北京市丰台区2011届高三一模数学(文)试卷及答案


丰台区 2011 年高三年级第二学期统一练习(一) 数 学(文科)
2011.3 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1.已知集合 U ? R , A ? { x x ? 5 x ? 6 ? 0} ,那么 ? U A ?
2

(A) { x x ? 2 或 x ? 3} (C) { x x ? 2 或 x ? 3}

(B) { x 2 ? x ? 3} (D) { x 2 ? x ? 3}

2. “a=2”是“直线 ax+2y=0 与直线 x+y+1=0 平行”的 (A) 充分不必要条件 (C) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

3.已知平面向量 a , b 的夹角为 60° | a |? 4 , | b | ? 3 ,则 | a ? b | 等于 , (A) 37
2

(B)
2

37

(C) 13

(D) 1 3

4.记集合 A ? {( x , y ) x ? y ? 4} 和集合 B ? { ( x , y ) | x ? y ? 2 ? 0, x ? 0, y ? 0} 表示的平面 区域分别为 Ω1,Ω2,若在区域 Ω1 内任取一点 M(x,y),则点 M 落在区域 Ω2 内的概率为 (A)
? 2?

(B)

? ?

(C)

? 4

(D)

??? ??

5.如图所示,O 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 对角线 A1C 与 AC1 的交点,E 为棱 BB1 的中点,则 空间四边形 OEC1D1 在正方体各面上的正投影不可能是 ...
A1 O D D1 B1 C1

E C B

(A)

(B)

(C)

(D)

A

开始 6.程序框图如图所示,若输入 a 的值是虚数单位 i,则输出的结果是 (A) -1 (C) 0 (B) i-1 (D) - i S=0,n=1 S= S +an n= n +1 n≤2011 否 输出 S 结束 是 输入 a

7.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面.有下列四个命题: ① 若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? ;

② 若 ? // ? , m ? ? ,则 m // ? ; ③ 若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ; ④ 若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? . 其中正确命题的序号是 (A) ①③ (B) ①②

(C) ③④

(D) ②③

8.若函数 f ( x ) 满足条件:当 x1 , x 2 ? [ ? 1,1] 时,有 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? 3 | x1 ? x 2 | 成立,则称
f (x) ? ? .

对于函数 g ( x ) ? x , h ( x ) ?
3

1 x?2

,有 (B) g ( x ) ? ? 且 h ( x ) ? ? (D) g ( x ) ? ? 且 h ( x ) ? ?

(A) g ( x ) ? ? 且 h ( x ) ? ? (C) g ( x ) ? ? 且 h ( x ) ? ?

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知抛物线 y ? 4 x 上一点 P(3,y),则点 P 到抛物线焦点的距离为 .
2

10.已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 Sn,若 a2=1,S5=10,则 S7= . y 11.已知函数 f ( x ) ? ?
? e ? 1,
x

x ? 0, x< 0.

? f ( x ? 2 ),

则 f ( ? 1) =



A
?

12.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A,点 A 的纵坐标为
4 5

O A

x

,则 cosα= .

13. 某路段检查站监控录像显示, 在某段时间内有 2000 辆车通过该站, 现随机抽取其中的 200 辆进行车速分析,分析结果表示为如图所示的频率分布直方图.则图中 a= ,估计在这段 时间内通过该站的汽车中速度不小于 90km/h 的约有 辆. 14.用[x]表示不超过 x 的最大整数,如[1.8]=1.对于下面关于函数
f ( x ) ? ( x ? [ x ]) 的四个命题:
2

①函数 y ? f ( x ) 的定义域为 R,值域为 [0 ,1] ; ②函数 y ? f ( x ) 的图象关于 y 轴对称; ③函数 y ? f ( x ) 是周期函数,最小正周期为 1;

④函数 y ? f ( x ) 在 (0 ,1) 上是增函数. 其中正确命题的序号是 . (写出所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 已知△ ABC 的内角 A,B,C 的对边 a,b,c 满足 b2+c2-a2=bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x ) ?
3 sin x 2 cos x 2 ? cos
2

x 2

,求 f ( B ) 的最大值.

