高等数学常用概念及公式


名师推荐 精心整理 学习必备 高等数学常用概念及公式 ? 极限的概念 当 x 无限增大(x→∞)或 x 无限的趋近于 x0(x→x0)时,函数 f(x) 无限的趋近于常数 A,则称函数 f(x)当 x→∞或 x→x0 时,以常数 A 为极限,记作: lim f(x)=A x?? 或 lim f(x)=A x ? x0 ? 导数的概念 设函数 y=f(x)在点 x0 某邻域内有定义,对自变量的增量Δ x=x- x0, 函数有增量Δ y=f(x)-f(x0),如果增量比 ?y 当Δ x→0 时有极限,则称 ?x 函数 f(x)在点 x0 可导,并把该极限值叫函数 y=f(x)在点 x0 的导数,记 为 f ’(x0),即 f ’(x0)= lim ?y f ( x) ? f ( x0 ) = lim ? x x ? x0 x ? x0 ?x ? 0 也可以记为 y’=|x=x0, ? 函数的微分概念 dy df ( x ) |x=x0 或 |x=x0 dx dx 设函数 y=f(x)在某区间内有定义,x 及 x+Δ x 都在此区间内,如果 函数的增量 Δ y=f(x+Δ x)-f(x)可表示成 Δ y=AΔ x+α Δ x 其中 A 是常数或只是 x 的函数,而与Δ x 无关,α 当Δ x→0 时是无 穷小量( 即α Δ x 这一项是个比Δ x 更高阶的无穷小), 那么称函数 y=f (x)在点 x 可微,而 AΔ x 叫函数 y=f(x)在点 x 的微分。记作 dy, 即: dy=AΔ x=f ’(x)dx 名师推荐 精心整理 学习必备 ? 不定积分的概念 原函数:设 f(x)是定义在某个区间上的已知函数,如果存在一个函数 F(x),对于该区间上每一点都满足 F’(x)= f(x) 或 d F(x)= f(x)dx 则称函数 F(x)是已知函数 f(x)在该区间上的一个原函数。 不定积分: 设 F(x)是函数 f(x)的任意一个原函数, 则所有原函数 F(x)+c (c 为任意常数)叫做函数 f(x)的不定积分,记作 ? f ( x)dx 求已知函数的原函数的方法,叫不定积分法,简称积分法。 其中“ ? ”是不定积分的记号;f(x)称为被积函数;f(x)dx 称为被积 表达式;x 称为积分变量;c 为任意实数,称为积分常数。 ? 定积分的概念 设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn-1<xn=b,把区间[a,b]任意分成 n 个小区 间 [xi-1 , xi] ( i=1,2, … ,n ) 每 个 小 区 间 的 长 度 为 Δ xi= xi- xi-1 (i=1,2, …,n) ,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξ i,作和式 In= ? f (?i )?xi i ?1 n 当分点无限增加(n→∞)且所有小区间长度中的最大值 λ =max{Δ xi} →0 时,和式 In 的极限,叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记 作 ?a f ( x)dx ,即 b ? b a f ( x)dx = n?? ( ? ?0 ) i ?1 lim ? f (? ?x ) i i n 名师推荐 精心整理 学习必备 其中 f(x)称为被积函数,b 和 a 分别称为定积分的上限和下限,区间 [a,b]叫积分区间,x 为积分变量。 ? 极限的性质及运算法则 无穷小的概念: 若函数 f(x)当 x→x0(或 x→∞)时的极限为零

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