08--知识要点:高三数学总复习—圆锥曲线方程


高三数学总复习

................................................................

高考复习科目:数学
复习内容:高中数学第八章-圆锥曲线方程 复习范围:第八章

高中数学总复习(八)

I. 基础知识要点
一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义:
PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为椭圆, PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹, PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2为端点的线段

⑴①椭圆的标准方程:
2 2 2 2 i. 中心在原点, 焦点在 x 轴上: x ? y ? 1(a ? b ? 0) . ii. 中心在原点, 焦点在 y 轴上: y ? x ? 1(a ? b ? 0) . 2 2 2 2

a

b

a

b

②一般方程: Ax 2 ? By 2 ? 1( A ? 0, B ? 0) .③椭圆的标准参数方程:

x2 a
2

?

y2 b
2

? x ? a cos? ? 1 的参数方程为 ? ? y ? b sin ?

(一象限 ? 应是属于 0 ? ? ?

?

).

2 ⑵①顶点: (?a,0)(0,?b) 或 (0,?a)(?b,0) .②轴:对称轴:x 轴, y 轴;长轴长 2a ,短轴长 2b .③焦点:
(?c,0)(c,0) 或 (0,?c)(0, c) .④焦距: F 1F 2 ? 2c, c ? a 2 ?b 2 .⑤准线:x ? ?
a2 a2 或y?? .⑥离心率: c c

e?

c (0 ? e ? 1) .⑦焦点半径: a
x2 a2 x2 b2 ? y2 b2 y2 a2 ? 1(a ? b ? 0) 上的一点, F 1,F 2 为左、右焦点,则PF1 ? a ? ex0 , PF 2 ? a ? ex0 ?

i. 设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆

由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆

?

? 1(a ? b ? 0) 上的一点, F 1,F 2 为上、下焦点,则 PF1 ? a ? ey0 , PF 2 ? a ? ey0 ?

由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知: pF1 ? e( x0 ? a ) ? a ? ex0 ( x0 ? 0), pF 2 ? e( a ? x0 ) ? ex0 ?a( x0 ? 0) 归结起来为“左加 c c ▲
y
2 2

右减”. 注意:椭圆参数方程的推导:得 N (a cos? , b sin ? ) ? 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标: d ?
2 2

( bcos? , bsin? ) ( acos? , asin? ) Nx

2b a

2

( ?c,

b b ) 和 ( c, ) a a
N的轨迹是椭圆

2

c ⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 是 e ? (c ? a 2 ?b 2 ) , 方 程 2 a a b
x2 a
2

x

2

y

2

?

y2 b
2

? t (t 是大于 0 的参数, a ? b ? 0) 的离心率也是 e ? x2 a
2

c 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. a

⑸若 P 是椭圆:

?

y2 b
2

若 则 ? 1 上的点. F 1,F 2 为焦点, ?F 1PF 2 ? ? , ?PF 1F 2 的面积为 b 2 tan (用 2

?

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高三数学总复习九—圆锥曲线方程

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余弦定理与 PF 1 ? PF 2 ? 2a 可得). 若是双曲线,则面积为 b 2 ? cot 二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义:
PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为双曲线 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2 的一个端点的一条射线

?
2

.

⑴①双曲线标准方程: ⑵①i. 焦点在 x 轴上: 顶点:(a,0), (?a,0)

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a, b ? 0),

y2 a
2

?

x2 b
2

? 1(a, b ? 0) . 一般方程: Ax 2 ?Cy 2 ? 1( AC ? 0) .

焦点:(c,0), (?c,0)

准线方程 x ? ?

x2 y2 a2 x y 渐近线方程: ? ? 0 或 ? ?0 c a b a2 b2

ii. 焦点在 y 轴上:顶点: (0,?a), (0, a) .