16. (本小题共 13 分) 如图, 在四棱锥 P ? A B C D 中, 底面 A B C D 为直角梯形, AD//BC, ∠ADC=90°, BC= PA=PD,Q 为 AD 的中点. (Ⅰ)求证:AD⊥平面 PBQ; (Ⅱ)若点 M 在棱 PC 上,设 PM=tMC,试确定 t 的值,使得 PA//平面 BMQ. M D Q A B C P
1 2

AD,

17. (本小题共 13 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 Sn,且 S n ? (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)在数列 { b n } 中, b1 ? 5 , b n ? 1 ? b n ? a n ,求数列 { b n } 的通项公式.
3 2 an ? 1 (n ? N ) .
*

18. (本小题共 14 分) 已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)直线 y ? kx ? 2 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,在 O A 上存在一点 M , O B 上存在一点
???? ? ? 1 ??? A B ,若原点 O 在以 M N 为直径的圆上,求直线斜率 k 的值. N ,使得 M N ? 2 1 2

,对称轴为坐标轴,且经过点 (1, ) .
2

3

19. (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? b x ? 4 在 ( ? ? , 0 ) 上是增函数,在 (0 ,1) 上是减函数.
3 2

(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)当 x ? 0 时,曲线 y ? f ( x ) 总在直线 y ? a x ? 4 上方,求 a 的取值范围.
2

20. (本小题共 13 分)
a i 已知 S n ? { A A ? ( a 1 , a 2 , a 3 , ? , a n ) , i ? 0 或 1, ? 1, 2, ? , n } ( n ? 2 ) , 对于 U , V ? S n ,
d (U , V ) 表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数.

(Ⅰ)如果 U ? (0, 0, 0, 0 ) ,存在 m 个 V ? S 4 ,使得 d (U , V ) ? 2 ,写出 m 的值; (Ⅱ)如果 W ? (0 , 0 , 0 , ? , 0 ) , U , V ? S n ,求证: d (U , W ) ? d (V , W ) ? d (U , V ) .
??? ??
n个 0

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

丰台区 2011 年高三年级第二学期统一练习(一) 数 学(文科)参考答案 2011.3
5 A 6 A 7 D 8 C

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1 2 3 4 题号 答案 B C B A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.4 10.21 12. ?
3 5

11.e-1 14. ③④(写对一个给 2 分,

13.0.02,600

多写不给分) 注:两个空的填空题第一个空填对得 2 分,第二个空填对得 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 已知△ ABC 的内角 A,B,C 的对边 a,b,c 满足 b2+c2-a2=bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x ) ?
3 sin x 2 cos x 2 ? cos
2

x 2 1 2

,求 f ( B ) 的最大值.

解: (Ⅰ)在△ ABC 中,因为 b2+c2-a2=bc, 由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 分) ??3 分 ∵ 角) ∴A ? ????5 分 (
f (x) ? 3 sin x 2 cos x 2 ? cos
2

可得 cosA=

.(余弦定理或公式必须有一个,否则扣 1

0<A<π
? 3





写 成 A ????????4 分













????


x 2


1 2

?

3 2

s in x ?

1 2

cos x ?

????????7


? s in ( x ? ? 6 )? 1 2 2? 3 ? 6 ? 6 5? 6



???

?????9 分 ∵ A?
? 3

∴ B ? (0,

)



? B?

?

(没讨论,扣 1

分)???????10 分


3 2



B?

? 6

?

? 2





B ?

? 3





f (B)













????????13 分

16. (本小题共 13 分) 如图, 在四棱锥 P ? A B C D 中, 底面 A B C D 为直角梯形, AD//BC, ∠ADC=90°, BC= PA=PD,Q 为 AD 的中点. (Ⅰ)求证:AD⊥平面 PBQ; (Ⅱ)若点 M 在棱 PC 上,设 PM=tMC,试确定 t 的值,使得 PA//平面 BMQ. 证明: (Ⅰ)AD // BC,BC=
1 2
1 2

AD,

AD,Q 为 AD 的中点,

∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形, ????????2 分 ∴CD // BQ . ∵ ∠ADC=90° , ∴∠AQB=90° , 即 QB⊥AD. ∵ PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵ PQ∩BQ=Q , ∴AD⊥平面 PBQ. ( Ⅱ ) 当 分)
t ?1

P

????????3 分 D ????????4 分 ????????5 分 A ????????6 分 BMQ . ( 没 写 结 论 扣 Q N

M

C B 2

时 , PA// 平 面

????????8 分 连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN. ∵BC // ∴
1 2

DQ, BCQA 为 平 行 四 边 形 , 且 N 为 AC 中

四 边 形

点,

????????9 分 ∵点 M 是线段 PC 的中点, ∴ MN ????????10 分 ∵ MN
?

//

PA. 平 面 BMQ ,

PA

?





BMQ,

????????11 分

∴ BMQ.

PA

//

平 ????????13 分



17. (本小题共 13 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 Sn,且 S n ? (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)在数列 { b n } 中, b1 ? 5 , b n ? 1 ? b n ? a n ,求数列 { b n } 的通项公式. 解 : ( I ) 当 n=1 时 ,
a1 ? 3 2 a1 ? 1 3 2 an ? 1 (n ? N ) .
*





a1=2. 当 n ? 2 时, ∵Sn ?
S n ?1 ? 3 2 3 2 an ? 1 a n ? 1 ? 1( n ? 2 )

????????2 分

① ② :
an ? ( 3 2 a n ? 1) ? ( 3 2 a n ? 1 ? 1)



-









a n ? 3 a n ?1 ,

????????3 分 是 首 项 为 2 , 公 比 为 3 的 等 比 数

∴ 列. ∴
an ? 2 ? 3

数 列 {a n }

????????4 分
n ?1



???????

