2008-2009学年安徽省芜湖市高一(上)期末数学试卷B

2008-2009 学年安徽省芜湖市高一(上)期末数学 试卷 B

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一、选择题(共 12 小题,每小题 3 分,满分 36 分) 1、 (2008?陕西)sin330°等于( ) A、 B、

C、

D、

2、 (2005?陕西)已知 α 为第三象限角,则 所在的象限是( A、第一或第二象限 C、第一或第三象限 B、第二或第三象限 D、第二或第四象限



3、已知 MP,OM,AT 分别为 θ( <θ< )的正弦线、余弦线、正切线,则一定有( A、MP<OM<AT C、AT<0M<MP 4、 (2005?浙江)已知向量 ( ) A、{2,3} C、{2} B、OM<MP<AT D、OM<AT<MP , ,且



,则由 x 的值构成的集合是

B、{﹣1,6} D、{6}
2

5、化简 cos2a+2sin a 得( A、0 B、1 2 2 C、sin a D、cos a 6、化简



的结果等于(



A、

B、

C、

D、 )

7、已知 tana=2,tanβ=3,a,β 为锐角,则 a+β 值是( A、 B、

C、

D、

8、 已知△ ABC 的三个顶点 A、 C 及平面内一点 P 满足 B、 A、P 在△ ABC 内部 B、P 在△ ABC 外部
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, 则点 P 与△ ABC 的关系为 (



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C、P 在 AB 边所在直线上 ,

D、P 是 AC 边的一个三等分点 ,则 的取值范围是( )

9、已知

A、[3,17] B、 (3,17) C、[3,10] D、 (3,10) 10、sin70°sin65°﹣sin20°sin25°=( ) A、 B、

C、

D、

11、若 AD 是△ ABC 的中线,已知

= ,

,则

等于(



A、

B、

C、
2

D、 )

12、函数 y=cos x﹣3cosx+2 的最小值为( A、2 B、0 C、 D、6

二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 13、已知角 α 的终边过点 P(4,﹣3) ,则 2sinα+cosα 的值为 _________ . 14、设点 P 分 的比为 λ,即 =λ ,若| |=4 ,则 λ 的值为 _________ .

15、△ ABC 中,若 sinAsinB<cosAcosB,则△ ABC 的形状为 _________ . 16、若 ,且 ,则向量 与 的夹角为 _________ °.

17、 设函数 f x) ( =2sin x+ ) 若对任意 x∈ 都有 f x1) (x) (x2) ( . R, ( ≤f ≤f 成立, 则|x1﹣x2|的最小值为 _________ . 三、解答题(共 6 小题,满分 44 分) 18、已知 tan a=2,求 的值.

19、已知四边形 ABCD 中,

= +2 ,

=﹣4 ﹣ ,

=﹣5 ﹣3 .求证四边形 ABCD 为梯形.

20、已知函数 f(x)=

(A>0,w>0) .其图象过最低点( ,l)和最高点(
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,3) ,

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且在[ ,

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]上为单调递增函数,求函数解析式.

21、两个粒子 A、B 从同一源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为

, A=(4,3)

B=(2,10)

(1)写出此时粒子 B 相对粒子 A 的位移 ;

(2)计算 在

A 方向上的投影.

22、 设两个非零向量

如果 1、 2 不共线,







求证 A、B、D 三点共线. 23、已知向量 =(sinA,cosA) =( , ,﹣1) , ? =1,且 A 为锐角.

(1)求角 A 的大小; (2)求函数 f(x)=cos2x+4cosAsinx(x∈ R)的值域.

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答案与评分标准 一、选择题(共 12 小题,每小题 3 分,满分 36 分) 1、 (2008?陕西)sin330°等于( ) A、 B、

C、

D、

考点:运用诱导公式化简求值。 分析:根据 330°=360°﹣30°,由诱导公式一可得答案. 解答:解:∵ 故选 B. 点评:本题主要考查根据三角函数的诱导公式进行化简求值的问题.属基础题.对于三角函数的诱导公式一定要强 化记忆. 2、 (2005?陕西)已知 α 为第三象限角,则 所在的象限是( A、第一或第二象限 B、第二或第三象限 C、第一或第三象限 D、第二或第四象限 考点:象限角、轴线角;角的变换、收缩变换。 分析:α 为第三象限角,即 k∈ Z,表示出 ,然后再判断即可. )

解答:解:因为 α 为第三象限角,即

k∈ Z,

所以,

k∈ 当 k 为奇数时它是第四象限,当 k 为偶数时它是第二象限的角. Z

故选 D. 点评:本题考查象限角,角的变换,是基础题.可以推广到其它象限. 3、已知 MP,OM,AT 分别为 θ( <θ< )的正弦线、余弦线、正切线,则一定有( A、MP<OM<AT B、OM<MP<AT C、AT<0M<MP D、OM<AT<MP 考点:三角函数线。 专题:作图题;转化思想;数形结合法。 分析:作出角 θ 的三角函数线图象,由图象进行判断 即可得到 OM<MP<AT 解答:解:由 MP,OM,AT 分别为 θ( <θ< )的正弦线、余弦线、正切线,如图 )

由于 <θ< ,所以 OM<MP
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又由图可以看出 MP<AT 故可得 OM<MP<AT 故选 B.

