[全程学习方略]高中数学人教A版必修5课时提能训练:2.3.1等差数列的前n项和

课后巩固作业(十) (30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.设等差数列{an}的前n项和为 Sn,若 a1= ,S4=20, 则 S6=( ) (A)16 (B)24 (C)36 (D)48 1 2 2.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4+a5=18,则 S8 等于( ) (A)18 (B)36 (C)54 (D)72 3.( 2011·大纲版全国高考)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则 k=( (A)8 (B)7 ) (C)6 (D)5 4.已知数列{an}为等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和, S6<S7,S7=S8,S8>S9,则下列说法中错误的是( ) (A)d<0 (C)S10>S6 (B)a8=0 (D)S7 和 S8 均为 Sn 的最大值 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 5.(2011·湖南高考)设 Sn 是等差数列{an}( n ? N* )的前 n 项和,且 a1=1,a4=7, 则 S5=______. 6.等差数列{an}中, a3=-5, a6=1, 设 Sn 是数列{an}的前n项和, 则 S8=_____. 三、解答题(每小题 8 分,共 16 分) 7.已知等差数列{an}中,a10=30,a20=50. (1)求{an}的通项公式; (2)若 Sn=242,求项数 n. 8.在等差数列{an}中,a10=18,前 5 项的和 S5=-15, (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和的最小值,并指出何时取得最小值. 【挑战能力】 (10 分) 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=1,求数列{an}的 前 n 项和 Sn. 答案解析 1.【解析】选D.S4=2+6d=20,∴d=3,S6=3+15d=48. 2.【解析】选 D.? a1 ? a8 ? a 4 ? a 5 ? 18, ? S8 ? 8(a1 ? a 8) 8(a 4 ? a 5) ? ? 72. 2 2 3.【解题提示】可直接利用等差数列前 n 项和公式建立关于 k 的方程解出 k 值. 也可利用 Sk+2-Sk=ak+2+ak+1,再利用等差数列通项公式求解. 【解析】选 D.Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2a1+(2k+1)d=2+(2k+1)×2=24,∴k=5. 4.【解析】选 C.∵S6<S7,S7=S8,S8>S9,∴a7>0, a8=0,a9<0, ∴d<0,S7 和 S8 均为 Sn 的最大值,S10<S6. 5.【解析】由 a1=1,a4=7 得到公差 d=2,则 S5 ? 5 ?1 ? 答案:25 6.【解题提示】本题可由等差数列通项公式求出 a1 和 d,再求 S8;也可利用等差 数列的性质 a1+a8=a3+a6,故 S8 ? 8(a1 ? a 8) 8(a 3 ? a 6) ? . 2 2 5? 4 ? 2 ? 25. 2 【解析】方法一:设公差为d,则 ? 解得:a1=-9,d=2, ∴S8=8a1+28d=-16. 方法二: S8 ? 答案:-16 7.【解析】(1)设公差为 d, 由? ?a1 ? 9d ? 30 , ?a1 ? 19d ? 50 ?a 1 ? 2d ? ?5, ?a 1 ? 5d ? 1, 8(a1 ? a 8) 8(a 3 ? a 6) ? ? 4? ( ? 5 ? 1) ? ?16. 2 2 解得 a1=12,d=2. ∴an=2n+10. (2)由 Sn=na1+ n(n-1)d,即 242=12n+n(n-1), 解得 n=11(n=-22 舍去). 8.【解析】 ?a1 ? 9d ? 18 (1)设公差为 d,则 ? ? 5 5a1 ? ? 4 ? d ? ?15 ? ? 2 1 2 得 a1=-9,d=3, an=3n-12. (2)方法一: Sn ? n(a1 ? a n) 1 ? (3n 2 ? 21n) 2 2 3 7 2 147 ? (n ? ) ? , 2 2 8 ∴当 n=3 或 4 时,前 n 项的和取得最小值为-18. 方法二:设前 n 项的和取得最小值,则 ?a n ? 3n ? 12 ? 0 ? ? 12 ? 0 ?a n ?1 ? 3(n ? 1) 得 3≤n≤4∴当 n=3 或 4 时,Sn=-18, ∴前 n 项的和取得最小值为-18. 【方法技巧】巧求等差数列前 n 项和 Sn 的最值方法 (1)由二次函数的最值特征求解 Sn ? na1 ? n(n ? 1) d 2 d d? n ? (a1 ? )n 2 2 2 d d 2 a1 ? (a1 ? ) d 2 2) 2 ? (n ? ? 2 d 2d a d 1 d 1 a 2 2 ? [n ? ( ? 1 )] ? ( ? 1) . 2 2 d 2 2 d 1 2 a1 的正整数时,Sn d 由二次函数的最大值、最小值及 n ? N* 知,当 n 取最接近 ? 取到最大(或最小)值,值得注意的是最接近 ? 有 2 个. (2)根据项的符号来确定. 若 a1>0,d<0,则数列的所有非负数项之和最大; 若 a1<0,d>0 则数列的所有非正数项之和最小. 【挑战能力 】 【解题提示】an=Sn-Sn-1(n≥2),由 an 与 Sn 的关系,寻找 数列{ 1 }为等差数列,从而求出 Sn. Sn 1 2 a1 的正整数有时有 1 个,有时 d 1 1 与 的关系,判断 Sn Sn ?1 【解析】将 an=Sn-Sn-1(n≥2)代入 an+2SnSn-1=0,得 Sn+2SnSn-1-Sn-1=0, ∵a1=S1=1,∴Sn≠0, 同除以 SnSn-1,得 1 1 ? 2 ? ? 0, Sn ?1 Sn ∴ 1 1

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