2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理科预测卷及答案(天津卷)

2015 年天津市高考数学(理科)模拟试卷 第Ⅰ卷(选择题
共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. (1) 1.i 是虚数单位, (A)1+2i

5i = 2?i
(C)1-2i (D)-1+2i

(B)-1-2i

2. 设变量 x , y 满足约束条件 ( ). A.-7 B.-4

?3 x ? y ? 6 ? 0, ? ? x ? y ? 2 ? 0, ? y ? 3 ? 0, ?
C.1

则目标函数 z = y - 2x 的最小值为 D.2

开始

a ? 1, i ? 0

3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

i ? i ?1 a ? i ? a ?1



a ? 50 ?

是 输出 i

4.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x, 则 a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

开始

5.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y= 3x ,它的一个焦点在抛物线 y 2 ? 24 x 的 2 a b

准线上,则双曲线的方程为 (A)

x2 y 2 ? ?1 36 108 x2 y 2 ? ?1 108 36

(B)

x2 y 2 ? ?1 9 27

(C)

(D)

x2 y 2 ? ?1 27 9

6.如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点 D,交 BC 于点 E,过点 B 的圆的切线 与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分∠CBF;②FB2=FD· FA;③AE· CE =BE· DE;④AF· BD=AB· BF.则所有正确结论的序号是( ).

A.①②

B.③④

C.①②③

D.①②④

7.不等式组 ?

?x ? y ? 1 的解集记为 D .有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4

p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , P3 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 3 , p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1 .
其中真命题是

A . p2 , P3

B . p1 , p4

C . p1 , p2

D . p1 , P3

8.已知△ABC 为等边三角形, AB =2 ,设点 P,Q 满足 AP=? AB , AQ=(1 ? ? ) AC , ? ? R ,若

3 BQ ? CP = ? ,则 ? = 2

(A)

1 2

(B)

1? 2 2

(C)

1 ? 10 2

(D)

?3 ? 2 2 2

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡的相应位置. 9.某学院的 A,B,C 三个专业共有 1200 名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的 方法抽取一个容量为 120 的样本。已知该学院的 A 专业有 380 名学生,B 专业有 420 名学生,则在该学院 的 C 专业应抽取____名学生。

10.一个几何体的三视图如右图所示(单位:m)则该几何体 的体积为

3

3

m

3

1 3 正视图 1 2 2 侧视图

1

3 俯视图

11.已知偶函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单调递减, f ? 2 ? ? 0 .若 f ? x ?1? ? 0 ,则 x 的取值范围是__________.

)(sin A ? sin ) B ( ? c ?)sin b 12.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2,且 (2 ? b
则 ?ABC 面积的最大值为 13.已知圆 C 的圆心是直线 ? 程为 14 . 已知函数 y = .

C ,

? x ? 1, 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切,则圆 C 的方 (t为参数) ? y ? 1? t

|x 2 ? 1| 的图象与函数 y =kx ? 2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围 x ?1



.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1( x ? R) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 ? 0,

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

(Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2 x0 的值。 5 ?4 2?

16.(本小题满分 13 分) 在 10 件产品中,有 3 件一等品,4 件二等品,3 件三等品。从这 10 件产品中任取 3 件,求: (I) 取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望; (II) 取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

17.(本小题满分 13 分)

C B

C1 B1 H A1

A

如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, H 是正方形 AA1 B1 B 的中心, AA1 ? 2 2 , C1 H ? 平面 AA1 B1 B ,且

C1H ? 5 .
(Ⅰ)求异面直线 AC 与 A1 B1 所成角的余弦值; (Ⅱ)求二面角 A ? A1C1 ? B1 的正弦值; (Ⅲ)设 N 为棱 B1C1 的中点,点 M 在平面 AA1 B1 B 内,且 MN ? 平面 A1 B1C1 ,求线段 BM 的长。

18.(本小题满分 13 分)

x2 y 2 设椭圆 2 + 2 =1 (a >b>0) 的左、右顶点分别为 A, B ,点 P 在椭圆上且异于 a b
A, B 两点, O 为坐标原点.
1 (Ⅰ)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ? ,求椭圆的离心率; 2

(Ⅱ)若 |AP|=|OA| ,证明:直线 OP 的斜率 k 满足 |k|> 3 .

19.(本小题满分 14 分) 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为常数. (Ⅰ)证明: an? 2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由.

