函数零点问题


函数零点问题 1.(2014 课标卷 1.12 )已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ,且

x0 ? 0 ,则 a 的取值范围是
(A) ? 2, ?? ? (B) ?1, ?? ? (C) ? ??, ?2? (D) ? ??, ?1?

2.(2014 北京 6.)已知函数 f ? x ? ? ( A. ? 0,1? 3. ( ) B. ?1, 2 ? 2014 重

6 ? log 2 x ,在下列区间中,包含 f ? x ? 零点的区间是 x
D. ? 4, ??? 10. ) 已 知 函 数

C. ? 2, 4 ? 庆

? 1 ? 3, x ? (?1,0] ? f ( x) ? ? x ? 1 , 且g ( x) ? f ( x) ? m x ? m在(? 1,1] ? ? x, x ? (0,1] 内有且仅有两个不同的零
点,则实数 m 的取值范围是( )

9 1 (? ,?2] ? (0, ] 2 A. 4 9 2 (? ,?2] ? (0, ] 3 C. 4

(?
B.

11 1 ,?2] ? (0, ] 4 2 11 2 ,?2] ? (0, ] 4 3

(?
D.

2 ? ? x ? 5x ? 4 , x ? 0 4. (2014 天津 14.) 已知函数 f ?x ? ? ? 若函数 y ? f ( x) ? a x 恰有 4 个零 2 x ? 2 , x ? 0 ? ? 点,则实数 a 的取值范围为_______

5.(2014 湖北 9.)已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) = x2 ? 3x . 则函数
g ( x) ? f ( x) ? x + 3 的零点的集合为

A. {1, 3} C. {2 ? 7 ,1, 3}

B. { ? 3, ?1,1, 3} D. { ? 2 ? 7 , 1, 3}

? x 2 ? 2, x?0 6.(2014 福建 15.)函数 f ?x ? ? ? 的零点个数是_________ ?2 x ? 6 ? ln x, x ? 0
7.(2014 湖南 21.)已知函数 (1)求 (2)记

f ( x) ? x cos x ? sin x ? 1( x ? 0) .

f ( x) 的单调区间;

xi 为 f ( x) 的 从 小 到 大 的 第 i( i ? N*) 个 零 点 , 证 明 : 对 一 切 n ? N * , 有

1 1 1 2 ? 2 ??? 2 ? 2 x1 x2 xn 3
8. ( 2014 江 苏 13. ) 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 3 的 函 数 , 当 x ? [0,3)

1 | .若函数 y ? f ( x) ? a 在区间 [?3,4] 上有 10 个零点(互不相同),则 2 实数 a 的取值范围是 ___________ .
时, f ( x) ?| x 2 ? 2x ? 9.(2014 辽宁 21.)已知函数 f ( x) ? ? ( x ? cos x) ? 2sin x ? 2 ,

g ( x) ? ( x ? ? )

1 ? sin x 2 x ? ?1 . 1 ? sin x ?

证明: (1)存在唯一 x0 ? (0, (2)存在唯一 x1 ? (

?
2

) ,使 f ( x0 ) ? 0 ;

?
2

, ? ) ,使 g ( x1 ) ? 0 ,且对(1)中的 x0 ? x1 ? ? .

10.(2014 四川 21.)已知函数 f ( x) ? e x ? ax2 ? bx ? 1,其中 a, b ? R , e ? 2.71828 ??? 为 自然对数的底数。 (Ⅰ)设 g ( x) 是函数 f ( x ) 的导函数,求函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值; (Ⅱ)若 f (1) ? 0 ,函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 内有零点,证明: e ? 2 ? a ? 1 。
3 2 11.(2014 课标卷 2.21)已知函数 f(x)= x ? 3x ? ax ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点(0,2)处

的切线与 x 轴交点的横坐标为-2. (I) 求 a; (II)证明:当 k<1 时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点。

m ,m? R . x (1)当 m ? e ( e 为自然对数的底数)时,求 f ( x ) 的最小值; x (2)讨论函数 g ( x) ? f '( x) ? 零点的个数; 3 f (b) ? f (a) ? 1 恒成立,求 m 的取值范围. (3)若对任意 b ? a ? 0, b?a
12.(2014 陕西 21.)设函数

f ( x) ? ln x ?

13.(2013 陕西 21.)已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (Ⅰ) 求 f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; (Ⅱ) 证明: 曲线 y = f (x) 与曲线 y ?

