山东省潍坊市重点中学10-11学年高二下学期期末考试(文数)

2010-2011 学年度高二第二学期模块检测 文科数学
2011.7 本试卷共 4 页,分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.(如需改动,用橡皮擦 干净后,再改涂在其它答案标号. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.

} 1. 集合 M ? {x | x2 ? 16} 与 N ? {x | x ? 1 都是集合 I 的子集,则图中阴影部分所表示的集 合为 } A. {x | x ? 1 B. {x | x ? 4}
C. {x | ?4 ? x ? 4} D. {x | ?4 ? x ? 1} 2. 如果 a ? 0, b ? 0 ,那么下列不等式中正确的是 A.

1 1 ? a b

B.

?a ? b

C. a ? b
2

2

D. | a |?| b |

3. 函数 f ( x) ? x sin x ? cos x 的导数是 A. x cos x ? sin x B. xcosx 4. 若 a , b 是任意实数,且 a ? b ,则 A. a ? b
2 2

C. x cos x ? sin x
b

D. cos x ? sin x

B. ( ) ? ( )
a

1 2

1 2

C. lg(a ? b) ? 0

D.

b ?0 a

5. 有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则此直线平行于平面内的所有直线;已知直 线 b ? 平面 ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b // 平面 ? ,则直线 b // 直线 a ” .结论显然是错 误的,这是因为 A.大前提错误 B.推理形式错误
1? x

C.小前提错误

D.非以上错误

6. 函数 f ( x) ? 1 ? log2 x与g ( x) ? 2

在同一直角坐标系下的图象大致是

A

B

C

D

7.已知偶函数 f ( x ) 在区间 ?0,??? 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) ? f ( ) 的 x 取值范围是

1 3

12 A.( ) 3, 3

1 2 B.[ , ) 3 3

1 2 C.( , ) 2 3

1 2 D.[ , ) 2 3

8.下列有关命题说法正确的是 A.命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”;
-1-

B.“ x ? ?1 ”是“ x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件; C.“1是偶数或奇数”为假命题; D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题.
1 9.已知函数 f ? x ? ? ? ? ? log 2 x ,若实数 x 0 是函数的一个零点,且 0 ? x ? x0 ,则 f ( x1 ) ? ? ?3? 的值为 A.恒为正值 B.等于0 C.恒为负值 D.不大于0
x
1

10. 2 x ? 5 x ? 3 ? 0 的一个必要不充分条件是
2

A.-1< x <6

B. ?

1 ?x?0 2

C. ? 3 ? x ?

1 2

D. ?

1 ? x?3 2

? ?0 ? x ? 1 ? 11. 已知x,y满足 ?0 ? y ? 1 ,则 z ? 1 ? 2x ? y 的最大值为 ? 1 ?y ? x ? ? 2

3 D. 0 2 12. 已知函数 g ( x) ? ax ? 2 (a ? 0) ,?x ???1,2? ,使得 g ( x) ???1,3? ,则实数 a 的取值范
A. 2 B. 1 C. 围是 A. (0, ]

1 2

B. [ , 3]

1 2

C. (0,3]

D. [3, ??)

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 注意事项: 1. 第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题. 2.第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在 “数学”答题卡指定的位置. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在对应题号后的横线上) 13. 函数 f ( x) ? log 1 x 2 ? 2 x ? 5 的值域是__________ .
2

?

?

?e x , x ? 0, 1 14.设 f ( x ) ? ? 则 f ( f ( )) ? 3 ?ln x, x ? 0,
15. 观察下列各式:
1 ? 12 ,

2 ? 3 ? 4 ? 32 ,
3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 52 ,

4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 7 2 , ………………..

第 n 个式子是 16. 给出下列命题: ① " ?x ? R, x ? x ? 0"的否定是 "?x ? R, x ? x ? 0" ;
2 2

②对于任意实数 x,有 f (? x) ? ? f ( x), g (? x) ? g ( x),且x ? 0时, f ' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0, 则

-2-

x ? 0时, f ' ( x) ? g ' ( x);
③函数 f ( x) ? log a

3? x (a ? 0, a ? 1) 既不是偶函数也不是奇函数; 3? x

④若对 ?x ? R, 函数 f(x)满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则 4 是该函数的一个周期. 其中真命题的个数为 .

三、解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)设集合 A ? x x ? 4 ? 0 , B ? ? x
2

?

?

?

4 ? ? 1? . ? x?3 ?