?6 分 (II)∵ b n ? 1 ? b n ? a n , ∴当 n ? 2 时, b n ? b n ? 1 ? 2 ? 3 ??
b3 ? b 2 ? 2 ? 3 b 2 ? b1 ? 2 ? 3
1 n?2

0

????

????8 分 相 加 得

b n ? b1 ? 2 ? (3

n?2

?? ? 3 ? 3 ) ? 5?
1 0

1? 3

n ?1

1? 3

?3

n ?1

?4.

????????11 分

(相加 1 分,求和 1 分,结果 1 分) 当
3
1?1

n=1

时 ????????12 分



? 4 ? 5 ? b1 ,


bn ? 3
n ?1

?4.

????????13 分

18. (本小题共 14 分) 已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)直线 y ? kx ? 2 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,在 O A 上存在一点 M , O B 上存在一点
???? ? ? 1 ??? A B ,若原点 O 在以 M N 为直径的圆上,求直线斜率 k 的值. N ,使得 M N ? 2 1 2

,对称轴为坐标轴,且经过点 (1, ) .
2

3


x a
2 2


? y b
2 2

(



)

















E









? 1 (a ? b ? 0) .

????????1 分
1 2


b ? a ? c ? 3c .
2 2 2 2

c a

?



∴ ????????3 分

a ? 2c



∵ 椭圆经过点 (1, ) ,
2

3


x
2













?

y

2

? 1.

????????5 分

4

3

(Ⅱ) 记 A , B 两点坐标分别为 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,
? y ? kx ? 2 ? 2 2 ?x y ? ?1 ? 3 ? 4



y





( 4 k ? 3) x ? 1 6 kx ? 4 ? 0 .
2 2

????????7 分

∵ 直线与椭圆有两个交点, ∴ ? ? (1 6 k ) ? 1 6 ( 4 k ? 3) ? 0 ,
2 4


k
2

?

1 4

. 由韦达定理 x1 ? x 2 ?
16k 4k ? 3
2

????????9 分 , x1 x 2 ?
4 4k ? 3
2



∵ 原点 O 在以 M N 为直径的圆上, ∴ O M ? O N ,即 O M ? O N ? 0 . ∵ MN ? ∴
??? ??? ? ? OA ?OB ? 0 ,
???? ? ? 1 ??? A B , M 在 O A 上, N 在 O B 上 2

???? ???? ?

????????10 分
??? ?

又 O A ? ( x1 , y 1 ) , O B ? ( x 2 , y 2 ) , ∴ O A ? O B ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 x 2 ? ( kx1 ? 2 )( kx 2 ? 2 ) ? ( k ? 1) x1 x 2 ? 2 k ( x1 + x 2 ) + 4
2

??? ?

??? ??? ? ?

? ( k ? 1)
2

4 4k ? 3
2

? 2k

16k 4k ? 3
2

+4=0 .


k =
2

4 3

?

1 2



????????13 分


k= ? 2 3 3



????????14 分

19. (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? b x ? 4 在 ( ? ? , 0 ) 上是增函数,在 (0 ,1) 上是减函数.
3 2

(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)当 x ? 0 时,曲线 y ? f ( x ) 总在直线 y ? a x ? 4 上方,求 a 的取值范围.
2

解: (Ⅰ)∵ f ( x ) ? x ? a x ? b x ? 4 ,
3 2


f '( x ) ? 3 x ? 2 a x ? b .
2

????????2 分

∵ f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ) 上是增函数,在 (0 ,1) 上是减函数, ∴
f ' ? ( 0 , )


0

x ? 0





f (x)













????????4 分


b ?0.

????????6 分
2

(Ⅱ) f '( x ) ? 3 x ? 2 a x ? x (3 x ? 2 a ) , ∵ f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ) 上是增函数,在 (0 ,1) 上是减函数, ∴
a ? ? 3 2 ? 2 3 a ?1

, ????????8 分



. ∵曲线 y ? f ( x ) 在直线 y ? a x ? 4 的上方,
2


g ( x) ? ( x ? ax ? 4) ? (a x ? 4) ,
3 2 2

????????9 分

∴在 x ? [0, ? ? ) 时, g ( x ) ? 0 恒成立. ∵ g '( x ) ? 3 x ? 2 a x ? a ? (3 x ? a )( x ? a ) ,
2 2


a 3 ? 0 a , ?

g '( x ) ? 0











?a



a 3





?
(0, ? a )

????????10 分
?a
(? a, ?? )

x
g '( x )
g (x)


?

0


?