20.(本小题满分 14 分) 2 已知函数 f(x)=x ln x. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)证明:对任意的 t>0,存在唯一的 s,使 t=f(s); (3)设(2)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s=g(t),证明:当 t>e 时,有
2

2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2

2015 年天津市高考数学(理科)模拟试卷参考答案
1.【答案】D 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】B 6.【答案】D 7.【答案】C 8.【答案】A

9.【答案】40 10.【答案】6+π 11.【答案】 (-1,3) 12.【答案】 3 13.【答案】 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2

( 1,4) 14.【答案】 (0,1) ?

15.【解析】 (1)由 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1 ,得

f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2 cos 2 x ? 1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? 因为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

?

? ?

??

? ?? ?? ? ? ? 在区间 ?0, ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数,又 6? ? 6? ?6 2?

?? ? f (0) ? 1, f ? ? ? 2, ?6?

?? ? ? ?? f ? ? ? ?1 ,所以函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 2,最小值为-1 ?2? ? 2? ? ?

(Ⅱ)由(1)可知 f ( x0 ) ? 2sin ? 2 x0 ?

??
? 6?

又因为 f ( x0 ) ?

6 ?? 3 ? ,所以 sin ? 2 x0 ? ? ? 5 6? 5 ?

由 x0 ? ?

? ? 2? 7? ? ?? ? ? , ? ,得 2 x0 ? ? ? , ? 6 ? 3 6 ? ?4 2?
? ?

从而 cos ? 2 x0 ? 所以

??

?? 4 2? ? ? ? 1 ? sin ? 2 x0 ? ? ? ? 6? 6? 5 ?

?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 3? 4 3 ? ? cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? 6 ? 6? 6? 6 6? 6 10 ? ? ??

k 16.【解析】 (Ⅰ)由于从 10 件产品中任取 3 件的结果为 C3 ,从 10 件产品中任取 3 件,其中恰有 k 件一等

k 3? k 品的结果数为 C 3 C 7 ,那么从 10 件产品中任取 3 件,其中恰有 k 件一等品的概率为 P(X=k)=

C3 C7 ,k=0,1,2,3. 3 C10

k

3?k

所以随机变量 X 的分布列是 X P 0
7 24

1
21 40

2
7 40

3
3 120

X 的数学期望 EX= 0 ?

7 21 7 1 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? 24 40 40 120 10

(Ⅱ) 设 “取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数” 为事件 A, “恰好取出 1 件一等品和 2 件三等品” 为事件 A1“恰好取出 2 件一等品“为事件 A2, ”恰好取出 3 件一等品”为事件 A3 由于事件 A1,A2, A3 彼此互斥,且 A=A1∪A2∪A3 而
P ( A1 )
2 7 3 C1 1 3 C3 ? , P(A2)=P(X=2)= 40 ,P(A3)=P(X=3)= , 3 40 120 C10

所以取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
3 7 1 31 + + = 40 40 120 120

17.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,点 B 为坐标原点。依题意得
z

C B

C1 N B1
y

A
x

M H A1

A(2 2,0,0) , B(0,0,0) , C( 2, 2, 5)
(I)易得 AC ? (? 2, ? 2, 5) , AB1 ? (?2 2,0,0) ,于是 cos ? AC , A1 B1 ??

AC A1 B1 4 2 ? ? 3 | AC | ? | A1 B1 | 3 ? 2 2

所以异面直线 AC 与 A1 B1 所成角的余弦值为

2 。 3

? ?m A1C1 ? 0 (II)易知 AA1 ? (0,2 2,0) , AC , 1C1 的法向量 m ? ( x, y, z ) ,则 ? 1 1 ? (? 2, ? 2, 5) ,设平面 AA m AA ? 0 ? 1 ? ?? 2 x ? 2 y ? 5 z ? 0 ? 即? ,不妨令 x ? 5 ,可得 m ? ( 5,0, 2) ,同样地,设平面 A1 B1C1 的法向量 2 2y ? 0 ? ? ? ? ? n A1C1 ? 0 ? 2x ? 2 y ? 5z ? 0 ,即 ? ,不妨令 y ? 5 ,可得 n ? (0, 5, 2) ,于是 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ?2 2 x ? 0 ? ? ? n A1 B1 ? 0 ?

cos ? m, n ??

