高二数学不等式的证明2_图文

复习 1.作差比较法证不等式的步骤: 作差——变形——判断差与0的大 小——结论. 变形的方法一般有配方法、通分法 和因式分解法等.

复习 2.作商比较法证不等式的步骤:
作商——变形——判断商与1的大 小 ——结论. 注意:作商比较法一般用于两边式 子同号的不等式的证明.

新课 1.综合法: 利用某些已经证明过的不等式(例如 算术平均数与几何平均数定理)和不等式 的性质推导出所要证明的不等式成立, 这种证明方法通常叫做综合法. 2.综合法的思维特点是: 由因导果,即由已知条件出发,利 用已知的数学定理、性质和公式,推出 结论的一种证明方法.

新课
3.用综合法证明不等式的逻辑关系:

A ? B1 ? B2 ? … ? Bn ? B. (已知)(前一不等式成立的必要条件)(结论)

例1 已知a,b,c是不全相等的正数, 求证: a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc. (教材P14例5)
练习:教材P14练习第1、2题.即:
1 y x 1. 已知,求证:xy ? ? ? ? 4. xy x y

2.已知a > b > 0,0 < c <

a b d,求证: ? . c d

例2 已知a,b,c都是正数,且a, b,c成等比数列,求证: a2 ? b2 + c2 > (a ? b + c)2. 说明:此题在证明过程中运用了比较 法、基本不等式、等比中项性质,体现了 综合法证明不等式的特点.

例3 对于任意实数a、b,求证:
a 4 ? b4 a ? b 4 (当且仅当a = b时取“=”号) ?( ) . 2 2

分析:本题若使用比较法来证明, 将会很麻烦.因为所要证明的不等式右 边展开后很复杂.若使用综合法,从重 要不等式:a2 + b2 ? 2ab出发,再恰当地 利用不等式的有关性质及“配方”的技 巧可得到证明.

例3 对于任意实数a、b,求证:
a 4 ? b4 a?b 4 ?( ) . (当且仅当a = b时取“=”号) 2 2

说明:此题考查用综合法证明不等 式.综合法证明不等式主要是应用均值 不等式证明,要注意均值不等式的变形 使用,一般在式子中出现平方和乘积形 式后可以考虑用综合法来证明.

例4 已知a、b、c ? R+,a + b + c =
1 1 1 1,求证: ? ? ? 9. a b c

分析:显然这个题用比较法不易证 明.若把左边通分,则会把不等式变得 较复杂而不易得到证明.由于右边是一 个常数,故可考虑把左边的式子变为具 b a 有“倒数”特征的形式,比如 ? ,再 a b 利用“均值定理”就有可能找到正确的 证明途径,这也常称为“凑倒数”的技 巧.

例4 已知a、b、c ? R+,a + b + c =
1 1 1 1,求证: ? ? ? 9. a b c

说明:此题考查了变形用综合法证 明不等式.题目中用到了“凑倒数”, 这种技巧在很多不等式证明中都可应用, 但有时要首先对代数式进行适当变形, 以期达到可以“凑倒数”的目的. (本题也可用三元均值不等式很快证得)

由例4得:已知a、b、c ? R+,则
1 1 1 (a ? b ? c )( ? ? ) ? 9. a b c

变题:已知a、b、c ? R+,求证:
(1) (2) 1 1 1 9 (a ? b ? c )( ? ? )? ; a?b b?c c?a 2 a b c 3 ? ? ? . b?c c?a a?b 2

1. 若 a , b , c ? R+ ,求证: 课堂 2 2 2 2 2 2 a b ?b c ?c a 练习 ? abc. a?b?c 2. 设?、?、?均为锐角,求证:
sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ? ? ? ? sin ? ? sin ? ? sin ? . sin ? sin ? sin ?

