青岛二中2012-2013学年高三数学(理科)试题二模


青岛二中 2012-2013 学年高三年级第二次模拟考试 数学(理科)试题
(时间:120 分钟 满分:150 分) 2013.05

7.阅读右边的程序框图,若输出 S 的值为 ? 14 ,则判断框内可填写 ( ) B. i ? 8 ? D. i ? 7 ?

A. i ? 6 ? C. i ? 5 ?

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.设集合 A ? { x | x ? 4 ? 0 } , B ? { x | 2 ?
2
x

?x ? y ? 1 ? 0 ? 8.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 所表示的平面 ? mx ? y ? 1 ? 0 ?

1 4

区域内的面积不小于 2,则实数 m 的取值范围是( A. m ? 3 或 m ? ? 1 C. m ? 3 或 m ? ? 1 B. m ? 3 或 m ? ? 1 D. m ? 3
1 2



} ,则 A ? B ? (

) D. { x | x ?
1 2 }

A. { x | x ? 2 }

B. { x | x ? ? 2 }
2

C. { x | x ? 2 或 x ? ? 2}

9.下列命题:①“ 0 ? a ? )

”是“存在 n ? N ,使得 ( ) ? a 成立”
n

?

1

2.已知复数 z ? ( a ? 1) ? (sin A.1 B. ? 1

a? 2

? 1) i ( a ? R ),若 z 为纯虚数,则实数 a 的值为(

2
?

的充分条件;②“ a ? 0 ”是“存在 n ? N ,使得 ( ) ? a 成立”的必要条件;③“ a ?
n

1

1 2

”是“不等式

C. ? 1

D. ? 1或 0 )

2 1 n ? ( ) ? a 对一切 n ? N 恒成立”的充要条件.其中真命题的序号是( 2

1) 3.设随机变量 ? ~ N (1, , P (0 ? ? ? 2 ) ? p ( p ? 0 ) ,则 P (? ? 2 ) 的值为 (

) D.①③

A. 1 ? 2 p

B. 1 ? p

C.

1 2

?2p

D.

1 2

?

1 2

A.③
p

B.②③
1 2
2

C.①②
x a
2 2

4.已知某几何体的三视图如下图所示,根据图中的数据可得此几何体的体积为( A.
5 3



10.曲线 C: y ?

x ? ln x 上斜率最小的一条切线与双曲线

?

y b

2 2

? 1 的渐近线平行,则该双

B.2
7 3
2 1 2

曲线的离心率为( A. 3

) B. 2 C. 5 D. 3

C.

1 3

D.
?
2 ? 4 5

5.已知 cos A. ? C. ?
24 25 24 7

,且 sin ? ? 0 ,则 tan ? 的值为( B. ? D.
24 7 24 7


1

11.一袋内装有大小相同的红色球 6 个,黄色球 5 个,蓝色球 4 个,同色球外部特征完全相同,从 中任取 4 个球,则每种颜色的球至少取到 1 个的概率为( ) A.
8 91 1 e

B.

25 91 y x

C. ,b ?
1 ? ln y 1 ? ln x

48 91

D.

60 91

12.当

? x ? y ? 1 时,令 a ?

,则 a 与 b 的大小关系是( D.不能确定



A. a ? b

B. a ? b

C. a ? b

6 . 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 都 有
x f ( x? 2 )? (x ? 2 ) f (x ) ,则 f ( f (5 )) 的值是(

)w

A.0 C.1

B. 5 D. 3
高三数学理科(第 1 页 共 3 页)

第Ⅱ卷
13. ? | 3 ? 2 x | d x ?
2 1 2

(非选择题


共 90 分)

20. (本题满分 12 分)已知各项均为正数的数列 { a n } 前 n 项和为 S n ,首项为 a 1 ,且 等差数列. (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)若 a n ? ( ) ,设 c n ?
2 bn

1 2

,a n ,S n 是

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.

