高中数学人教A版必修2同步练习:2.2.4平面与平面平行的性质


第二章
一、选择题

2.2

2.2.4
)

1.平面 α∥平面 β,平面 r∩α=m,平面 r∩β=n,则 m 与 n 的位置关系是( A.平行 C.异面 [答案] A B.相交 D.以上均有可能

2.已知长方体 ABCD-A′B′C′D′,平面 α∩平面 AC=EF,平面 α∩平面 A′C′ =E′F′,则 EF 与 E′F′的位置关系是( A.平行 C.异面 [答案] A [解析] 由于平面 AC∥平面 A′C′,所以 EF∥E′F′. 3.有一正方体木块如图所示,点 P 在平面 A′C′内,棱 BC 平行于平面 A′C′,要 经过 P 和棱 BC 将木料锯开,锯开的面必须平整,有 N 种锯法,则 N 为( ) ) B.相交 D.不确定

A.0 C.2 [答案] B

B .1 D.无数

[解析] ∵BC∥平面 A′C′,∴BC∥B′C′,在平面 A′C′上过 P 作 EF∥B′C′, 则 EF∥BC,∴沿 EF、BC 所确定的平面锯开即可.又由于此平面唯一确定,∴只有一种方 法,故选 B. 4.已知 a,b 表示直线,α,β,γ 表示平面,则下列推理正确的是( A.α∩β=a,b?α?a∥b B.α∩β=a,a∥b?b∥α 且 b∥β C.a∥β,b∥β,a?α,b?α?α∥β D.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b [答案] D [解析] 选项 A 中,α∩β=a,b?α,则 a,b 可能平行也可能相交,故 A 不正确; 选项 B 中,α∩β=a,a∥b,则可能 b∥α 且 b∥β,也可能 b 在平面 α 或 β 内,故 B 不 正确; )

选项 C 中,a∥β,b∥β,a?α,b?α,根据面面平行的判定定理,再加上条件 a∩b= A,才能得出 α∥β,故 C 不正确; 选项 D 为面面平行性质定理的符号语言,故选 D. 5.已知两条直线 m,n 两个平面 α,β,给出下面四个命题: ①α∩β=m,n?α?m∥n 或者 m,n 相交; ②α∥β,m?α,n?β?m∥n; ③m∥n,m∥α?n∥α; ④α∩β=m,m∥n?n∥β 且 n∥α. 其中正确命题的序号是( A.① C.④ [答案] A 6.平面 α∥平面 β,△ABC,△A′B′C′分别在 α、β 内,线段 AA′,BB′,CC′ 共点于 O, O 在 α、 β 之间. 若 AB=2, AC=1, ∠BAC=60° , OA?OA′=3?2, 则△A′B′C′ 的面积为( A. 3 9 ) B. 3 3 ) B.①④ D.③④

2 3 C. 9 [答案] C [解析] 如图∵α∥β,

2 3 D. 3

∴ BC ∥ B′C′ , AB ∥ A′B′ , AC ∥ A′C′ ,∴△ ABC ∽△ A′B′C′, AB OA 3 3 且由 = = 知相似比为 , 2 A′B′ OA′ 2 1 1 3 又由 AB=2,AC=1,∠BAC=60° ,知 S△ABC= AB· CD= AB· (AC· sin60° )= ,∴S△ 2 2 2
A′B′C′=

2 3 . 9

二、填空题 7.(2013~2014· 东莞模拟)如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形 EFGH 为截 面,则四边形 EFGH 的形状为________. [答案] 平行四边形

[解析] ∵平面 ABFE∥平面 CDHG, 又平面 EFGH∩平面 ABFE=EF, 平面 EFGH∩平面 CDHG=HG, ∴EF∥HG. 同理 EH∥FG, ∴四边形 EFGH 的形状是平行四边形. 8.如图,在四面体 ABCD 中,若截面 PQMN 是正方形,则在下列结论中正确的为 ________.

