第四节二次函数根的分布问题

第四课 二次函数零点的分布问题

二次函数的图象及其应用

研究一元二次方程的根的分布问题,一般情况下需要考虑三个方面:

(1)一元二次方程根的________;

(2)相应二次函数区间端点______________;

(3)相应二次函数图象的对称轴_________与______的位置关系.

设 x1,x2 是实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的两根,则 x1,x2 的分布范围与二 次方程系数之间的关系如下表所示.

根的 分布

x1<x2<k

k<x1<x2

x1<k<x2

图象

等价 条件

f(k)<0

根的 分布 x1,x2∈(k1,k2)

k1<x1<k2< x2<k3

在区间(k1,k2)内 有且仅有一个根

图象

等价 条件

f(k1)f(k2)<0 或 Δ=0 且-2ba∈(k1,k2)

考点一 二次函数的单调性与对称性

例一函数 f(x)=2x2-mx+3,当 x∈[-2,+∞)时是增函数,则 m 的取值范围是 ( )

A.[-8,+∞)

B.[8,+∞)

C.(-∞,-8]

D.(-∞,8]

若 f(x)=x2-x+a,f(-m)<0,则 f(m+1)的值

()

A.是正数

B.是负数

C.是非负数

D.与 m 有关

练习:1 若函数 f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1 的定义域和值域都为 R,则 a 的取值范围是

()

A.a=-1 或 3

B.a=-1

C.a>3 或 a<-1 D.-1<a<3 2 已知函数 y=x2-4ax(1≤x≤3)是单调递增函数,则实数 a 的取值范围是

3 函数 y=x2+bx+c,x∈[0,+∞)是单调函数的充要条件是

()

A.b≥0

B.b≤0

C.b>0

D.b<0

4 如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),那么

()

A.f(2)<f(1)<f(4)

B.f(1)<f(2)<f(4)

C.f(2)<f(4)<f(1)

D.f(4)<f(2)<f(1)

考点二 二次方程根的分布问题 例一:已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 在原点右侧至少有一个零点,求实数 m 的取值范围.

练习 1: 已知函数 f(x)=x2-(2a-1)x+a2-2 的图象与 x 轴的非负半轴至少有一个交点,求 a 的取值范围

练习 2:若关于 x 的方程 3tx2+(3-7t)x+4=0 的两个实根α ,β 满足 0<α <1<β <2,实数 t 的取值范围是______.

练习 3 若方程 x2+(k-2)x+2k-1=0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间, 则实数 k 的取值范围是______________ .

练习四 若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是( )

A.(-1,1)

B.(-2,2)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

考点三 二次函数图像的应用

例三 直线 y=2 与曲线 y=x2-|x|+a 有四个交点,则 a 的取值范围是( )

A.??34,1??

B.??1,54??

C.??2,74??

D.??2,94??

练习:1 已知二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间[-1,1]上,f(x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的范围.

?

??

练习 2.对实数 a 和 b,定义运算“ ”:a

?a,a ? b ? 1, ??b,a ? b ? 1.
b=

设函数 f(x)=

(x2-2)

(x-1),x∈R.若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取

值范围是

()

A.(-1,1]∪(2,+∞)

B.(-2,-1]∪(1,2]

C.(-∞,-2)∪(1,2]

D.[-2,-1]

考点 4 二次函数最值问题
例 4 求二次函数 f(x)=x2-2x+3 在区间[t,t+1](t∈R)上的最大值与最
小值.

不等式 f(x)=a x2-x-c>0 的解集为{x|-2<x<1},则函数 f(x)在区间[1, 2]上的最小值为__________.
b 点评:讨论二次函数的区间最值2a问题:(1)注意对称轴与区间的相对位置;(2)注意相应抛物
线的开口方向.具体地说,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 在区间[α ,β ]上的最值一般分为三 种情况讨论:①对称轴 x=- 在区间左边,函数在此区间上具有单调性;②对称轴在 区间之内;③对称轴在区间右边,函数在此区间上具有单调性.要注意系数 a 的符号对抛物 线开口方向的影响.


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