14 . 在 ? ABC 中 , D 为 BC 中 点 , 若 ? BAC ? 120 ? , AB ? AC ? ? 1 , 则 | AD | 的 最 小 值 是 .
1

bn an
x a
2 2

2

? ( ? 1) a n ,求数列 { c n } 的前 n 项和 T n .
n
2 2

15.已知在长方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 是正方形,则 BC 1 与平面 ACC 1 A1 所成角 的取值范围是 . 16.如果 M 是函数 y ? f (x) 图像上的点, N 是函数 y ? g (x) 图像上的点,且 M、N 两点之间的距 离 MN 能取到最小值 d ,那么将 d 称为函数 y ? f (x) 与 y ? g (x) 之间的距离.按这个定义,函数
f ( x) ? x 和 g ( x) ?
? x ? 4 x ? 3 之间的距离是
2

21. (本题满分 12 分)已知椭圆
3 2

?

y b

? 1( a ? b ? 0) 的离

y P

心率 e ?

,且椭圆过点 ( 2,

2 2

).

Q

O

x



(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设不过原点 O 的直线 m 与该椭圆交于 P 、Q 两点, 满足直线 OP , PQ , OQ 的斜率依次成等比数列,求 ?OPQ 面积的取值范围. 22. (本题满分 14 分)已知 f ( x ) ? x ln x , g ( x ) ? ? x ? ax ? 3 .
2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分)在 ? ABC 中, a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 的对边, A 为锐角,已知向量
p ? (1, 3 cos
2

A 2

) , q ? ( 2 sin
2 2

A 2

, ? cos 2 A ) ,且 p // q . 1

(Ⅰ)若 a ? c ? b ? mbc ,求实数 m 的值; (Ⅱ)若 a ?
3 ,求 ? ABC 面积的最大值,以及面积最大时边 b , c 的大小.

( (Ⅰ)求函数 f ( x ) 在 [ t , t ? 1] t ? 0)上的最小值;

18. (本题满分 12 分)甲、乙二人进行一次乒乓球比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比 赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为 0 . 6 ,乙获胜的概率为 0 . 4 ,各局比赛结果相互独立,已 知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局. (Ⅰ)求甲获得这次比赛胜利的概率; (Ⅱ)设 ? 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 ? 的分布列及数学期望. 19. (本题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P-ABCD, 侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形,底面 ABCD 为菱 形, ? BAD ? 60 ? . (Ⅰ)证明: PB ? BC ;
E (Ⅱ) 若平面 PAD ? 底面 ABCD , 为线段 PD 的

? (Ⅱ)对一切 x ? (1, ? ) , 2 f ( x ) ? x ? g ( x ) 恒成立,求实数 a 的取值范围;
1 e
x

? (Ⅲ)证明:对一切 x ? ( 0, ? ) ,都有 ln x ?

?

2 ex

成立.

P E D C

中点,求二面角 A ? BE ? C 的余弦值.

A

B

高三数学理科(第 2 页 共 3 页)

参考答案: 1-5 BADAC;6-10 ABABC;11-12 CB 13. 2 6 ? 3 ;14.
2 2

;15. ( 0, ) ;16. 2 ? 1 ;
4

?

17. (1) m ? 1 ; (2)

3 3 4

当且仅当 b ? c ?

3 时成立;

18. (1) 0 . 648 ; (2) 2 . 48 ; 19. (1)略; (2) ?
7 65 65



20. (1) a n ? 2
2

n?2

; (2) T n ?

n 2
n?3

?

1 6

[( ? 2 )

n

? 1] ;

21. (1)

x

? y

2

? 1; 1 (2) ( 0,)

4

22. (1) 0 ? t ? (2) a ? 4 ;

1 e

时, f ( x ) min ? ?

1 e

;t ?

1 e

时, f ( x ) min ? t ln t ;

(3)原不等式两边同乘以 x ,变形出现 f ( x ) ,再利用(1)的结论,证明:?

1 e

?

x e
x

?

2 e

即可.

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