天津外国语学校3.3.2双曲线的简单几何性质课件(共48张PPT)


3.3.2双曲线简单 的几何性质(1)

定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象
F1 o F2

x
F1

x

方程 焦点
a.b.c 的关 系

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)
2 2

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2

2

2

c ?a ?b

x2 y 2 一、研究双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的简单几何性质 a b

1、范围 2 x 2 2 ? 1 , x ? a 2 a ? x ? a, x ? ? a 2、对称性

y
(-x,y) -a (-x,-y) (x,y)

o a
(x,-y)

x

关于x轴、y轴和原点都是对称的. x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心。

3、顶点
(1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点
顶点是 A1 (?a,0)、A2 (a,0) 只有两个!

( 2) 如图,线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴,它的长为2a, a叫做 实半轴长;线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴,它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长 ( 3) 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y (0,b)

B2
x

A1 (-a,0)o (a,0) A2
(0,-b) B
1

x ? y ? m( m ? 0)
2 2

4、渐近线
动画演示
y b N(x,y’) Q M(x,y)

2 2 x y 双曲线在第一象限内部 分的方程为 (1) 双曲线 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 b 2 a2 b b y? x ? a ( x ? 0) 的渐近线为 y ? ? x a a b 2 2 它与 y ? x 的位置关系 : 等轴双曲线 x ?y ?m (2) a b A 1 在 y ? x 的下方 (m ? 0)的渐近线为 a

B2

b 它与y ? x的位置的变化趋势 : a (3 ) 利用渐近线可以较准确的 画出双曲线的草图 慢慢靠近

y ? ?x

o

A2
a x

B1

b y?? x a

b y? x a

5、离心率
c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ? ,叫做 (1)定义: a 双曲线的 离心率。
(2)e的范围:

c>a>0

?

e >1

(3)e的含义:
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大!

b c2 ? a2 c 2 ? ? ( ) ? 1 ? e2 ? 1 a a a b b ?当e ? (1,?? )时, ? (0,?? ), 且e增大, 也增大 a a ? e增大时,渐近线与实轴 的夹角增大

(4)等轴双曲线的离心率e= ?

2
2

离心率e ? 2的双曲线是等轴双曲线

c (5) e ? a

c ? a ?b
2 2

在a、b、c、e四个参数中,知二可求 二

焦点在x轴上的双曲线的几何性质
x2 y2 双曲线标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b

1、 范围: x≥a或x≤-a 2、对称性: 关于x轴,y轴,原点对称。 3、顶点: A1(-a,0),A2(a,0)

y

b y? x a

O

x
b y?? x a

4、轴:实轴 A1A2 虚轴 B1B2 b 5、渐近线方程: y ? ? x a c e= 6、离心率:

a

焦点在y轴上的双曲线的几何性质
y

(1)范围: y ? a, y ? ?a (2)对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称 (3)顶点: (0,-a)、(0,a) (4)渐近线: y ? ? a x
b
-b a o -a b x

c (5)离心率: e ? a

B2

. .
B2 A2
2 2 2 2

图形

. .
F1(-c,0)
F1

y

y
F2 B1

A1 A2
O

F2(0,c) x F1(0,-c)

B1 F2(c,0)

F2

x

A1 O F1

方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) a b
2 2 2 2

y x ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a b
y ? a 或 y ? ?a,x ? R

x ? a 或 x ? ?a,y ? R

关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

关于x轴、y轴、原点对称
A1(0,-a),A2(0,a)

c e? a

(e ? 1)

b y?? x a

c e? a

(e ? 1)

a y?? x b

例1、求下列双曲线的渐近线方程 2x±3y=0 (1)4x2-9y2=36, (2)25x2-4y2=100.
5x±2y=0

例2 :求双曲线

9y2 ?16x2 ? 144 的实半轴长,虚半轴长,
y2 x2 ? 2 ?1 2 4 3

焦点坐标,离心率.渐近线方程。 解:把方程化为标准方程 可得:实半轴长a=4 虚半轴长b=3

半焦距c=

42 ?32 ? 5

焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率:
e ?