①AC⊥BD; ②AC∥截面 PQMN; ③AC=BD; ④异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45° . [答案] ①②④ [解析] ∵MN∥PQ,∴PQ∥平面 ACD,又平面 ACD∩平面 ABC=AC,∴PQ∥AC, 从而 AC∥截面 PQMN,②正确;同理可得 MQ∥BD,故 AC⊥BD,①正确;又 MQ∥BD, ∠PMQ=45° ,∴异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45° ,故④正确.根据已知条件无法得到 AC,BD 长度之间的关系.故填①②④. 9.已知平面 α∥平面 β,点 A,C∈α,点 B,D∈β,直线 AB,CD 交于点 S,且 SA=8, SB=9,CD=34. (1)若点 S 在平面 α,β 之间,则 SC=________. (2)若点 S 不在平面 α,β 之间,则 SC=________. [答案] (1)16 (2)272

[解析] (1)如图 a 所示, 因为 AB∩CD=S, 所以 AB, CD 确定一个平面, 设为 γ, 则 α∩γ =AC,β∩γ=BD.

SA SC SA SC 因为 α∥β,所以 AC∥BD.于是 = ,即 = . SB SD AB CD SA· CD 8×34 所以 SC= = =16. AB 9+8

SA SC (2)如图 b 所示,同理知 AC∥BD,则 = , SB SD 8 SC 即 = ,解得 SC=272. 9 SC+34 三、解答题 10.(2013· 山东)如图,四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,E 为 PB 的中点.求 证:CE∥平面 PAD.

[分析] 证明线面平行,有两种思路:(1)利用线面平行的判定定理,通过线线平行证 明线面平行;(2)利用面面平行的性质,证明线面平行.所以本题可以从两个角度考虑,一 是在平面 PAD 中找与 CE 平行的直线,二是构造过 CE 且与平面 PAD 平行的平面. [解析] 方法一:如图所示,取 PA 的中点 H,连接 EH,DH. 因为 E 为 PB 的中点, 1 所以 EH∥AB,EH= AB. 2 1 又 AB∥CD,CD= AB, 2 所以 EH∥CD,EH=CD. 因此四边形 DCEH 是平行四边形, 所以 CE∥DH. 又 DH?平面 PAD,CE?平面 PAD, 因此 CE∥平面 PAD. 方法二:如图所示,取 AB 的中点 F,连接 CF,EF, 1 所以 AF= AB. 2

1 又 CD= AB,所以 AF=CD. 2 又 AF∥CD,所以四边形 AFCD 为平行四边形, 因此 CF∥AD. 又 CF?平面 PAD,所以 CF∥平面 PAD. 因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点,所以 EF∥PA. 又 EF?平面 PAD,所以 EF∥平面 PAD. 因为 CF∩EF=F,故平面 CEF∥平面 PAD. 又 CE?平面 CEF,所以 CE∥平面 PAD. 11.如图所示,P 是△ABC 所在平面外一点,平面 α∥平面 ABC,α 分别交线段 PA, PA′ 2 S△A′B′C PB,PC 于 A′,B′,C′.若 = ,求 的值. A′A 3 S△ABC

[答案] 由面面平行可得线线平行,再由等角定理可得对应角相等,从而三角形相似, 利用相似三角形的比例关系找到面积比. [解析] ∵平面 α∥平面 ABC,平面 PAB∩平面 α=A′B′, 平面 PAB∩平面 ABC=AB, ∴A′B′∥AB.同理可证 B′C′∥BC,A′C′∥AC. ∴∠B′A′C′=∠BAC,∠A′B′C′=∠ABC,∠A′C′B′=∠ACB, ∴△A′B′C′∽△ABC. 又∵PA′?A′A=2?3,∴PA′?PA=2?5,. ∴A′B′?AB=2?5. ∴SA′B′C′?SABC=4?25,即 S△A′B′C′ 4 = . 25 S△ABC

12.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点, 设 Q 是 CC1 的点,问:当点 Q 在什么位置时,平面 D1BQ 与平面 PAO 平行?

[解析] 如图,设平面 D1BQ∩平面 ADD1A1=D1M,点 M 在 AA1 上,由于平面 D1BQ∩ 平面 BCC1B1=BQ,平面 ADD1A1∥平面 BCC1B1,由面面平行的性质定理可得 BQ∥D1M.

假设平面 D1BQ∥平面 PAO,由平面 D1BQ∩平面 ADD1A1=D1M,平面 PAO∩平面 ADD1A1=AP,可得 AP∥D1M,所以 BQ∥AP.因为 P 为 DD1 的中点,所以 Q 为 CC1 的中点. 故当 Q 为 CC1 的中点时,平面 D1BQ∥平面 PAO.


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