高中数学人教A版必修2同步练习:2.2.4平面与平面平行的性质

第二章 一、选择题 2.2 2.2.4 ) 1.平面 α∥平面 β,平面 r∩α=m,平面 r∩β=n,则 m 与 n 的位置关系是( A.平行 C.异面 [答案] A B.相交 D.以上均有可能 2.已知长方体 ABCD-A′B′C′D′,平面 α∩平面 AC=EF,平面 α∩平面 A′C′ =E′F′,则 EF 与 E′F′的位置关系是( A.平行 C.异面 [答案] A [解析] 由于平面 AC∥平面 A′C′,所以 EF∥E′F′. 3.有一正方体木块如图所示,点 P 在平面 A′C′内,棱 BC 平行于平面 A′C′,要 经过 P 和棱 BC 将木料锯开,锯开的面必须平整,有 N 种锯法,则 N 为( ) ) B.相交 D.不确定 A.0 C.2 [答案] B B .1 D.无数 [解析] ∵BC∥平面 A′C′,∴BC∥B′C′,在平面 A′C′上过 P 作 EF∥B′C′, 则 EF∥BC,∴沿 EF、BC 所确定的平面锯开即可.又由于此平面唯一确定,∴只有一种方 法,故选 B. 4.已知 a,b 表示直线,α,β,γ 表示平面,则下列推理正确的是( A.α∩β=a,b?α?a∥b B.α∩β=a,a∥b?b∥α 且 b∥β C.a∥β,b∥β,a?α,b?α?α∥β D.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b [答案] D [解析] 选项 A 中,α∩β=a,b?α,则 a,b 可能平行也可能相交,故 A 不正确; 选项 B 中,α∩β=a,a∥b,则可能 b∥α 且 b∥β,也可能 b 在平面 α 或 β 内,故 B 不 正确; ) 选项 C 中,a∥β,b∥β,a?α,b?α,根据面面平行的判定定理,再加上条件 a∩b= A,才能得出 α∥β,故 C 不正确; 选项 D 为面面平行性质定理的符号语言,故选 D. 5.已知两条直线 m,n 两个平面 α,β,给出下面四个命题: ①α∩β=m,n?α?m∥n 或者 m,n 相交; ②α∥β,m?α,n?β?m∥n; ③m∥n,m∥α?n∥α; ④α∩β=m,m∥n?n∥β 且 n∥α. 其中正确命题的序号是( A.① C.④ [答案] A 6.平面 α∥平面 β,△ABC,△A′B′C′分别在 α、β 内,线段 AA′,BB′,CC′ 共点于 O, O 在 α、 β 之间. 若 AB=2, AC=1, ∠BAC=60° , OA?OA′=3?2, 则△A′B′C′ 的面积为( A. 3 9 ) B. 3 3 ) B.①④ D.③④ 2 3 C. 9 [答案] C [解析] 如图∵α∥β, 2 3 D. 3 ∴ BC ∥ B′C′ , AB ∥ A′B′ , AC ∥ A′C′ ,∴△ ABC ∽△ A′B′C′, AB OA 3 3 且由 = = 知相似比为 , 2 A′B′ OA′ 2 1 1 3 又由 AB=2,AC=1,∠BAC=60° ,知 S△ABC= AB· CD= AB· (AC· sin60° )= ,∴S△ 2 2 2 A′B′C′= 2 3 . 9 二、填空题 7.(2013~2014· 东莞模拟)如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形 EFGH 为截 面,则四边形 EFGH 的形状为________. [答案] 平行四边形 [解析] ∵平面 ABFE∥平面 CDHG, 又平面 EFGH∩平面 ABFE=EF, 平面 EFGH∩平面 CDHG=HG, ∴EF∥HG. 同理 EH∥FG, ∴四边形 EFGH 的形状是平行四边形. 8.如图,在四面体 ABCD 中,若截面 PQMN 是正方形,则在下列结论中正确的为 ________. ①AC⊥BD; ②AC∥截面 PQMN; ③AC=BD; ④异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45° . [答案] ①②④ [解析] ∵MN∥PQ,∴PQ∥平面 ACD,又平面 ACD∩平面 ABC=AC,∴PQ∥AC, 从而 AC∥截面 PQMN,②正确;同理可得 MQ∥BD,故 AC⊥BD,①正确;又 MQ∥BD, ∠PMQ=45° ,∴异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45° ,故④正确.根据已知条件无法得到 AC,BD 长度之间的关系.故填①②④. 9.已知平面 α∥平面 β,点 A,C∈α,点 B,D∈β,直线 AB,CD 交于点 S,且 SA=8, SB=9,CD=34. (1)若点 S 在平面 α,β 之间,则 SC=________. (2)若点 S 不在平面 α,β 之间,则 SC=________. [答案] (1)16 (2)272 [解析] (1)如图 a 所示, 因为 AB∩CD=S, 所以 AB, CD 确定一个平面, 设为 γ, 则 α∩γ =AC,β∩γ=BD. SA SC SA SC 因为 α∥β,所以 AC∥BD.于是 = ,即 = . SB SD AB CD SA· CD 8×34 所以 SC= = =16. AB 9+8 SA SC (2)如图 b 所示,同理知 AC∥BD,则 = , SB SD 8 SC 即 = ,解得 SC=272. 9 SC+34 三、解答题 10.(2013· 山东)如图,四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,E 为 PB 的中点.求 证:CE∥平面 PAD. [分析] 证明线面平行,有两种思路:(1)利用线面平行的判定定理,通过线线平行证 明线面平行;(2)利用面面平行的性质,证明线面平行.所以本题可以从两个角度考虑,一 是在平面 PAD 中找与 CE 平行的直线,二是构造过 CE 且与平面 PAD 平行的平面. [解析] 方法一:如图所示,取 PA 的中点 H,连接 EH,DH. 因为 E 为 PB 的中点, 1 所以 EH∥AB,EH= AB. 2 1 又 AB∥CD,CD= AB, 2 所以 EH∥CD,EH=CD. 因此四边形 DCEH 是平行四边形,

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