4 渐近线方程: y ? ? x 3

c 5 ? a 4

5 例3:已知双曲线顶点间的距离是16,离心率e ? , 4 焦点在x轴上,中心在原点,写出双曲线的方 程,并且求出它的渐近 线和焦点坐标 . 2 2
解:依题意可设双曲线 的方程为
c 5 又 ? e ? ? ,? c ? 10 a 4

? 2a ? 16,即a ? 8

x y ? ?1 2 2 a b

?b 2 ? c 2 ? a 2 ? 102 ? 82 ? 36
x2 y2 ? 双曲线的方程为 ? ?1 64 36 3 ? 渐近线方程为 y ? ? x 4

焦点F1 (?10,0), F2 (10,0)

4 1、若双曲线的渐近线方程为 y ? ? x, 则双曲线 3
的离心率为 。
2、若双曲线的离心率为2,则两条渐近线的夹角 为 。 3、求中心在原点,对称轴为坐标轴,经过 点P ( 1, -3 ) 且离心率为 2 的双曲线标准 方程.

y x ? ?1 8 8

2

2

例4 :求下列双曲线的标准方程:
x2 y2 (3 2 , 2) ⑵与双曲线 ? ? 1 有公共焦点,且过点 16 4

x2 y2 ⑴与双曲线 ? ? 1 有共同渐近线,且过点 ( ? 3, 2 3 ) ; 9 16

例4 :求下列双曲线的标准方程
x2 y2 ? 1 有共同渐近线,且过点 (?3, 2 3) ; ⑴与双曲线 ? 9 16

⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论) x2 y2 4 解:双曲线 ? ? 1 的渐近线为 y ? ? x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 ? 4 , 3 9 16 4 故点 (?3,2 3) 在射线 y ? ? x (x≤0)及 x 轴负半轴之间, 3 x2 y2 ∴ 双曲线焦点在 x 轴上,∴设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0), a b ?b 4 ? 2 9 2 2 ? a ? ? x y ? a 3 ∴? 解之得 ? ?1 4 ,∴ 双曲线方程为 ? ? 9 2 2 4 ?b2 ? 4 ? ( ?3) ? (2 3) ? 1 ? 2 2 4 ? b ? a

例4 :求下列双曲线的标准方程
法二:巧设方程,运用待定系数法.

x2 y2 ⑴设双曲线方程为 ? ? ? (? ? 0) , 9 16
1 ( ?3)2 (2 3)2 ?? ? ? ? ?? 4 9 16 2 2 x y ? 双曲线的方程为 ? ?1 9 4 4
2

共准线的双曲线方程:

x y ? 2 ? ? (? ? 0) 2 a b

2

例4 :求下列双曲线的标准方程
x2 y2 ? ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 , 2) . ⑵与双曲线 16 4

法一:直接设标准方程,运用待定系数法 x2 y2 ⑵解:设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) a b 2 ? a 2 ? b 2 ? 20 ? a ? 12 ? 则? 解之得 ? 2 ? (3 2 )2 2 2 b ?8 ? ? ? ? 1 ? 2 2
? a b

x2 y2 ? ?1 ∴双曲线方程为 12 8

例4 :求下列双曲线的标准方程
法二:设双曲线方程为
x2 y2 ? ?1 16 ? k 4 ? k
(3 2)2 22 ∴ 16 ? k ? 4 ? k ? 1

?16 ? k ? 0且4 ? k ? 0?
, 解之得k=4,
x2 y2 ? ?1 12 8

∴ 双曲线方程为

x2 y 2 结论:与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)有共同焦点的双曲线方 a b 程表示为 x 2 y2

a2 ? ?

?

b2 ? ?

? 1(?b2 ? ? ? a 2 )

总结:
1、“共渐近线”的双曲线

x2 y 2 x2 y 2 与 2 ? 2 ? 1共渐近线的双曲线系方程为 2 ? 2 ? ? (? ? 0,?为参数), a b a b
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线;λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。

2、“共焦点”的双曲线
x2 y 2 (1)与椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0)有共同焦点的双曲线方程表

示为

x2 y2 2 2 ? ? 1( b ? ? ? a ). 2 2 a ?? ? ?b

x2 y 2 (2)与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)有共同焦点的双曲线方 a b 2 2 x y 程表示为 2 2

a ??
2

?

b ??
2

? 1(?b ? ? ? a )

x2 y 2 巩固练习:1、求与椭圆 ? ? 1有公共焦点, 49 24 5 且离心率e ? 的双曲线方程。 4 2 解:由c ? 49 ? 24 ? 25, 得c ? 5.? 焦点为( ? 5, 0),
x2 y2 5 5 设共焦点的双曲线为 2 ? 2 ? 1, 然后由 ? 2 a 5 ?a a 4 2 2 x y 求得a ? 4, b 2 ? 25 ? 16 ? 9, 可得 ? ? 1. 16 9

x2 y2 ? 1 有共同焦点,渐近线方程为 2、求与椭圆 ? 16 8

x ? 3y ? 0 的双曲线方程。
解: 椭圆的焦点在x轴上,且坐标为

F , 0),F ( , 0) 1 (?2 2 2 2 2
? 双曲线的焦点在x轴上,且c ? 2 2 3 ? 双曲线的渐近线方程为 y ? ? x 3 b 3
?