焦点: (0, c), (0,?c) . 准线方程: y ? ?

a2 . 渐近线方程: c

? x ? a sec ? ? x ? b tan? y2 x2 y x 或? . ? ? 0 或 2 ? 2 ? 0 ,参数方程: ? a b a b ? y ? b tan? ? y ? a sec ?
②轴 x, y 为对称轴,实轴长为 2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c. ③离心率 e ? 距离) ;通径

c . a

④准线距

2a 2 (两准线的 c

x2 y2 2b 2 c . ⑤参数关系 c 2 ?a 2 ?b 2 , e ? . ⑥焦点半径公式:对于双曲线方程 ? ?1 a a a2 b2

( F 1,F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) “长加短减”原则:

MF 1 ? ex 0 ? a MF 2 ? ex 0 ?a

构成满足 MF 1 ? MF 2 ? 2a

M ?F 1 ? ?ex 0 ? a M ?F 2 ? ?ex 0 ? a


(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带

符号计算,而双曲线不带符号)

y



y F1 M x x

MF 1 ? ey 0 ?a MF 2 ? ey 0 ? a ? M ?F 1 ? ?ey 0 ? a M ?F 2 ? ?ey 0 ?a
2 2 2
F1

M'

M

F2 M' F2

?

⑶等轴双曲线:双曲线 x ? y ? ? a 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y ? ? x ,离心率 e ?

2.

⑷ 共 轭双 曲 线: 以已 知双 曲线 的 虚轴 为 实轴 ,实 轴为 虚轴 的 双曲 线 ,叫 做已 知双 曲线 的 共轭 双 曲 线.

x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? 2 ? ? 与 2 ? 2 ? ?? 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: 2 ? 2 ? 0 . a2 b a b a b x2 a2 ? y2 b2 ? ? (? ? 0) 的渐近线方程为 x2 a2 ? y2 b2 ? 0 如果双曲线的渐近线为

⑸共渐近线的双曲线系方程:

x2 y2 x y ? ? 0 时,它的双曲线方程可设为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) . a b a b
例如:若双曲线一条渐近线为 y ? 高中数学高考总复习

1 1 x 且过 p(3,? ) ,求双曲线的方程? 2 2
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y

3

2 1
x

F1

53
F2

3

解:令双曲线的方程为:

x2 1 x2 y2 ? y 2 ? ? (? ? 0) ,代入 (3,? ) 得 ? ? 1. 4 8 2 2

⑹直线与双曲线的位置关系: 区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域②:即定点在双曲线上,1 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点,1 条切线,1 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条. (2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入 ” “? 法与渐近线求交和两根 之和与两根之积同号. ⑺若 P 在双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1 ,则常用结论 1:P 到焦点的距离为 m = n,则 P 到两准线的距离比为 m︰n.

PF 1 d1 简证: ? e d2 PF 2 e

=

m . n

常用结论 2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b. 三、抛物线方程. 3. 设 p ? 0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
y 2 ? 2 px
y 2 ? ?2 px


x 2 ? 2 py
y


x 2 ? ?2 py


图形



y

y

y

x O

x O

x O
O

x

焦点

p F ( ,0) 2 p 2 x ? 0, y ? R x??

F (? x?

p ,0) 2

p F (0, ) 2 p 2 x ? R, y ? 0 y??
(0,0)

F (0,? y?

p ) 2

准线

范围 对称轴 顶点 离心率 焦点

p 2 x ? 0, y ? R

p 2 x ? R, y ? 0

x轴
e ?1
PF ?
2

y轴

p ? x1 2

PF ?

p ? x1 2

PF ?

p ? y1 2

PF ?

p ? y1 2

注:① ay ?by ? c ? x 顶点 (

4ac ?b 2 b ? ). 4a 2a

2 2 ② y ? 2 px( p ? 0) 则焦点半径 PF ? x ? P ; x ? 2 py( p ? 0) 则焦点半径为 PF ? y ? P . 2 2

③通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的.

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④ y 2 ? 2 px (或 x 2 ? 2 py )的参数方程为 ? 四、圆锥曲线的统一定义..

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(或 ?

? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

) t 为参数). (

4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹. 当 0 ? e ? 1 时,轨迹为椭圆; 当 e ? 1 时,轨迹为抛物线; 当 e ? 1 时,轨迹为双曲线; 当 e ? 0 时,轨迹为圆( e ?

c ,当 c ? 0, a ? b 时). a

5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如:椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的. 因为具有对称性,所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可.

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