苏教版高中数学(必修1)期中测试题(一)


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姜堰中学高一数学期中试题(A 卷)
一、填空题 1、设集合 A ? ?( x, y) | y ? ?4 x ? 6? , B ? ?( x, y) | y ? 5x ? 3?,则 A ? B ? 2、已知函数 f ( x) ? ? ▲ . ??1,2??

? x,
2 ?x ,

x?0 x?0

,则 f ( f (?2)) ?

▲ .4

3、已知函数 f ( x) ? lg x ? x ? 3 在区间 (k , k ? 1)(k ? Z ) 上有零点,则 k ? 4、函数 y ? 2 ? 4 ? x 的值域是 ▲ . ?2,???

▲ .2

5、某班有学生 55 人,其中音乐爱好者 35 人,体育爱好者 45 人,还有 4 人既不爱好体育也不 爱好音乐,则班级中既爱好体育又爱好音乐的学生有 ▲ 人. 29; 6、函数 y ?

log 1 ( x ? 1) 的定义域是
2



. ?1,2?

x 7 、 若 函 数 y ? a 与 函 数 y ? 2 ?1

的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是



. ?0,1?

8、设 a ? ( ) , b ? 2 5 , c ? log 2
2

1 5

1

1 ,则 a、b、c 的大小关系为 5
▲ .2



.c ? a ? b

9、若 f ( x ) ? 1 ?

m 是奇函数,则 m 的值为 e ?1
x

10、由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔三年计算机的价格降为原来 的

2 ,则价格为 8100 元的计算机,9 年后价格要降为 3



元。

10.2400 元

2 11、已知 f ( x) ? (m ? 1) x ? mx ? 1 是偶函数,则 f ( x) 在区间[-2,1]上的最大值与最小值的

差等于



.4
y 3

12、已知 f ( x ) 是定义在 ? ?2, 0 ? ∪ ? 0, 2? 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) 的图象如

右图所示,那么 f ( x ) 的值域是
13、已知函数 f ( x) ? 围是 ▲



. [?3, ?2) ? (2,3]

2

14、设函数 f ( x) ? ax ? x ? a, x ? ?? 1,1? 的最大值为 M ( a ) ,则当 a ? ?? 1,1? 时,M ( a ) 的
2

O 2 x 3 ? ax (a ? 1). 若 f ( x) 在区间 ? 0,1? 上是减函数,则实数 a 的取值范 a ?1 第 12 题 . ? ??,0? ? ?1,3? . 图

最大值为





5 4

二、解答题 15、已知集合 A={ x ︱3≤ x <7},B={ x ︱2< x <10},C={ x ︱ x < a }
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⑴ 求 A∪B,(CuA)∩B ⑵ 若 A∩C≠ ? ,求 a 的取值范围 解:⑴ ∵A={ x ︱3≤ x <7} ∴CuA={ x ︱ x <3 或 x ≥7} 又∵B={x︱2< x <10} ∴A∪B={x︱2< x <10} (CuA)∩B={ x ︱2< x <3 或 7≤ x <10} ⑵∵C={ x ︱ x < a }且 A∩C≠ ? ∴ a >3

7 2 27 - 0 16、计算: (1) (2 ) ? (ln 5) ?( ) 3; 9 64
(2) (lg 2) ?
2

1

1

2 lg 8 ? lg 5 ? (lg 5) 2 3

解: (1)4; (2)1。 17 、已知某 皮鞋厂一天的生产成 本 C (元) 与生产数量 n ( 双)之间的函数关系 是

C ? 4000 ? 50 n
(1)求一天生产 1000 双皮鞋的成本; (2)如果某天的生产成本是 48000 元,那么这一天生产了多少双皮鞋? (3)若每双皮鞋的售价为 90 元,且生产的皮鞋全部售出,试写出这一天的利润 P 关于这 一天生产数量 n 的函数关系式,并求出每天至少生产多少双皮鞋,才能不亏本? 解: (1)54000; (2)880; (3)P= 90n ? (4000? 50n) ? 0, 得n ? 100。

18、已知函数 f ( x ) ?

1 2? x ? log 3 ; x ?1 x
(2)判断 f ( x) 的单调性并证明;

(1)求 f ( x) 的定义域;

(3)当 x 为何值时, f ? x( x ? )? ? 。 2 ? 2 ? 解: (1)定义域: ?0,2? 。 (3) f (1) ? (2)单调递减。证明略

?

1 ?

1

1 1 1 ? log 3 1 ? ,所以原不等式等价于 f [ x( x ? )] ? f (1) , 2 2 2

1 ? x( x ? ) ? 1 ? ? 2 因为 f ( x) 在 (0,2) 上是减函数,则 ? , ? x( x ? 1 ) ? 0 ? 2 ?
解得:

1 ? 17 1 1 ? 17 ? x ? 0或 ? x ? 4 2 4

19、已知函数 f ( x) 是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当 x >0 时, f ( x) ? log2 x

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(1)求当 x <0 时,函数 f ( x) 的表达式; (2) 若 g ( x) ? 2 x   ( x ? R) 集合 A={ x ︱ f ( x) ? 2 },B={ x ︱ g ( x) ? 16 },试判断集合 A 和 B 的关系; (3) 已知对于任意的 k ∈N,不等式 2k ? k ? 1恒成立,求证:函数 f ( x) 的图象与直线

y ? x 没有交点。
解:⑴当 x<0 时, f ( x) ? ? log2 (? x) ⑵集合 A={x︱ x ? 4或 ?

