高等数学常用概念及公式

名师推荐 精心整理 学习必备 高等数学常用概念及公式 ? 极限的概念 当 x 无限增大(x→∞)或 x 无限的趋近于 x0(x→x0)时,函数 f(x) 无限的趋近于常数 A,则称函数 f(x)当 x→∞或 x→x0 时,以常数 A 为极限,记作: lim f(x)=A x?? 或 lim f(x)=A x ? x0 ? 导数的概念 设函数 y=f(x)在点 x0 某邻域内有定义,对自变量的增量Δ x=x- x0, 函数有增量Δ y=f(x)-f(x0),如果增量比 ?y 当Δ x→0 时有极限,则称 ?x 函数 f(x)在点 x0 可导,并把该极限值叫函数 y=f(x)在点 x0 的导数,记 为 f ’(x0),即 f ’(x0)= lim ?y f ( x) ? f ( x0 ) = lim ? x x ? x0 x ? x0 ?x ? 0 也可以记为 y’=|x=x0, ? 函数的微分概念 dy df ( x ) |x=x0 或 |x=x0 dx dx 设函数 y=f(x)在某区间内有定义,x 及 x+Δ x 都在此区间内,如果 函数的增量 Δ y=f(x+Δ x)-f(x)可表示成 Δ y=AΔ x+α Δ x 其中 A 是常数或只是 x 的函数,而与Δ x 无关,α 当Δ x→0 时是无 穷小量( 即α Δ x 这一项是个比Δ x 更高阶的无穷小), 那么称函数 y=f (x)在点 x 可微,而 AΔ x 叫函数 y=f(x)在点 x 的微分。记作 dy, 即: dy=AΔ x=f ’(x)dx 名师推荐 精心整理 学习必备 ? 不定积分的概念 原函数:设 f(x)是定义在某个区间上的已知函数,如果存在一个函数 F(x),对于该区间上每一点都满足 F’(x)= f(x) 或 d F(x)= f(x)dx 则称函数 F(x)是已知函数 f(x)在该区间上的一个原函数。 不定积分: 设 F(x)是函数 f(x)的任意一个原函数, 则所有原函数 F(x)+c (c 为任意常数)叫做函数 f(x)的不定积分,记作 ? f ( x)dx 求已知函数的原函数的方法,叫不定积分法,简称积分法。 其中“ ? ”是不定积分的记号;f(x)称为被积函数;f(x)dx 称为被积 表达式;x 称为积分变量;c 为任意实数,称为积分常数。 ? 定积分的概念 设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn-1<xn=b,把区间[a,b]任意分成 n 个小区 间 [xi-1 , xi] ( i=1,2, … ,n ) 每 个 小 区 间 的 长 度 为 Δ xi= xi- xi-1 (i=1,2, …,n) ,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξ i,作和式 In= ? f (?i )?xi i ?1 n 当分点无限增加(n→∞)且所有小区间长度中的最大值 λ =max{Δ xi} →0 时,和式 In 的极限,叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记 作 ?a f ( x)dx ,即 b ? b a f ( x)dx = n?? ( ? ?0 ) i ?1 lim ? f (? ?x ) i i n 名师推荐 精心整理 学习必备 其中 f(x)称为被积函数,b 和 a 分别称为定积分的上限和下限,区间 [a,b]叫积分区间,x 为积分变量。 ? 极限的性质及运算法则 无穷小的概念: 若函数 f(x)当 x→x0(或 x→∞)时的极限为零, 则称 f(x) 当 x→x0(或 x→∞)时为无穷小量,简称无穷小。须要注意的是,无穷 小是变量,不能与一个很小的数混为一谈。 无穷小的性质:性质 1:有限个无穷小的代数和也是无穷小。性质 2: 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。推论 1:常数与无穷小的乘积 也是无穷小。推论 2:有限个无穷小的乘积也是无穷小。 无穷大的概念: 若当 x→x0(或 x→∞)时, 函数 f(x)的绝对值无限增大, 则称函数 f(x)当 x→x0(或 x→∞)时为无穷大量,简称无穷大。注意无 穷大是变量,不能与一个绝对值很大的数混为一谈;另外,一个变量 是无穷大,也不能脱离开自变量的变化过程。 无穷大与无穷小的关系:定理: 在同一变化过程中,若 f(x)为无穷大, 则 1 1 为无穷小;反之,若 f(x)为无穷小,且 f(x)≠0,则 就为无 f ( x) f ( x) 穷大。 极限运算法则: 法则 1:lim[f(x)±g(x)]=lim f(x)±lim g(x)=A+B 法则 2:lim[f(x)·g(x)]= lim f(x)·lim g(x)=A·B 特别的:lim cf(x)=c·lim f(x)=c·A (c 为常数) 法则 3:lim f ( x ) lim f ( x ) A = = (其中 B≠0) g ( x ) lim g ( x ) B 名师推荐 精心整理 学习必备 注意用法则 3 求极限时:如果分子、分母均为无穷大,可先将其变成 无穷小;如果均为无穷小,就用约分及分子分母有理化来解;以上情 况均可用导数的应用中的罗必塔法则求解。 两个重要极限:重要极限 1: lim x ?0 sin x =1 x ==》 1 () lim () ?0 sin() =1 () 1 重要极限 2: lim (1+ )x=e =》 x ?? 1 x lim () ?? (1+ )()=e 或 lim (1+() )()=e () ?0 等价无穷小(x→0):在求极限过程中经常使用等价无穷小互相代替 sin x ~ x ; tan x ~ x ; arcsin x ~ x ; arctan x ~ x ; ln(1 ? x) ~ x ; e x ? 1 ~ x ; 1 ? cos x ~ 1 2 1 x ; 1 ? x ?1 ~ x ; a x

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