?

a 3 2 解出 a ? 6,b 2 ? 2 2 2 y x ? 双曲线方程为 ? ?1 6 2

,而c 2 ? a 2 ? b 2 , ? a 2 ? b 2 ? 8

3.3.2双曲线简单 的几何性质(2)

图形

A1

.
2 2

y
B2 O

F1

.

F2

A2

x

. .
B2

y

F1(-c,0) B1 F2(c,0)
方程 范围

F1(-c,0)
2

F1

A1 A2
O

F2

B1
2

x F2(c,0)

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) a b
2 2

x y ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a b
2 2

?a? x?a

?b ? y ?b

x ? a 或 x ? ?a,y ? R

对称性 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 离心率 渐进线
A1(- a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

c e? a

(0 ? e ? 1)

c e? a

(e ? 1)



b y?? x a

B2

. .
B2 A2
2 2 2 2

图形

. .
F1(-c,0)
F1

y

y
F2 B1

A1 A2
O

F2(0,c) x F1(0,-c)

B1 F2(c,0)

F2

x

A1 O F1

方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) a b
2 2 2 2

y x ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a b
y ? a 或 y ? ?a,x ? R

x ? a 或 x ? ?a,y ? R

关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

关于x轴、y轴、原点对称
A1(0,-a),A2(0,a)

c e? a

(e ? 1)

b y?? x a

c e? a

(e ? 1)

a y?? x b

1、“共渐近线”的双曲线

x2 y 2 x2 y 2 与 2 ? 2 ? 1共渐近线的双曲线系方程为 2 ? 2 ? ? (? ? 0,?为参数), a b a b
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线;λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。

2、“共焦点”的双曲线
x2 y 2 (1)与椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0)有共同焦点的双曲线方程表

示为

x2 y2 2 2 ? ? 1( b ? ? ? a ). 2 2 a ?? ? ?b

x2 y 2 (2)与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)有共同焦点的双曲线方 a b 2 2 x y 程表示为 2 2

a ??
2

?

b ??
2

? 1(?b ? ? ? a )

一、双曲线的第二定义
引例:点 M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线 2 c a x ? 的距离比是常数 (c>a>0),求点M的轨迹.
c
a

解: 设点M(x,y)到l的距离为d,则
| MF | c ? 即 d a

( x ? c) ? y
2

2

a2 x? c 点M的轨迹也包括双

c ? a

M

yl
O

M F x

曲线的左支 ? a ( x ? c )2 ? y 2 ?| a 2 ? cx | .
? a 2 ( x 2 ? 2cx ? c 2 ? y 2 ) ? a4 ? 2a 2cx ? c 2 x 2

化简得 (c2-a2)x2- a2y2=a2 (c2 - a2) 就可化为: b2x2-a2y2=a2b2 即

设c2-a2 =b2, (a>0,b>0)

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.

一、双曲线的第二定义
平面内,若定点F不在定直线l上,则到定点F的 距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是 双曲线。 定点F是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线 的准线,常数e是双曲线的离心率. y x2 y2 对于双曲线 2 ? 2 ? 1 类似于椭圆 l′ l a b 2 a 是相应于右焦点F(c, 0)的 x?
M

c 右准线 a2 是相应于左焦点F′(-c, 0) x?? c 的左准线

F′
2

o

x

F

点M到左焦点与左准线的距 离之比也满足第二定义.

2 a a x? x?? c c

相应于上焦点 F(c, 0)的是上准线 点,焦点在 y轴上 的双曲线的准线 a2 y? 方程是怎样的?
c

想一想:中心在原

y F o
a2 y? c x

相应于下焦点F′(-c, 0)的是下准线
a2 y?? c

a2 y?? c

F′

例2、点M(x,y)与定点F(5,0),的距离 16 x? 和它到定直线 l : 的距离的比是常 5 5 数 , 求点M的轨迹.