1 ? x ? 0 },B={x︱ x ? 4 },B 是 A 的真子集; 4

⑶根据对称性,只要证明函数 f(x)的图象与直线 y=x 在 x∈(0,+∞)上无交点即可。 令 x∈(0,+∞),函数 y1 ? log2 x ,y 2 ? x ① 当 x∈(0,1]时, y1 ? 0,y 2 ? 0,则y1 ? y 2 ② 当 x ? (2k , 2k ?1 ](k ? N )时,y1 ? k ? 1 ,y2 ? 2k ? k ? 1 ,则y1 ? y2 则在 x∈(0,+∞)上直线 y=x 始终在 y ? log2 x 的图象之下方。 综上所述,由于对称性可知,函数 f(x)的图象与直线 y=x 没有交点。

20、已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x x ? a , (Ⅰ)当 a =4 时,写出函数 y ? f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 a ? 4 时,求 f ( x) 在区间 (1, ) 上最值; (Ⅲ)设 a ? 0 ,函数 f ( x) 在 (m, n) 上既有最大值又有最小值,请分别求出 m、n 的取值范 围(用 a 表示) . 20.(Ⅰ)解:当 a ? 4 时, f ( x) ? x | x ? 4 |? ?

9 2

? x( x ? 4), x ? 4 ? x(4 ? x), x ? 4

由图象可知,单调递增区间为(- ? ,2],[4,+ ? ) (开区间不扣分) (Ⅱ) f ( x) max ? f (2) ? 4; f ( x) min ? f (4) ? 0 。 (Ⅲ)

? x( x ? a), f ( x) ? ? ? x(a ? x),

x?a x?a

①当 a ? 0 时,图象如右图所示

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? a2 ?y ? ( 2 ? 1)a 4 由? 得x ? 2 ? y ? x( x ? a) ?
∴0 ? m ?

a ,a ? n ? 2

2 ?1 a 2

②当 a ? 0 时,图象如右图所示

? a2 (1 ? 2) y ? ? ? 由? 得x ? a 4 2 ? y ? x(a ? x) ?


1? 2 a ? m ? a, 2

a ?n?0 2

高一数学期中试题(B 卷)
一、填空题 1、 设集合 A ? ?( x, y) | y ? 4 x ? 6?, B ? ?( x, y) | y ? ?5x ? 3? , 则 A? B ?
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▲ .??1,?2??

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2、已知函数 f ( x) ? ?

? x, ?x ,
2

x?0 x?0

,则 f ( f (?3)) ?

▲ .9

3、已知函数 f ( x) ? lg x ? x ? 3 在区间 (k , k ? 1)(k ? Z ) 上有零点,则 k ? 4、函数 y ? 1 ? 4 ? x 的值域是 ▲ . ?1,???

▲ .2

5、某班有学生 55 人,其中音乐爱好者 35 人,体育爱好者 45 人,还有 4 人既不爱好体育也不 爱好音乐,则班级中既爱好体育又爱好音乐的学生有 ▲ 人. 29; 6、函数 y ?

log 1 ( x ? 1) 的定义域是
2



. ?? 1,0?

x 7 、 若 函 数 y ? a 与 函 数 y ? 2 ?1

的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是



. ?0,1?
1

8、设 a ? 2 5 , b ? ( ) , c ? log2
2

1 5

1 ,则 a、b、c 的大小关系为 5
▲ .-2



.c ? b ? a

9、若 f ( x) ? 1 ?

a 是奇函数,则 a 的值为 e ?1
x

10、由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔三年计算机的价格降为原来 的

2 ,则价格为 8100 元的计算机,9 年后价格要降为 3



元。

10.2400 元

2 11、已知 f ( x) ? (m ? 1) x ? mx ? 1 是偶函数,则 f ( x) 在区间[-2,1]上的最大值与最小值的

和等于



.-2
y 3

12、已知 f ( x ) 是定义在 ? ?2, 0 ? ∪ ? 0, 2? 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) 的图象如

右图所示,那么 f ( x ) 的值域是
13、已知函数 f ( x) ? 围是 ▲



. [?3, ?2) ? (2,3]

2

14、设函数 f ( x) ? ax ? x ? a, x ? ?? 1,1? 的最大值为 M ( a ) ,则当 a ? ?? 1,1? 时,M ( a ) 的
2

O 2 x 3 ? ax (a ? 1). 若 f ( x) 在区间 ? 0,1? 上是减函数,则实数 a 的取值范 a ?1 第 12 题 . ? ??,0? ? ?1,3? . 图