分析:注意到上述不等式当? = ? = ? 时取等号,故可由均值不等式证得. 变题:若a,b,c ? R+,求证:
b c a ? ? ? a ? b ? c. a b c
2 2 2

小结

用综合法证明不等式的依据是: 1.已知条件和不等式性质; 2.基本不等式.
说明:能用综合法证明的不等式一 般可用比较法证明,用综合法证明不等式 的依据是基本不等式时,要注意定理的使 用条件和定理中“=”号成立的条件.

作业
1.《数学之友》T6.7.
2. 思考题:某市用 37 辆汽车往灾区 运送一批救灾物资,假设以v千米/小时的 速度直达灾区.已知某市到灾区的公路 线长400千米,为安全需要,两汽车间距 v 2 不得小于( ) 千米.那么,这批物资全 20 部到达灾区的最短时间是多少?

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泪摇着花玄月的胳膊央求道,花玄月也被梦瑶这一番话给惊讶住了,怪不得今天徒弟老是低着头,原来是看不见了,顿时心里一阵自责,都怪自 己,明明知道秋无痕那家伙跟她那挨千刀的娘一样不是个好东西,当初把她留在身边就应该把她囚禁起来,回想当年乖徒儿低声下气的央求自己 绕过她一命,甚至愿意以听我的话好好修炼为交换,现在想想真不该被徒弟的一番话给说的心软,要是当初我没有留下那个祸害,我的乖乖好徒 儿也不会受此折磨,还有乖徒儿以前那仿佛像会说话的大眼睛,现在双眼无神一片黯淡,想到这,花玄月又是一阵心疼,简直恨不得回去当年抽 自己一嘴巴子,叫你心软!花玄月立马就想带着花濯清去冰牢狠狠地收拾秋无痕,鞭打八百遍啊八百遍,想要有行动,夜北冥就喊道:“别去, 让她就先在那里待着,加强防卫不要让她被人救走了,弑神蛊早在一千年前就已经消失了,秋无痕一直都在幽冥城待着怎么可能得到?应该是有 人交给她的,她也只是被人利用了,现在先想想怎么从她口中得到那些人的身份。”夜北冥说完,梦瑶也跟着点头肯定道:“师姐说的对,现在 敌在暗我们在明,我们连敌人是谁都不知道,难不保证这次师姐没死她们不会第二次出手。”花玄月也冷静了下来,拂开花濯清的手,戳着花濯 清的头恨恨的说道:“看看你的师姐,再看看你,太冲动了!还不快去调人加强冰牢的守卫去?”濯清摸着被花玄月戳红的额头撇撇嘴老老实实 的出去了。梦瑶笑着摇了摇头,有一个活宝师傅感觉生活一直都不缺少欢乐。然后从怀里拿出一个黑色的木盒,从中拿出一颗泛着银光的丹药, 递给夜北冥说:“师姐,这是我练的回神丹,可以恢复你的精神力,是配合师傅的造梦铃来炼制的,你吃下去可以防止弑神蛊过早醒来。”夜北 冥接过梦瑶放在她手里的丹药,放进嘴里直接吞了下去,闭了闭眼然后说道:“感觉好多了,我想休息,你们出去吧,我不会有事的。”花玄月 立马说道:“那乖徒弟你好好休息,等你母上她们都来了我再来叫你。”然后拉着梦瑶一起关上门离开了。等房间里没有别的气息了之后,夜北 冥才躺下来,睁着空洞无神的眼睛,默默地举起了双手在自己眼前晃动,然后轻轻叹了口气,真的看不见了呢! 第003章 花园晋级夜北冥再次睁 眼已经是第二天了,尝试的坐起来活动了一下四肢,这次自己的精神力也已经完全恢复,身体也没有之前的那种无力感了,被弑神蛊破坏过的身 体恢复这么快,我想多半是师妹梦瑶的丹药的作用,小师妹已经是皇级炼药师了,只差一步就能晋级半步神级炼药师,这次多亏了师傅和小师妹 呢。夜北冥想完就慢慢的摸索着下床,因为眼睛看不见的原因,所以夜北冥觉得自己得早点适应这种黑暗的感觉,尝试着运用体内


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