1 2 x ? x ? 1 有唯一公共点. 2 f (b) ? f (a) ?a?b? (Ⅲ) 设 a<b, 比较 f ? 的大小, 并说明理由. ?与 b?a ? 2 ?

14.(2012 陕西 21.)设函数 fn ( x) ? xn ? bx ? c

(n ? N? , b, c ? R)

(1)设 n ? 2 , b ? 1,

?1 ? c ? ?1,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点; ?2 ?

(2)设 n 为偶数, f ( ?1) ? 1 , f (1) ? 1 ,求 b+3c 的最小值和最大值; (3)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围; 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(课标 I)数学(文科) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 3? , B ? ?x | ?2 ? x ? 1?,则 M ? B ? ( A. (?2,1) B. (?1,1) C. (1,3) D. (?2,3) )

(2)若 tan ? ? 0 ,则 A. sin ? ? 0 (3)设 z ? B. cos ? ? 0 C. sin 2? ? 0 D. cos 2? ? 0

1 ? i ,则 | z |? 1? i
B.

A.

1 2

2 2

C.

3 2

D. 2

(4)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0) 的离心率为 2,则 a ? a2 3

A. 2

B.

6 2

C.

5 2

D. 1

(5)设函数 f ( x), g ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论中 正确的是 A. f ( x) g ( x) 是偶函数 C. f ( x) | g ( x) | 是奇函数 B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数 D. | f ( x) g ( x) | 是奇函数

(6)设 D, E, F 分别为 ?ABC 的三边 BC, CA, AB 的中点,则 EB ? FC ? A. AD B.

1 AD 2

C.

1 BC 2

D. BC

(7)在函数① y ? cos | 2 x | ,② y ?| cos x | ,③ y ? cos( 2 x ? 最小正周期为 ? 的所有函数为

?

) ,④ y ? tan( 2 x ? ) 中, 6 4

?

A.①②③

B. ①③④

C. ②④

D. ①③

8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体 是( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

9.执行右面的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M ? ( A.

)

20 3

B.

7 2

C.

16 5

D.

15 8

10.已知抛物线 C:y ? x 的焦点为 F , A
2

?x , y ?是 C 上一点,AF ? 5 , 则x 4x
0 0
0

0

?(



A. 1

B. 2

C. 4

D. 8

(11)设 x , y 满足约束条件 ?

? x ? y ? a, 且 z ? x ? ay 的最小值为 7,则 a ? ? x ? y ? ?1,
(B)3

(A)-5

(C)-5 或 3

(D)5 或-3

(12)已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取值 范围是 (B) ? 2, ?? ? (B) ?1, ?? ? (C) ? ??, ?2? (D) ? ??, ?1?

第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13) 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行, 则 2 本数学书相邻的概率 为________. (14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A 、 B 、 C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为________.

?e x ?1 , x ? 1, ? (15)设函数 f ? x ? ? ? 1 则使得 f ? x ? ? 2 成立的 x 的取值范围是________. 3 ? x , x ? 1, ?
(16) 如图, 为测量山高 MN , 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点 的 仰 角 ?MAN ? 60? , C 点 的 仰 角 ?CAB ? 45? 以 及 ?MAC ? 75? ; 从 C 点 测 得 ?MCA ? 60? .已知山高 BC ? 100m ,则山高 MN ? ________ m .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的根。
2

(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

(18)(本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表 得如下频数分布表: 质量指标值分组 频数 [75,85) 6 [85,95) 26 [95,105) 38 [105,115) 22 [115,125) 8

(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:

(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值 作代表) ; (III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低 于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定? 19.(本题满分12分)如图, 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧面 BB1C1C 为菱形,B1C 的中点为 O , 且 AO ? 平面 BB1C1C .

(1)证明: B1C ? AB; (2)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60 , BC ? 1, 求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高.
?

20.(本小题满分 12 分) 已知点 P(2,2) , 圆 C : x2 ? y 2 ? 8 y ? 0 , 过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点, 线段 AB 的中点为 M , O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当 OP ? OM 时,求 l 的方程及 ?POM 的面积 21(12 分) 设函数 f ? x ? ? a ln x ? 为0 (1)求 b; (2)若存在 x0 ? 1, 使得 f ? x0 ? ?