(I)求集合 ?R A ? B ; (II)若不等式 2 x ? ax ? b ? 0 的解集为 B ,求 a , b 的值.
2

3 2 18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,曲线 y ? f ( x) 在点 x ? 1 处的切

线为 l : 3x ? y ? 1 ? 0 ,若 x ? (1)求 a, b, c 的值;

2 时, y ? f ( x) 有极值. 3

(2)求 y ? f ( x) 在 ? ?3,1? 上的最大值和最小值.

19. (本小题满分 12 分)经观测,某公路段在某时刻内的车流量 y (万辆/小时)与汽车的平 均速度 v (千米/小时)之间有函数关系 y ?

92v (v ? 0). v ? 3v ? 1600 (I)在该时段内,当汽车的平均速度 v 为多少时车流量 y 最大?最大车流量为多少?
2

(II)为保证在该时段内车流量至少为 1 万辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围 内?

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? loga (2 ? x) ? loga ( x ? 2) (0 ? a ? 1) (I)求函数 f (x) 的零点; (II)若函数 f (x) 的最小值为 ?2 ,求 a 的值.

-3-

21. (本小题满分 12 分)
2 已知命题 p : x1 和 x2 是方程 x 2 ? m x? 2 ? 0 的两个实根,不等式 a ? 5a ? 3 ? x1 ? x2 对任

意实数 m ? ?? 1,1? 恒成立;命题 q:不等式 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 有解,若命题 p 是真命题命题 q 是假 命题,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? 8ln x , g ( x) ? ? x2 ? 14 x . (I)求函数 y ? f ( x) 在点 P(1, f (1)) 处得切线方程; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 和函数 y ? g ( x) 在区间 ? a, a ? 1? 上均为增函数,求实数 a 的取值 范围; (III)若方程 f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解,求实数 m 的值.

高 二 数 学(文科)参考答案
一、选择题(每小题正确答案均唯一,每小题 5 分共 60 分)

DABBA CADAA AD
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.

? ??, ?2?
2

14.

1 3

15. n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ? 1)

16. ①②④

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 解: (I) A ? x x ? 4 ? 0 ? x ?2 ? x ? 2 ??????..2 分
2

?

? ?

?

? ? 4 ? ? x ?1 B ? ?x 1 ? ? 0? ? ?x ? 3 ? x ? 1?,??????..4 分 ? ? ?x x ? 3? ? x ? 3 ? ?
故 ?R A ? x x ? 2或x ? ?2

?

?
?

??????..5 分 ??????..6 分

所以 ?R A ? B ? x ?3 ? x ? ?2 ;
2

?

(II)因为 2 x ? ax ? b ? 0 的解集为 B ? x ? 3 ? x ? 1 ,??????..7 分

?

?

-4-

? a ? ? ? ?3 ? 1 ? ? 3和1 为 2 x 2 ? ax ? b ? 0 的两根,故 ? 2 所以 ,??????..10 分 ? b ? ?3 ? 1 ?2 ? 所以 a ? 4 , b ? ?6 . ??????..12 分 3 2 2 18.解: (1)由 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 得, f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b 当 x ? 1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2a ? b ? 0 ① 2 2 当 x ? 时, y ? f ( x) 有极值,得 f ?( ) ? 0 3 3 可得 4a ? 3b ? 4 ? 0 ② 由①②解得 a ? 2,b ? ?4 ??????4 分
由于切点的横坐标为 x ? 1 ∴ f (1) ? 4 ∴1 ? a ? b ? c ? 4 ∴c ? 5 (2)由(1)可得 f ( x) ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 5 ∴ f ?( x) ? 3x2 ? 4x ? 4 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?2 , x ? ??????7 分

??????6 分

2 3

??????8 分

当 x 变化时, y?, y 的取值及变化如下表:

x

?3

(?3, ?2)

?2

2 ( ?2, ) 3
-

2 3

2 ( ,1) 3

1

y?

+

0

0
95 27

+

y

8

13
95 27

4

∴ y=f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为 19. (本小题满分 12 分) 解: (I) y ?

?????12 分

92v 92 92 92 ? ? ? ? 1.108. 1600 v ? 3v ? 1600 v ? ? 3 2 v ? 1600 ? 3 83 v v
2

当v ? 时)

1600 ,即 v ? 40 (千米/小时)时,车流量最大,最大值为 1.108(万辆/小 v
. ??.6 分

(II)据题意有

92v ? 1 ,化简得 v2 ? 89v ? 1600 ? 0, 解得: 25 ? v ? 64 . v ? 3v ? 1600
2

-5-

所以汽车的平均速度应控制在 ?25,64? (千米/小时)这个范围内。 20.(本小题满分 12 分) 解: (I)由 ?

