., 此时方程 ( / .) % " 有两解 .. % " , .! % ! , 原方程在区间 [", ,! % !, 则 !]内有两个不同的解 ,. % " , - % . 适合题意" 当( / . ) % " 时, 有- % ( / .) % " 有两个解 .. % . , .! % # ,此时方程 ) . ,原方程在 ) ! , , % ! !

#! ) " ) * !,所以 " % $ ,故函数表达式为 + ( ( % #$%& #! ! , $ ) " ’ (

’ 戒: 区间端值欠验, 参数范围出错 设 , $[ " , ,方 程 ,-$! , ’ !] ( -$%&, ’ - $ ! % " 有两个不同的解, 求实数 的取值范围" 错解 # 原方程可化为 !$%&! , $ ( -$%&, ’ . $ - % " " 令 . % $%&,,则方程 ! .! $ ( -. ’ . $ - % " 在区间 [", .] 内有一解, 又令( / .) % !.
!

例 *+

区间 [", 内有三个不同的解 ,. % !] 01,$%&

. . # , , % ! $ 01,$%& , 则- % 不适 ) # ) )

合题意" 故所求实数 - 的取值范围为 - % . # 或 * - / ." ! ) 评注 # 在解答含参数二次方程根的分

$ ( -.
!

’ .

$

-

%

", 则 有

% ./ - $ ’ ( . $ -) % " {"! / - /. 或( / ") ( / . )/ " , 解得 - % 为所求实数 - 的取值范围" 剖析 # 上述错解在一些数学期刊中流 传很广, 在这里有必要予以剖析纠正" 错解 中有两种常见错误, 首先对于 . % $%&,,当 . [", . )时, 方程在 [", $ !]内有两个不同的 解 ,. % 01,$%&., ,! % ! $ 01,$%&., 但当 . % . 时 仅有一解 , % 面三种情况: / ") ( / . )* " , 此时方程( / .)% " 在区 #( . )内有且只有一个解; 间 (", / ") % ", 此时方程 ( / .) % " 在区间 $( . ]内至少有一解 . % " ; [", / .) % ", 此时方程 ( / .) % " 在区间 %( [", . ]内至少有一解 . % . " 正确解法 # 要使原方程在区间 [", !] 内有两个不同的解, 只要方程( / . )% " 在 . $ ! ;其次( / ") ( / .) / " 包含下 ! . # 或 / - /. ! )

布问题时, 往往通过把方程转化为函数的方 法, 再考虑二次函数的图象与 , 轴的交点的 位置关系, 通过画草图分析, 虽直观明了, 但 不易把握区间的端点值是否可取, 因而对于 区间端点值的取值情况, 切切要注意分析其 实质, 小心检验其真伪, 不能盲目求解, 导致 类似于前面的错解" 本题也可利用导数性质求解, 请看另一 解法: 解#
!

令 . % $%&( , " / . * .) , 则原方程

可化为 ! . $ ( -. ’ . $ - % " ,即 ((. ’ .) - % ! .! ’ . " 因为 ( . ’ . ! " ( 若 ( . ’ . % " ,则等式 ((. ’ .) - % ! .! ’ . 不成立) , 所以 - % ! .! ’ . " (. ’ . ! .! ’ . , 则 /0 ( .) % (. ’ .

设 ( / .) %

中学数学杂志 ( 高中) ) "$$& 年第 & 期

!( 二次函数的求参范围问题的好方法, 只需通 过分离参数, 结合函数的增减区间, 就能方便 快捷地求出参数的取值范围( 从上面所述的解三角函数题中的八大戒 条可以看出, 同学们在解三角函数题时, 要十 分注意这八大戒条, 解题是要全方位审清题 意, 细心观察、 缜密思考, 特别要善于充分挖 掘题设中的隐含条件, 就不会误入歧途, 产生 错解( 参考文献
[#] + 宋建挺( 三道习题的常见错解分析 [ ’] ( 中学 数学教学参考, "$$% (!) ["] + 袁伟忠( 解三角函数题常见错误辨析 [ ’] ( 中 学数学研究, "$$& (%) (