点评:本题的考点是三角函数线,考查用作图的方法比较三角函数的大小,本题是直接比较三角函数线的大小,在 大多数此种类型的题中都是用三角函数线比较三个函数值的大小. 4、 (2005?浙江)已知向量 ( ) A、{2,3} B、{﹣1,6} C、{2} D、{6} 考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系。 专题:计算题。 , ,且 ,则由 x 的值构成的集合是

分析:根据题意,易得

=0,将两个向量坐标代入可得关系式(x﹣5)×2+3x=0,解可得 x 的值,进而可得答案.

解答:解:根据题意,

,则有

=0,

将两个向量坐标代入可得, (x﹣5)×2+3x=0, 解可得,x=2, 故选 C. 点评:本题考查向量数量积的应用,判断向量的垂直,解题时,注意向量的正确表示方法. 2 5、化简 cos2a+2sin a 得( ) A、0 B、1 2 2 C、sin a D、cos a 考点:同角三角函数基本关系的运用;二倍角的正弦;二倍角的余弦。 专题:计算题。 2 分析:根据余弦的倍角公式把 cos2α 转化成 1﹣2sin a,进而求得答案. 2 2 2 解答:解:cos2a+2sin a=1﹣2sin a+2sin a=1 故选 B 点评:本题主要考查了二倍角公式的应用.属基础题. 6、化简 的结果等于( )

A、

B、

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C、

D、

考点:向量加减混合运算及其几何意义。 专题:计算题。 分析:根据向量加法的首尾相连法则和相反向量的和向量是零向量,进行化简. 解答:解: ,

=

=

故选 B. 点评:本题考查了向量加法法则和相反向量的定义,对于向量加法注意用首尾向量进行化简. 7、已知 tana=2,tanβ=3,a,β 为锐角,则 a+β 值是( ) A、 B、

C、

D、

考点:两角和与差的正切函数。 专题:综合题。 分析:先根据两角和的正切函数公式表示出 tan(a+β)的关系式,然后把 tana 和 tanβ 的值代入关系式中即可求出 tan(a+β)的值,然后由 a,β 为锐角,得到 a+β 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出 a+β 的值. 解答:解:因为 tana=2,tanβ=3 则 tan(a+β)= = =﹣1,

又 a,β 为锐角,得到 a+β∈ (0,180°) , 所以 a+β= .

故选 B 点评:此题考查学生灵活运用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值,是一道综合题.

8、 已知△ ABC 的三个顶点 A、 C 及平面内一点 P 满足 B、 A、P 在△ ABC 内部 B、P 在△ ABC 外部 C、P 在 AB 边所在直线上 D、P 是 AC 边的一个三等分点 考点:向量在几何中的应用。 专题:计算题。

, 则点 P 与△ ABC 的关系为 (



分析:利用向量的运算法则将等式变形,得到

,据三点共线的充要条件得出结论.

解答:解:∵





,∴



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∴ 是 AC 边的一个三等分点. P 故选项为 D 点评:本题考查向量的运算法则及三点共线的充要条件.

9、已知 A、[3,17] C、[3,10] 考点:向量的模。 专题:计算题。

, B、 (3,17) D、 (3,10)

,则

的取值范围是(



分析:本题考察的知识点是向量的模,由

=



,我们易将

转化为|



|,然后根据向量

的模的平方等于向量的平方,结合已知中



,我们可得到

的表达式,根据两

个向量同向时数量积有最大值,两个向量反向时,两个向量的数量积有最小值,即可得到答案.

解答:解:

=|



|=





我们得:









同向时,

?

取最大值 70,





反向时,

?

取最小值 70,

故 9≤

≤289

故 3≤

≤17

故选 A 点评:两个向量同向时数量积有最大值,两个向量反向时,两个向量的数量积有最小值是解决本题的关键. 10、sin70°sin65°﹣sin20°sin25°=( ) A、 B、

C、

D、

考点:两角和与差的正弦函数;运用诱导公式化简求值。
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专题:计算题。 分析:利用诱导公式,化简 sin70°sin65°﹣sin20°sin25°,再用两角差的正弦公式求出即可. 解答:解:sin70°sin65°﹣sin20°sin25° =cos20°sin65°﹣sin20°cos65° =sin(65°﹣20°) =sin45° = 故选 C. 点评:本题考查两角和与差的正弦函数,诱导公式,考查计算能力,是基础题. 11、若 AD 是△ ABC 的中线,已知 = , ,则 等于( )

A、

B、

C、 考点:向量的三角形法则。 专题:计算题。

D、

分析:由题意和向量加法的四边形法则得, 解答:解:∵ 是△ AD ABC 的中线, ∴ 根据向量加法的四边形法则得, =

=

,再把已知条件代入即可.





