高中数学人教A版必修5多媒体教学优质课件2.1 第2课时 数列的通项公式与递推公式_图文

第2课时 数列的通项公式与递 推公式 复习回顾 1.数列的定义: 按照一定顺序排列的一列数称为数列. (数列具有有序性、可重复性、确定性) 2.数列与函数的关系: * 数列可以看成以正整数集 N(或它的有限子集 {1,2,…,n})为定义域的函数 a n =f(n) 当自 变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一 列函数值. 反过来,对于函数y=f(x),如果f(i) (i=1,2,3,…)有意义,那么我们可以得到一个 数列f(1),f(2),f(3),…,f(n),… 1.了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数 列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其 前几项的特征写出它的一个通项公式.(重点) 2.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公 式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的前 几项.(难点) 探究点1 数列的通项公式 如果数列{a n }的第n项与序号n之间的关系可以用一个 式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项. 注:数列与函数的关系 函数值 y=f(x) an 自变量 项 (正整数集N﹡或它的有 通项公式 限子集{1,2,3, …,n}) n 例1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4 项分别是下列各数: 1 1 1 (1) 1,- , ,- . 2 3 4 (2) 2, 0, 2, 0. 通项公式不 唯一 解:(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号 的倒数,并且奇数项为正,偶数项为负,所以, 它的一个通项公式为 n+1 (-1) an = n (2)这个数列的前4项构成一个摆动数列,奇 数项是2,偶数项是0,所以,它的一个通项公 式为 a n =(-1) ? 1 . n+1 思考:1.根据数列的前若干项写出的通项公式 的形式唯一吗?请举例说明. 不一定唯一. 2,n为奇数 如:例( 1 2)中通项公式还可以写成a n ={0 ,n为偶数 , n? 或a n = 2sin 或a n =1 ? cos n? . 2 2 2.根据数列的前若干项一定能写出通项公式吗? 请举例说明. 不一定能写出. 如:2精确到1,0.1,0.01,0.001, ?的不足近似值 构成的数列1, 1.4, 1.41, 1.414, ... 就无法写出通项 公式. 例2 已知数列?a n ?的通项公式为 a n = 2n -1 ,用列表 写出这个数列 ?a n ?的前5项,并作出图象. 解:列表: n an =2n-1 1 1 2 3 3 5 4 7 5 9 图象如下: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 an=2n-1 图象是一群 孤立的点 1 O 1 2 3 4 5 6 7 n 例3 图中的三角形图案称为谢宾斯基 (Sierpinski)三角形.在下图四个三角形图案中, 着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4 项,请写出这个数列的一个通项公式,并在直角 坐标系中画出它的图象. (1) (2) (3) (4) 解:如图,这四个三角形图案中着色的小三角形 的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是 3的指数幂,指数为序号减1.所以,这个数列的一 个通项公式是 a n = 3 n-1 . 在直角坐标系中的图象如图所示. 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 O a n = 3n-1 1 2 3 4 探究点2 数列的递推公式 1.观察以下数列,并写出其通项公式: (1)1,3,5,7,9,11,… a n = 2n -1 a n = -( 2 n-1) (2)0,-2,-4,-6,-8,… (3)3,9,27,81,… a n = 3n 思考:除用通项公式外,还有什么办法可以确 定这些数列的每一项? 解:(1)a1 = 1,a2 = 3 = 1+ 2 = a1 + 2, a3 = 5 = a2 + 2,...,an = an-1 + 2. (2)a1 = 0,...,an = an-1 - 2. (3)a1 = 3,...,an = 3an-1 2.观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型. 模型一:自上而下 第1层钢管数为4,即 1 ? 4=1+ 3, 第2层钢管数为5,即 2 ? 5=2 + 3, 第3层钢管数为6,即 3 ? 6=3 + 3, 第4层钢管数为7,即 4 ? 7=4 + 3, 第5层钢管数为8,即 5 ? 8=5 + 3, 若用a n 表示钢管数,n表示层数,则可得出每一层 的钢管数为一数列,且a n = n + 3. … 模型二:上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1, 即a1 = 4,a 2 = 5 = 4 +1 = a1 +1, a 3 = 6 = 5 +1 = a 2 +1, 以此类推:a n = a n-1 +1(2 ≤ n ≤ 7) 对于上述所求关系,若知其第n-1项,即可 求出其他项,看来,这一关系也较为重要. 3.如果一个数列 {a n }的首项a1 = 1,从第2项起每一项等于 它的前一项的2倍再加上1,即a n = 2a n-1 +( 1 n>1), 那么a 2 =2a1 +1=3, ...a 3 =2a 2 +1=7, 像这样给出数列的方法叫做递推法,其中 a n = 2a n-1 + ( 1 n>1)称为递推公式. 递推公式也是数列的一种表示方法. 例4 设数列{an}满足 写出这个数列的前5项. 解:由题意可知 a1 = 1, 1 1 a2 = 1+ = 1+ = 2, a1 1 1 1 3 a3 = 1+ = 1+ = , a2 2 2 1 2 5 a4 = 1+ = 1+ = , a3 3 3 1 3 8 a5 = 1+ = 1+ = , a4 5 5 例5 已知a1

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