! ( " !" " ! # # ) ,分别令 $% ( !) & $ 与 $% ( !) ’ " (!! " #) $ 并结合 $ / ! ’ # ,求得函数 $% ( !) 的增区间 # # 为 ( , #) ,减区间为 [$, ) ( 由方程 " !" # " " ! )! " # # ) * $ 在 [$, #) 内有且只有一个解, % # 得 *( $ #) ’ ) /( $ $) * #, 当! * 时, & " ) *( $ 为) * # # )* ,故所求实数 ) 的取值范围 " " # % 或 ’ ) / #( " & 利用导数性质求出参数的取值

评注 +

范围, 不失为求解这一类披着三角函数 (其 它如指数函数、 对数函数等也可)外衣, 实为

两种方程根的问题的辨析
浙江省临海市回浦中学 + + %#($$$) ) #) 问题的提出 [ # #, #] 问题 #) 方程 ," # , # ) * $ 在 内有解, 求 ) 的取值范围( 问题 ") 方程 ," # , # ) * $ 的两个根都 # ]内, 求 ) 的取值范围( 在 [ # #, 这两个问题都是曲型的一元二次方程根 $ , ) * ," # , # ) , 然后考 的分布问题, 可令 ( 虑抛物线与 , 轴的交点有何要求, 从而得出 但它是常法通 等价条件( 这种方法虽然繁, 法, 理解也容易, 所以学生务必掌握( 而对于问题 # , 我们过去常用如下方法: " 把 ) 看作关于 , 的函数, 方程 解出 ) * , # ,, " [ # #, # ]内有解, 相当于求定 , #,#) * 在 义域为 [ # #, #] 时函数 ) * ," # , 的值域( 可 如果也用这种方法, 那函数定 是联系问题 " , 义域是什么呢? 是否问题 " 更加适合用这种 [ # #, #] 方法, 因为问题 # 中方程的根也可在 外面, 而问题 " 中两根都在 [ # #, # ]中, 那么 这两种情况下 原来问题 # 的解法难道错了? 的函数定义域有何不同, 或者就不能用求值 冯红琴

域的方法? 当然避重就轻是可以的, 因为已经 能用别的方法来解了, 何必简单问题复杂化? 但是直觉告诉我原来问题 # 的方法是对的, 关键是两题本质的区别是什么? 苦苦 思 索, 终于 有了答案( ") 问题的解决 可以从另一角度 理解: 方程 ," # , # ) * $ 与方程 ) * ," # 图# 而方程 ) , 是等价的, " * , # , 的解就是直线 - * ) 与抛物线 - * ," # , 的交点的横坐标( 如图 # , 先画出函数 * ," # , 的图象, 截出 # # / , / # 这一段, 那 [ # #, #] 内有解, 相当于直 么问题 # 中方程在 , ,$ [ # #, #] ) 的 线 - * ) 与函数 - * ," # ( " , , $[ # # , 图象有交点, 而函数 - * , # ( # #] ) 的值域为 [# , "] , 所以直线 - * ) 要与 ! , ,$ [ # #, #] )的图象有交 函数 - * ," # (

三角函数解题八戒
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 袁伟忠 广东省揭阳市揭阳华侨中学,522000 中学数学杂志(高中版) ZHONGXUE SHUXUE ZAZHI(GAOZHONGBAN) 2005,""(5) 0次

参考文献(2条) 1.宋建挺 三道习题的常见错解分析 2003(04) 2.袁伟忠 解三角函数题常见错误辨析 2005(03)

本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxzz-gzb200505019.aspx 授权使用:中共汕尾市委党校(zgsw),授权号:a2dd8076-bd8e-4bfe-8b04-9dc800f4e670 下载时间:2010年8月4日


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