安徽省合肥一六八中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题 理 新人教A版_图文

合肥一六八中学 2013-2014 学年第一学期期中考试高二理科数学试题
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.直线 y ? 3( x ?1) ? 1的倾斜角为( A. 0 B. ) D.

? 6

C.

? 3

3? 4
) D. 1:16

2.若两个球的表面积之比为 1 : 4 ,则这两个球的体积之比为( A. 1 : 2 B. 1 : 4 C. 1 : 8 3.已知 a, b 是异面直线,直线 c ∥直线 a ,那么 c 与 b ( A.一定是异面直线 C.不可能是平行直线 )

B.一定是相交直线 D.不可能是相交直线 )

4.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ?

B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ? )

5. 已知直线 l1 : (k ? 3) x ? (5 ? k ) y ? 1 ? 0 与 l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则 k 是( A.1 或 3 B.1 或 5 C.1 或 4 ) D.1 或 2

6.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 (

A. 4

14 B. 3

16 C. 3

D. 6

CC 7. 在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, 、 分别是 CD 、 1 的中点, 则异面直线 A1M 与 DN M N 1
所成角的大小是( A. ) B.

? 6

? 4

C.

? 3

D.

? 2

8. 设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面,
-1-

则 a 的取值范围是( A.

) B.

(0, 2)

(0, 3)

C.

(1, 2)


D.

(1, 3)

9. 直线 x ? (a 2 ? 1) y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是( A. [0,

? ] 4

B. ?

? 3? ? ,? ? ? 4 ?

C. [0,

?

] ? ( ,? ) 4 2

?

D. ?

? ? ? ? ? 3? ? , ? ? ? ,? ? ?4 2? ? 4 ?

10.在空间中,过点 A 作平面 ? 的垂线,垂足为 B ,记 B ? f? (A) .设 ? , ? 是两个不同的平面, 对空间任意一点 P , Q1 ? f ? [ f? ( P)],Q2 ? f? [ f ? ( P)] ,恒有 PQ1 ? PQ2 ,则( A.平面 ? 与平面 ? 垂直 C.平面 ? 与平面 ? 平行 )
0

B.平面 ? 与平面 ? 所成的(锐)二面角为 45

D.平面 ? 与平面 ? 所成的(锐)二面角为 60

0

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷的相应位置 11.直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与两坐标轴围成的三角形面积等于__________. 12. 若 点 ( x, y ) 位 于 曲 线 y ?| x ? 1 | 与 y ? 2 所 围 成 的 封 闭 区 域 , 则 2 x ? y 的 最 小 值 为 ________. 13.已知正三棱锥 P ? ABC , P, A, B, C 都在半径为 3 的球面上, PA, PB, PC 两两互相 点 若 垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________。 14.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF//AB,EF= AC 的距离为 2,则该多面体的体积为____________. 15.多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正 方体的一个顶点 A 在平面 ? 内,其余顶点在 ? 的同侧,正方体 上与顶点 A 相邻的三个顶点到 ? 的距离分别为 1, 和 4,P 是 2 正方体的其余四个顶点中的一个,则 P 到平面 ? 的距离可能 是: ①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7 以上结论正确的为______________。 (写出所有正确结论的 编号) .. D1 C1 A1 D C B A 第 15 题图 B1

3 ,EF 与面 2

?
A1

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 已知直线 l:3x-y+3=0,求: (1)过点 P(4,5)且与直线 l 垂直的直线方程;

-2-

(2)与直线 l 平行且距离等于 10 的直线方程。

17.(本题满分 12 分) 已知两定点 A(?5,0), B(5,0) , C 为动点 (1) C 在 x 轴上方, ?ABC 是等腰直角三角形, C 点坐标; 若 且 求 (2)若直线 CA, CB 的斜率乘积为 ? 的关系式。

16 ,求 C 点坐标 ( x, y ) 满足 25

18.(本题满分 12 分) 如图, AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点. (I)求证: BC ? 平面PAC; (II)设 Q为PA 的中点,G为?AOC的重心,求证:QG / /平面PBC.

19.(本题满分 13 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD

中 , PA

⊥ 面

ABCD , AB ? BC ? 2, AD ? CD ? 7 , PA ? 3, ?ABC ? 120? G 为线段 PC 上的点.
(Ⅰ)证明: BD ⊥面 PAC ;
-3-

(Ⅱ)若 G 是 PC 的中点,求 DG 与 APC 所成的角的正切值; (Ⅲ)若 G 满足 PC ⊥面 BGD ,求

PG 的值. GC

20.(本小题满分 13 分) 如图①,△BCD 内接于直角梯形 A1 A2 A3 D ,A1D∥A2A3,A1A2⊥A2A3,A1D=10,A1A2=8,沿 △BCD 三边将△A1BD、△A2BC、△A3CD 翻折上去,恰好形成一个三棱锥 ABCD,如图②. (1)求证:AB⊥CD; (2)求直线 BD 和平面 ACD 所成的角的正切值; (3)求四面体 ABCD 的体积。

21.(本题满分 13 分) 如图,在直三棱柱 ABC? A1B1C1 中, ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA ? 1 , D 是棱 CC1 上的 1 一点, P 是 AD 的延长线与 A1C1 的延长线的交点,且 PB1 ∥平面 BDA1 。 (1)求证: CD ? C1D ; (2)求二面角 A ? A1D ? B 的平面角的余弦值; (3)求点 C 到平面 B1DP 的距离. B

P

合肥一六八中学 2013-2014 学年第一学期期中考试 高二理科数学答题卷 一、选择题(50 分,每题 5 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题(25 分,每题 5 分) 11________________ 12_______________
-4-

13_________________ 15__________________ 16.(本题满分 12 分)

14________________

17.(本题满分 12 分)

18.(本题满分 12 分)

-5-

19.(本题满分 13 分)

20.(本题满分 13 分)

-6-

21.(本题满分 13 分) B

P

-7-

参考答案 1-10 11. CCCBC BDABA 13

25 24

12. -4

3 3

14.