= ,

,∴

=



故选 B. 点评:本题主要考查了向量加法的四边形法则应用,用已知向量表示所求的向量,再把条件代入,难度不大,是基 础题. 2 12、函数 y=cos x﹣3cosx+2 的最小值为( ) A、2 B、0 C、 D、6

考点:函数的值域;余弦函数的定义域和值域。 专题:计算题。 分析:先进行配方找出对称轴,而﹣1≤cosx≤1,利用对称轴与区间的位置关系求出最小值. 解答:解:y=cos x﹣3cosx+2=(cosx﹣ ) ﹣ ∵ ﹣1≤cosx≤1 ∴ cosx=1 时 ymin=0, 当
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2 2

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故选 B 点评:本题以三角函数为载体考查二次函数的值域,属于求二次函数的最值问题,属于基本题. 二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 13、已知角 α 的终边过点 P(4,﹣3) ,则 2sinα+cosα 的值为 ﹣ .

考点:任意角的三角函数的定义。 专题:计算题。 分析: 根据角 α 的终边过点 P (4, ﹣3) 利用任意角的三角函数的定义, , 求出 sinα, cosα 的值, 然后求出 2sinα+cosα 的值 解答:解:角 α 的终边过点 P(4,﹣3) ,r=OP=5, 利用三角函数的定义,求得 sinα=﹣ ,cosα= ,

所以 2sinα+cosα=﹣

=



故答案为:



点评:本题考查三角函数的定义,考查计算能力,掌握三角函数的定义,是本题顺利解答的前提.是基础题. 14、设点 P 分 的比为 λ,即 =λ ,若| |=4 ,则 λ 的值为 ﹣5 或 3 .

考点:线段的定比分点。 专题:计算题;数形结合;分类讨论。 分析:分 2 种情况讨论,当 λ>0 时,点 P 为内分点,λ= 对应的长度之比的相反数. 即对应的长度之比;当 λ<0 时,点 P 为外分点,λ 即

解答:解:如左图所示: ∵ | ,当 λ>0 时,设|PP2|=1,则|P1P|=3,λ=

|=4

=

=3.

当 λ<0 时,如右图所示:点 P 在线段 P1P2 的延长线上,设|PP2|=1,则|P1P|=5, λ= =﹣ =﹣5.

综上,λ 的值为﹣5 或 3,故答案为﹣5 或 3. 点评:本题考查定比分点的定义,定比分点分有向线段成的比的定义,体现了分类讨论的数学思想. 15、△ ABC 中,若 sinAsinB<cosAcosB,则△ ABC 的形状为 钝角三角形 . 考点:两角和与差的余弦函数。 专题:计算题。 分析: 把已知的不等式移项后, 根据两角和的余弦函数公式化简得到 cos (A+B) 大于 0, 然后利用诱导公式得到 cosC 小于 0,根据余弦函数的图象可知 C 为钝角,所以得到三角形为钝角三角形. 解答:解:由 sinA?sinB<cosAcosB 得 cos(A+B)>0,
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即 cosC=cos[π﹣(A+B)]=﹣cos(A+B)<0,故角 C 为钝角. 所以△ ABC 的形状为钝角三角形. 故答案为:钝角三角形 点评:考查学生灵活运用两角和的余弦函数公式及诱导公式化简求值,会根据三角函数值的正负判断角的范围. ,且 ,则向量 与 的夹角为 120 °.

16、若

考点:数量积表示两个向量的夹角;向量的模;数量积判断两个平面向量的垂直关系。 专题:计算题。 分析:根据 三个向量的关系,通过向量夹角公式求出结果.

解答:解:∵

,且





展开得:

整理得:1+1×2×

=0

解得:

故向量 与 的夹角为 120° 点评:本题考查向量垂直的性质与向量夹角的公式.为基础题. 17、设函数 f(x)=2sin( x+ ) .若对任意 x∈ R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1﹣x2|的最小值为 2 . 考点:三角函数的周期性及其求法。 专题:计算题。 分析:先求出函数的周期,对任意 x∈ R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,说明 f(x1)取得最小值,f(x2)取得 最大值,然后求出|x1﹣x2|的最小值. 解答:解:函数 f(x)=2sin( x+ )的周期 T= 对任意 x∈ R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立, 说明 f(x1)取得最小值, f(x2)取得最大值,|x1﹣x2|min= =2.
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=4,

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故答案为:2 点评:本题是基础题,考查函数的周期,对表达式对任意 x∈ R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立的正确理解,是解 题的关键,是突破口,|x1﹣x2|的最小值就是半周期. 三、解答题(共 6 小题,满分 44 分) 18、已知 tan a=2,求 的值.