??.12 分

?2 ? x ? 0 ,解之得: ? 2 ? x ? 2 , 所以函数的定义域为: (?2, 2) 2 分 ?x ? 2 ? 0
2

令 f ( x) ? loga (2 ? x) ? loga ( x ? 2) ? 0 得 ? x ? 4 ? 1 , 即, x ? ? 3 ?4 分 ?6 分

? ? 3 ? (?2,2) ,∴函数 f (x) 的零点是 ? 3
(II)函数可化为:

f ( x) ? loga (2 ? x) ? loga ( x ? 2) (0 ? a ? 1) ? loga (? x 2 ? 4)
∵?2 ? x ? 2 ∴ 0 ? ?x ? 4 ? 4
2

?7 分

? 0 ? a ? 1 , loga (? x 2 ? 4) ? loga 4 ,
即 f ( x)mim ? loga 4 由 loga 4 ? ?2 ,得 a
?2

?9 分 ?10 分

? 4 ,? a ?

1 2

?12 分

21. (本小题满分 12 分) 2 解:∵ x1 , x2 是方程 x ? m x ? 2 ? 0 的两个实根 ∴?

? x1 ? x2 ? m ? x1 x2 ? ?2
( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? m 2 ? 8 (3 分)
max

∴ x1 ? x 2 ?

∴当 m?? ?1,1? 时, x1 ? x2
2

?3

????4 分

由不等式 a ? 5a ? 3 ? x1 ? x2 对任意实数 m ? ?? 1,1? 恒成立
2 可得: a ? 5a ? 3 ? 3

∴ a ? 6 或 a ? ?1 ∴命题 p 为真命题时 a ? 6 或 a ? ?1
2 命题 q :不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0 有解

????6 分

①当 a ? 0 时,显然有解 ②当 a ? 0 时, 2 x ? 1 ? 0 有解 ????8 分

2 ③当 a ? 0 时,∵ ax ? 2 x ? 1 ? 0 有解

-6-

∴ ? ? 4 ? 4a ? 0 ∴ ?1 ? a ? 0 从而命题 q:不等式 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 有解时 a ? ?1 又命题 q 是假命题 ∴ a ? ?1 ????11 分 ????10 分

故命题 p 是真命题且命题 q 是假命题时

a 的取值范围为 a ? ?1
22.解: (Ⅰ) f '( x) ? 2 x ?

????12 分

8 2( x ? 2)( x ? 2) ? ,故 k ? f '(1) ? ?6 ,切点为 P(1,1) x x
?????..4 分

故切线方程为: 6 x ? y ? 7 ? 0 (II) f '( x) ? 2 x ?

8 2( x ? 2)( x ? 2) ? x x

( x ? 0)

当 0 ? x ? 2 时, f '( x) ? 0 ,当 x ? 2 时, f '( x) ? 0 , 要使 f ( x ) 在 (a, a ? 1) 上递增,必须 a ? 2 ?????..6 分

g ( x) ? ? x2 ? 14x ? ?( x ? 7)2 ? 49
如使 g ( x) 在 (a, a ? 1) 上递增,必须 a ? 1 ? 7 ,即 a ? 6 由上得出,当 2 ? a ? 6 时 f ( x ) , g ( x) 在 (a, a ? 1) 上均为增函数 ?????9 分 (Ⅱ)方程 f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解 ? ? 设 h( x) ? 2x2 ? 8ln x ?14x

?y ? m
2 ? y ? 2 x ? 8ln x ? 14 x

有唯一解?..10 分

h '( x) ? 4 x ?

8 2 ? 14 ? (2 x ? 1)( x ? 4) x x

(x ? 0)

?..11 分

h '( x), h( x) 随 x 变化如下表

x
h '( x) h( x )

(0, 4)

4

(4, ??)

?
?

0
极小值 ?24 ? 16 ln 2

?
?

由于在 (0, ??) 上, h( x) 只有一个极小值,? h( x) 的最小值为 ?24 ? 16 ln 2 , 当 m ? ?24 ? 16 ln 2 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解.
-7-

????14 分

-8-


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