15 2

15.①③④⑤

16. (1) x ? 3 y ?19 ? 0; (2)3x ? y ? 7 ? 0或3x ? y ? 13 ? 0

17.答案: (1) (?5,10), (5,10), (0,5)

(2)

x2 y2 ? ? 1( x ? ?5) 25 16

18.由 AB 是圆 O 的直径,得 AC⊥BC. 由 PA⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC,得 PA⊥BC, 又 PA∩AC=A,PA? 平面 PAC,AC? 平面 PAC, 所以 BC⊥平面 PAC. (II) 连 OG 并延长交 AC 与 M,链接 QM,QO. 由 G 为?AOC 的重心,得 M 为 AC 中点, 由 G 为 PA 中点,得 QM//PC. 又 O 为 AB 中点,得 OM//BC. 因为 QM∩MO=M,QM? 平面 QMO. 所以 QG//平面 PBC. 19. 【答 案】 解: 证明 :(Ⅰ) 由已 知得 三角 形

ABC 是 等 腰 三 角 形 , 且 底 角 等 于

30°, 且

AB ? CB ? ? AD ? CD ? ? ?ABD ? ?CBD ? ?ABD ? ?CBD ? 60? 且?BAC ? 30? BD ? DB ? ?

-8-

,所以;、 BD ?

AC ,又因为

PA ? ABCD ? BD ? PA? ? ? BD ? PAC ; BD ? AC ?

(Ⅱ)设 AC

? BD ? O ,由(1)知 DO ? PAC ,连接 GO ,所以 DG 与面 APC 所成
? 1, AO ? CO ? 3 ? DO ? 7 ? 3 ? 2 ,
, 所 以

的角是 ?DGO ,由已知及(1)知: BO

1 1 OD 2 4 GO ? PA ? 3 ? tan ?DGO ? ? ? 3 2 2 GO 1 3 3 2
APC 所成的角的正切值是

DG

与 面

4 3; 3
, 因 为

(Ⅲ) 由 已 知 得 到 :

P C ?
中, PD

B G D ?

PC ? PA2 ? AC 2 ? 3 ? 12 ? 15 ? C P G D, 在

?PDC

? 3 ? 7 ? 10, CD ? 7, PC ? 15 ,设
3 2 PG 3 15, GC ? 15 ? ? 5 5 GC 2

PG ? x ?CG ? 15 ? x ?10 ? x2 ? 7 ? ( 15 ? x)2 ? PG ? x ?
20.(1)证明:∵在直角梯形 A1A2A3D 中,A1B⊥A1D,A2B⊥A2C, ∴在三棱锥 ABCD 中,AB⊥AD,AB⊥AC. ∵AC∩AD=A,∴AB⊥平面 ACD. ∵CD? 平面 ACD,∴AB⊥CD. (2)解:由(1)知 AB⊥平面 ACD, ∴AD 为 BD 在平面 ACD 内的射影, ∠BDA 是直线 BD 和平面 ACD 所成的角. 依题意,在直角梯形 A1A2A3D 中, A1D=A3D=10,A1B=A2B=4, ∴在三棱锥 ABCD 中,AD=10,AB=4. AB 4 2 在 Rt△ABD 中,tan ∠BDA= = = . AD 10 5 2 ∴直线 BD 和平面 ACD 所成的角的正切值为 . 5

(3)有(2)得: AB ? 4, AC ? 6, AD ? 10, CD ? 2 17 ? S?ABC ? 611

1 4 611 ?V ? ? 611? 4 ? 3 3
21(1)连接 B1 A 交 BA1 于 O ,? B1P // 面BDA1 , B1P ? 面AB1P, 面AB1P ? 面BA1D ? OD,

? B1P // OD

,



O



B1 A









? D为AP







?C1为A1P ,??ACD ? ?PC1D ?C1D ? CD ,D 为 CC1 的中点。
-9-

(2)由题意 AB ? AC, AB ? AA ? AB ? 面AA1C1C ,过 B 作 AH ? AD ,连接 BH ,则 1

BH ? AD , ? ? AHB 为 二 面 角 A ? A1D ? B 的 平 面 角 。 在 ?AA1 D 中 ,

2 5 2 5 3 5 AH 2 5 5 , BH ? , cos ?AHB ? ? 5 ? ,则 AH ? AA1 ? 1, AD ? , A1D ? 5 5 BH 3 5 3 2 2 5
(3)因为 VC ?B1PD ? VB1PCD ,所以 h ? S ?B1PD ?

1 3

1 A1 B1 ? S ?PCD , A1B1 ? 1 3

S?PCD ? S?PC1C ? S?PC1D ?

1 1 1 ? ? , 2 4 4

9 5 ?5? 3 5 4 ? 2 5 ,sin ?DB P ? 5 , 在 ?B1 DP 中, B1D ? , B1P ? 5, PD ? .cos ?DB1P ? 4 1 3 2 2 5 5 2? ? 5 2
? S?B1PD ? 1 3 5 3 1 ? ? 5? ? ,h ? 2 2 5 4 3

- 10 -


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