考点:三角函数的恒等变换及化简求值。 专题:计算题。 2 2 2 2 2 分析:利用 sin α+cos α=1 的特点,把原式除以 sin α+cos α,然后分子分母同时除以 cos α,转化成关于 tanα 的式 子,最后把 tanα 的值代入即可求得答案. 解答:解:∵ tana=2, ∴ 的终边不落在坐标轴上 a ∴ cosa≠0. 故原式=

=



点评:本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用,三角函数恒等变换和化简求值,弦切互化问题.解题的过程 巧妙的利用了 sin α+cos α=1 的特点,完成有由弦到切的转化. 19、已知四边形 ABCD 中, = +2 , =﹣4 ﹣ , =﹣5 ﹣3 .求证四边形 ABCD 为梯形.
2 2

考点:向量在几何中的应用;向量的加法及其几何意义。 专题:计算题。

分析:利用向量的运算法则求出 AD=2BC 证出四边形 ABCD 为梯形. 解答:解:证:∵

,据向量平行的充要条件判断出



平行且模为二倍关系得到 AD∥ 且 BC

∴ BC 且 AD=2BC AD∥ ∴ 四边形 ABCD 为梯形 点评:本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、利用向量共线证两线平行. 20、已知函数 f(x)= (A>0,w>0) .其图象过最低点( ,l)和最高点( ,3) ,

且在[ ,

]上为单调递增函数,求函数解析式.

考点:y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义;正弦函数的单调性;三角函数的最值。 专题:计算题。 分析:由题意求出 A,求出周期,再求 ω,然后求出函数的解析式.

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解答:解:由已知,得 A=

=1,

=

,T=



w=

= (4 分)

故所求函数解析式 f(x)=

+2.

点评:本题考查 y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义,正弦函数的单调性,三角函数的最值,考查计算能力,是基础 题. 21、两个粒子 A、B 从同一源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为 , A=(4,3)
B=(2,10)

(1)写出此时粒子 B 相对粒子 A 的位移 ;

(2)计算 在

A 方向上的投影.

考点:平面向量数量积的含义与物理意义。 专题:计算题。 分析: (1)利用向量的运算法则:三角形法则求出 (2)利用向量数量积的几何意义:向量的数量积等于一个向量的模乘以另一个向量在第一个向量上的投影. 解答:解: (1) = =(﹣2,7)

(2) 在

方向上的投影为

点评:本题考查向量的数量积的几何意义;并用数量积求向量的投影. 22、 设两个非零向量 如果 1、 2 不共线, , , ,

求证 A、B、D 三点共线. 考点:向量的共线定理。 专题:证明题。 分析:利用向量共线定理将点共线问题转化为向量共线问题,关键要建立向量之间的倍数关系,用到向量运算的基 本知识. 解答:证明:∵ , ,

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共线.

∴ A,B,D 三点共线. 即 点评:本题考查向量线性运算的基本知识,考查向量共线的判定方法,考查转化与化归的思想,即将点共线问题转 化为向量共线问题. 23、已知向量 =(sinA,cosA) =( , ,﹣1) , ? =1,且 A 为锐角.

(1)求角 A 的大小; (2)求函数 f(x)=cos2x+4cosAsinx(x∈ R)的值域. 考点:平面向量的坐标运算;函数的值域;两角和与差的正弦函数。 分析: (1)利用向量数量积计算 ? ,得到 A 的三角函数式,即可求出 A.

(2)把 A 代入函数 f(x)并化简,利用三角函数的有界性,求得值域. 解答:解: (1)由题意得 ? = sinA﹣cosA=1,2sin(A﹣ )=1,sin(A﹣ )= ,

由 A 为锐角得 A﹣ = ,A= .

(2)由(1)知 cosA= ,所以 f(x)=cos2x+2sinx=1﹣2sin x+2sinx=﹣2(sinx﹣ ) + , 因为 x∈ R,所以 sinx∈ [﹣1,1], 因此,当 sinx= 时,f(x)有最大值 . 当 sinx=﹣1 时,f(x)有最小值﹣3, 所以所求函数 f(x)的值域是[﹣3, ]. 点评:本题考查平面向量的数量积,两角和与两角差的三角函数,以及函数值域问题,是中档题.

2

2

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参与本试卷答题和审题的老师有: qiss;Mrwang;zhwsd;caoqz115588;minqi5;xintrl;wdnah;sllwyn;danbo7801;gongjy;pingfanziqun;ccxiking; wsj1012。 (排名不分先后) 菁优网 2011 年 10 月 27 日

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