最大值为





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二、解答题: 15、已知集合 A={ x ︱3< x ≤7},B={x︱2< x <10},C={ x ︱ x < a } ⑴ 求 A∪B,(CuA)∩B ⑵ 若 A∩C≠ ? ,求 a 的取值范围 解:⑴ ∵A={ x ︱3< x ≤7} ∴CuA={ x ︱ x ≤3 或 x >7} 又∵B={x︱2< x <10} ∴A∪B={x︱2< x <10} (CuA)∩B={ x ︱2< x ≤3 或 7< x <10}
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⑵∵C={ x ︱ x < a }且 A∩C≠ ? ∴ a ≥3
1 0 1

2 16、计算: (1) (2 ) ? (lg 5) ? (

7 9

27 -3 ) ; 64

(2) (lg 2) ?
2

2 lg 8 ? lg 5 ? (lg 5) 2 。 3

解: (1)2; (2)1。 17 、已知某 皮鞋厂一天的生产成 本 C (元) 与生产数量 n ( 双)之间的函数关系 是

C ? 4000 ? 50 n
(1)求一天生产 1000 双皮鞋的成本; (2)如果某天的生产成本是 48000 元,那么这一天生产了多少双皮鞋? (3)若每双皮鞋的售价为 90 元,且生产的皮鞋全部售出,试写出这一天的利润 P 关于这 一天生产数量 n 的函数关系式,并求出每天至少生产多少双皮鞋,才能不亏本? 解: (1)54000; (2)880; (3)P= 90n ? (4000? 50n) ? 0, 得n ? 100。

18、已知函数 f ( x ) ?

1 2? x ? log 3 ; x ?1 x

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的单调性并证明; (3)当 x 为何值时, f ? x( x ? )? ? 。 2 ? 2 ? 解: (1)定义域: ?0,2? (2)单调递减。证明略 (3) f (1) ?

?

1 ?

1

1 1 1 ? log 3 1 ? ,所以原不等式等价于 f [ x( x ? )] ? f (1) , 2 2 2

1 ? x( x ? ) ? 1 ? ? 2 因为 f ( x) 在 (0,2) 上是减函数,则 ? , ? x( x ? 1 ) ? 0 ? 2 ?
解得:

1 ? 17 1 1 ? 17 ? x ? 0或 ? x ? 4 2 4

19、已知函数 f ( x) 是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当 x >0 时, f ( x) ? log2 x

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(1)求当 x <0 时,函数 f ( x) 的表达式; (2) 若 g ( x) ? 2 x   ( x ? R) 集合 A={ x ︱ f ( x) ? 2 },B={ x ︱ g ( x) ? 16 },试判断集合 A 和 B 的关系; (3) 已知对于任意的 k ∈N,不等式 2k ? k ? 1恒成立,求证:函数 f ( x) 的图象与直线

y ? x 没有交点。
解:⑴当 x<0 时, f ( x) ? ? log2 (? x) ⑵集合 A={x︱ x ? 4或 ?

1 ? x ? 0 },B={x︱ x ? 4 },B 是 A 的真子集; 4

⑶根据对称性,只要证明函数 f(x)的图象与直线 y=x 在 x∈(0,+∞)上无交点即可。 令 x∈(0,+∞),函数 y1 ? log2 x ,y 2 ? x ① 当 x∈(0,1]时, y1 ? 0,y 2 ? 0,则y1 ? y 2 ② 当 x ? (2k , 2k ?1 ](k ? N )时,y1 ? k ? 1 ,y2 ? 2k ? k ? 1 ,则y1 ? y2 则在 x∈(0,+∞)上直线 y=x 始终在 y ? log2 x 的图象之下方。 综上所述,由于对称性可知,函数 f(x)的图象与直线 y=x 没有交点。 20、已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x x ? a , (Ⅰ)当 a =4 时,写出函数 y ? f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 a ? 4 时,求 f ( x) 在区间 (1, ) 上最值; (Ⅲ)设 a ? 0 ,函数 f ( x) 在 (m, n) 上既有最大值又有最小值,请分别求出 m、n 的取值范 围(用 a 表示) . 20.(Ⅰ)解:当 a ? 4 时, f ( x) ? x | x ? 4 |? ?

9 2

? x( x ? 4), x ? 4 ? x(4 ? x), x ? 4

由图象可知,单调递增区间为(- ? ,2],[4,+ ? ) (开区间不扣分) (Ⅱ) f ( x) max ? f (2) ? 4; f ( x) min ? f (4) ? 0 (Ⅲ)

? x( x ? a), f ( x) ? ? ? x(a ? x),

x?a x?a

①当 a ? 0 时,图象如右图所示

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? a2 ?y ? ( 2 ? 1)a 4 由? 得x ? 2 ? y ? x( x ? a) ?
∴0 ? m ?

a ,a ? n ? 2

2 ?1 a 2

②当 a ? 0 时,图象如右图所示

? a2 (1 ? 2) y ? ? ? 由? 得x ? a 4 2 ? y ? x(a ? x) ?


1? 2 a ? m ? a, 2

a ?n?0 2

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