3 5 mn 2 2 , = = ,从而 sin ? m, n ?? 7 |m|?|n| 7? 7 7

3 5 7 2 3 2 5 , , ) ,设 M (a, b,0) , (III)由 N 为棱 B1C1 的中点,得 N ( 2 2 2
所以二面角 A ? A1C1 ? B1 的正弦值为

MN ? (

? 2 3 2 5 ? MN A1 B1 ? 0 ? a, ? b, ) ,由 MN ? 平面 A1 B1C1 ,得 ? ,即 2 2 2 ? ? MN A1C1 ? 0

? ? 2 ( ? a ) ? ( ?2 2) ? 0 ? ?a ? ? ? 2 ,解得 ? ? ?( 2 ? a ) ? ( ? 2) ? ( 3 2 ? b)(? 2) ? 5 ? 5 ? 0 ?b ? ? ? 2 2 ? 2 ?
BM ? (

2 2 2 2 , ,0) ,因此 ,故 M ( 2 4 2 4

2 2 10 , ,0) ,所以线段 BM 的长 | BM |? 。 2 4 4

18.【解析】 (1)取 P(0, b) , A(?a,0), B(a,0) ;则 k AP ? k BP ?

b b 1 ? (? ) ? ? ? a 2 ? 2b 2 a a 2

e2 ?

a 2 ? b2 1 2 ? ?e? 2 a 2 2

a b (2)设 P(a cos ? , b sin ? )(0 ? ? ? 2? ) ;则线段 OP 的中点 Q( cos ? , sin ? ) 2 2

|A P| = O | A | AQ ? OP ? kAQ ? k ? ?1 ?

kA Q?

bs i n ? ? bs i n ?? ak o? s A Q c? 2a ? a c o?s
2

a 2k A Q

? 2a k A Q ?

3 2 2 b ? a k 1 ? 2A kQ ? k A Q ? a A Q? 3

? k3 ?

19.【解析】(Ⅰ)由题设 an an?1 ? ? Sn ?1, an?1an?2 ? ? Sn?1 ?1 ,两式相减

an?1 ? an?2 ? an ? ? ?an?1 ,由于 an ? 0 ,所以 an?2 ? an ? ?

(Ⅱ)由题设 a1 =1, a1a2 ? ? S1 ?1 ,可得 a2 ? ?1 ? 1 ,由(Ⅰ)知 a3 ? ? ? 1 假设{ an }为等差数列,则 a1 , a2 , a3 成等差数列,∴ a1 ? a3 ? 2a2 ,解得 ? ? 4 ; 证明 ? ? 4 时,{ an }为等差数列:由 an?2 ? an ? 4 知 数列奇数项构成的数列 ?a2 m?1? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列 a2m?1 ? 4m ? 3 令 n ? 2m ? 1, 则 m ?

n ?1 ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m ? 1) 2

数列偶数项构成的数列 ?a2m ? 是首项为 3,公差为 4 的等差数列 a2m ? 4m ? 1 令 n ? 2m, 则 m ?

n ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m) 2
*

∴ an ? 2n ? 1( n ? N ) , an?1 ? an ? 2 因此,存在存在 ? ? 4 ,使得{ an }为等差数列. 20.【解析】(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞).

f′(x)=2xln x+x=x(2ln x+1),令 f′(x)=0,得 x ?
当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

1 . e

x f′(x) f(x)
所以函数 f(x)的单调递减区间是 ? 0,

? 1 ? ? 0, ? e? ?


1 e
0 极小值

? 1 ? , ?? ? ? ? e ?


? ?

1 ? ? 1 ? , ?? ? . ? ,单调递增区间是 ? e? ? e ?

(2)证明:当 0<x≤1 时,f(x)≤0. 设 t>0,令 h(x)=f(x)-t,x∈[1,+∞). 由(1)知,h(x)在区间(1,+∞)内单调递增. h(1)=-t<0,h(et)=e2tln et-t=t(e2t-1)>0. 故存在唯一的 s∈(1,+∞),使得 t=f(s)成立. (3)证明:因为 s=g(t),由(2)知,t=f(s),且 s>1,从而

ln g (t ) ln s ln s ln s u , ? ? ? ? 2 ln t ln f ( s) ln( s ln s) 2ln s ? ln(ln s) 2u ? ln u
其中 u=ln s. 要使

2 ln g (t ) 1 u ? ? 成立,只需 0 ? ln u ? . 5 ln t 2 2
2 2

当 t>e 时,若 s=g(t)≤e,则由 f(s)的单调性,有 t=f(s)≤f(e)=e ,矛盾. 所以 s>e,即 u>1,从而 ln u>0 成立. 另一方面,令 F(u)= ln u ?

u 1 1 ,u>1.F′(u)= ? ,令 F′(u)=0,得 u=2. 2 u 2

当 1<u<2 时,F′(u)>0;当 u>2 时,F′(u)<0. 故对 u>1,F(u)≤F(2)<0. 因此 ln u ?

u 成立. 2

综上,当 t>e2 时,有

2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2


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