1? a 2 x ? bx ? a ? 1? ,曲线 y ? f ? x ? 在点?1 ,f ?1?? 处的切线斜率 2

a ,求 a 的取值范围。 a ?1

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(课标Ⅱ)数学(文科) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1)已知集合 A=﹛-2,0,2﹜,B=﹛ x | x - x - 2 ? 0 ﹜,则 A ? B= (A) ? (2) (B) ?2? (C) ?0? (D)
2

??2?

1 ? 3i ? 1? i (A) 1 ? 2i (B) ?1 ? 2i (C) 1-2i (D) ? 1-2i ‘ (3)函数 f ? x ? 在 x=x 0 处导数存在,若 p:f (x0)=0;q:x=x0 是 f ? x ? 的极值点,则 (A) p 是 q 的充分必要条件 (B) p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 (C) p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 (D) p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件
(4)设向量 a , b 满足 |a+b|= 10 , |a-b|= 6 ,则 a·b= (A)1 (B) 2 (C)3 (D) 5

(5)等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a2 , a4 , a8 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项

Sn =

(A) n ? n ? 1? (C)

n ? n ? 1? 2

(B) n ? n ?1? (D)

n ? n ? 1? 2

(6)如图, 网格纸上正方形小格的边长为 1 (表示 1cm) , 图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件 由一个底面半径为 3cm,高为 6c m 的圆柱 体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与 原来毛坯体积的比值为 (A)

17 27

(B)

5 10 (C) 9 27

(D)

1 3

(7)正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 3 ,D 为 BC 中点,则 三棱锥 A ? B1DC1 的体积为 (A)3 (B)

3 2

(C)1

(D)

3 2

(8)执行右面的程序框图,如果如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S= (A)4 (B)5 (C)6 (D)7

?x ? y ?1 ? 0 ? ( 9 ) 设 x , y 满 足 的 约 束 条 件 ?x ? y ?1 ? 0 , 则 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
z ? x ? 2 y的最大值为
(A)8 (B)7
2

(C)2 (D)1

(10)设 F 为抛物线 C : y =3x 的焦点,过 F 且倾斜角为

30°的直线交于 C 于 A, B 两点,则 AB =

30 (B)6 (C)12 (D) 7 3 3 (11)若函数 f ( x) ? kx ? ln x 在区间(1,+ ? )单调递增,则 k 的取值范围是
(A) (A) ? ??, ?2? (B) ? ??, ?1?
2

(C) ? 2, ???

(D) ?1, ?? ?

(12)设点 M (x 0 ,1) ,若在圆 O : x ? y =1 上存在点 N,使得 ?OMN ? 45 ,则 x 0 的取值
2
°

范围是 (A) ??1,1? (B) ? ? , ? 2 2

? 1 1? ? ?

(C) ? ? 2, 2 ? (D)

?

?

? 2 2? , ? ?? 2 2 ? ?

第Ⅱ卷 二、填空题:本大概题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服种选择 1 种,则他们 选择相同颜色运动服的概率为_______. (14)函数 f ( x) ? sin(x ? ? ) —2 sin ? cos x 的最大值为_________. (15)已知函数

f ? x?

的图像关于直线 x =2 对称, f (0) =3,则 f (?1) ? _______.

1 ?a ? a 1 ? a n , a =2,则 a =_________. (16)数列 n 满足 n ?1 = 2 1
三、解答题:解答应写出文字说明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC=3, CD=DA=2. (I)求 C 和 BD; (II)求四边形 ABCD 的面积。

(18)(本小题满分 12 分) 如图,四凌锥 p—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA 上 面 ABCD,E 为 PD 的点。 (I)证明:PP//平面 AEC; (II)设置 AP=1,AD= 3 ,三棱锥 P-ABD 的体积 V=

3 ,求 A 到平面 PBD 的距离。 4

(19)(本小题满分 12 分) 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位市民。根据这 50 位市民

(I)分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数; (II)分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于 90 的概率; (III)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。 (20)(本小题满分 12 分) 设 F1 ,F2 分别是椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左,右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴 a2 b2
3 ,求 C 的离心率; 4

垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N。 (I)若直线 MN 的斜率为

(II)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且|MN|=5|F1N|,求 a,b。 (21)(本小题满分 12 分)
3 2 已知函数 f(x)= x ? 3x ? ax ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横 坐标为-2.

(II) 求 a; (II)证明:当时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点。


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