4

x2 y2 例3、已知双曲线 16 ? 9 ? 1, F1、F2是它的左、右焦点. 4 设点A(9,2), 在曲线上求点M,使 | MA | ? | MF2 | y5 的值最小,并求这个最小值. 5 解: 由已知: a=4, b=3, c=5, e ? M 4 16 N 双曲线的右准线为l: x ? A 5 A1

作MN⊥l, AA1⊥l, 垂足分别是N, A1,
| MF2 | 5 ? ? | MN | 4
4 ? | MF2 |?| MN | 5

o

x

F2

4 ? | MA | ? | MF2 |?| MA | ? | MN | ?| AA1 | 5 当且仅当M是 AA1与双曲线的交点时取等号, ? 4 13 ? 29 4 13 令y=2, 解得: x ? 最小值是 . 即 M? , 2 , ? ? 3 ? 5 2 ? ?

归纳总结 1. 双曲线的第二定义
平面内,若定点F不在定直线l上,则到定点F的 距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是 双曲线。定点F是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线 的准线,常数e是双曲线的离心率。

2. 双曲线的准线方程
对于双曲线
x2 y2 a2 ? 2 ? 1 , 准线为 x ? ? 2 a b c2 a y2 x2 y?? 准线为 ? ? 1 c a 2 b2

对于双曲线

注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.

二、直线与双曲线的位置关系 复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法

相离
判断方法
(1)联立方程组 (2)消去一个未知数 (3)

相切

相交

?<0

?=0

?>0

1) 位置关系种类
Y

O

X

种类:相离;相切;相交(0个交点,一个交点, 一个交点或两个交点)

2)位置关系与交点个数
Y

相交:两个交点
相切:一个交点
O X

相离:0个交点

Y

相交:一个交点

O

X

3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序

把直线方程代入双曲线方程

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

?y = kx + m ? 2 消去y,得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 ? x y2 ? 2 - 2 =1 ?a b

1.二次项系数为0时,L与双曲线的渐近线平行 或重合。

重合:无交点;平行:有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 Δ=0 Δ<0 直线与双曲线相交(两个交点) 直线与双曲线相切 直线与双曲线相离

特别注意直线与双曲线的 位置关系中:

一解不一定相切,相交不一定 两解,两解不一定同支

例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k< ? 5或k> 5 ;

且k ? ?1 (2)有两个公共点; (2) ? 5 <k< 5 ;
2 2

2

2

(3)只有一个公共点; (3)k=±1,或k= ± 5 ;
2

(4)交于异支两点; (4)-1<k<1 ;

5 (5)与左支交于两点. ? k ? ?1 2

x y ? ? 1 只有 一个 1.过点P(1,1)与双曲线 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______ 条. ( 1, 1)


2

2

变题:将点P(1,1)改为

O

X

1.A(3,4)
2.B(3,0)

3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的? 1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.

2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点 ??, 0? ? ?1, ? ?? (异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是? _________

x2 y2 ? ?1 交于两点的直线斜率的 3.过原点与双曲线 ? 4 3 ?3 ? 3 ? 取值范围是 ? ??, ? ?? , ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ?

三、弦长问题

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F2 , 例1、如图,过双曲线 3 6 ? 倾斜角为 30 的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一 :如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.

x2 y2 ? 1.过双曲线 ? ? 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲线 9 16 4

交于 A、B 两点,则|AB|= 192 . 2.双曲线的两条渐进线方程为 x ? 2 y ? 0 ,且截直线 x ? y ? 3 ? 0
8 3 ,则该双曲线的方程为( ) 3 x2 y2 y2 x2 2 2 2 ? 1 (C) x ? ? 1 (D) ? y 2 ? 1 (A) ? y ? 1 (B) x ? 2 4 2 4

7

所得弦长为

D

韦达定理与点差法
例.已知双曲线方程为3x2-y2=3, 求: (1)以2为斜率的弦的中点轨迹; (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹; (3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程. (4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗?说明理由;

Thank You!

复习练习:
x2 y 2 1、求与椭圆 ? ? 1有公共焦点,且离心率 49 24 5 e ? 的双曲线方程。 4
x2 y2 ? ? 1 有共同焦点,渐近线方程为 2. 求与椭圆 16 8

x ? 3y ? 0 的双曲线方程。
x y 3、求以椭圆 ? ? 1 的焦点为顶点,以椭圆的 8 5 顶点为焦点的双曲线的方程。
2 2

例题讲解
例题、双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的 最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径

为25m,高55m.选择适当的坐标系,求出此
双曲线的方程(精确到1m).
C′ A′ 0

y
13 C 12 A x

B′

25

B


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