极小值
x ? ?a


g (? a ) .







g (x)









????????12 分
3 3 3

令 g (? a ) ? (? a ? a ? 4) ? (? a ? 4) ? 0 ,
3 ∴ a ? ? 8 ,由 a ? ?

3 2





?2 ? a ? ?

3 2

.
3 2 2

????????14 分

另解: f ( x ) ? x ? a x ? 4 , f '( x ) ? 3 x ? 2 a x ? x (3 x ? 2 a ) 当 a=0 时, f ( x ) ? x ? 4 , f '( x ) ? 3 x ? 0 ,函数 f ( x ) 在定义域上为增函数,与已
3 2

知矛盾,舍; ???? ????7 分 当 a>0 时,由(Ⅰ)知, f '( x ) ? x (3 x ? 2 a ) , 函数 f ( x ) 在 ( ? ? , ?
2a 3 ) 上为增函数,在 ( ? 2a 3 , 0 ) 上为减函数,与已知矛盾,舍;

???? ????8 分 当
a ? ? 3 2 2a 3

a<0

时 ,

f ' ( x? )

x?( x 3

2 , a 由 )已 知 可 得 1 ? ?

, ∴

????????9 分 设

g ( x) ? ( x ? ax ? 4) ? (a x ? 4) ,
3 2 2

????????10

分 ∴ g '( x ) ? 3 x ? 2 a x ? a ? (3 x ? a )( x ? a ) 。
2 2

令 g '( x ) ? 0 ,两个根为 ? a ,
x
g '( x )
g (x) (0, ? a )

a 3



a 3

? 0 ? ?a ,

?a

(? a, ?? )


?

0


?

极小值
x ? ?a


g (? a ) .







g (x)









????????12 分
3 3 3

令 g (? a ) ? (? a ? a ? 4) ? (? a ? 4) ? 0 ,
3 ∴ a ? ? 8 ,由 a ? ?

3 2




?2 ? a ? ? 3 2

.

????????14



20. (本小题共 13 分)
a 已知 S n ? { A A ? ( a 1 , a 2 , a 3 , ? , a n ) , i ? 0 或 1, ? 1, 2, ? , n } ( n ? 2 ) , 对于 U , V ? S n , i
d (U , V ) 表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数.

(Ⅰ)如果 U ? (0, 0, 0, 0 ) ,存在 m 个 V ? S 4 ,使得 d (U , V ) ? 2 ,写出 m 的值; (Ⅱ)如果 W ? (0 , 0 , 0 , ? , 0 ) , U , V ? S n ,求证: d (U , W ) ? d (V , W ) ? d (U , V ) .
??? ??
n个 0

解 6. 4分







) ????????

(Ⅱ)证明:令 U ? ( a 1 , a 2 , a 3 , ? , a n ) , V ? ( b1 , b 2 , b 3 , ? , b n ) . ∵ a i ? 0 或 1, bi ? 0 或 1; 当 a i ? 0 , bi ? 0 时, | a i | ? | b i | ? 0 ? | a i ? b i | ; 当 a i ? 0 , b i ? 1 时, | a i | ? | b i | ? 1 ? | a i ? b i | ; 当 a i ? 1 , bi ? 0 时, | a i | ? | b i | ? 1 ? | a i ? b i | ; 当 a i ? 1 , b i ? 1 时, | a i | ? | b i | ? 2 ? | a i ? b i |? 0 . 故 | a i | ? | b i | ? | a i ? bi | . ∴ d (U , W ) ? d (V , W ) ? ( a 1 ? a 2 ? a 3 + ? + a n ) ? ( b1 ? b 2 ? b 3 + ? + b n )
? (| a 1 | ? | a 2 | ? | a 3| + ? + | a n |) ? (| b1 | ? | b 2 | ? | b 3| + ? + | b n |) ? (| a 1 ? b1 | ? | a 2 ? b 2 | ? | a 3 ? b 3| + ? + | a n ? b n |) ? d (U , V )

?????

???13 分 法二:记 U 、 V 中对应项同时为 0 的项的个数为 p ,对应项同时为 1 的项的个数为 q , 则对应项一个为 1,一个为 0 的项的个数为 n ? p ? q ; ( p、 q ? N , p ? q ? n ) .
d (U , W ) 即是 U 中 1 的个数, d (V , W ) 即是 V 中 1 的个数,

d (U , V ) 是 U 、 V 中对应项一个为 1,一个为 0 的项的个数.

于是有 d (U , V ) ? n ? p ? q .
U 、 V 中 1 一共有 2 q ? ( n ? p ? q ) 个,即 d (U , W ) ? d (V , W ) ? n ? p ? q .

所以有 d (U , W ) ? d (V , W ) ? d (U , V ) ? 2 q ? 0 , 于
d( ? ?

是 .
U, ????????12 分

(若用其他方法解题,请酌情给分)


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