南京市2016-2017学年度第一学期期末检测卷(高一数学)试卷以及答案解析


南京市 2016-2017 学年度第一学期期末检测 卷 高一数学
注意事项: 1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本试卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2. 答题前, 请务必将自己的姓名、 学校、 班级、 学号写在答题卡的密封线内. 试 题的答 案写在答题卡 上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡. ... 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡 ... 相应位置 .... 上. ▲ 1.若集合 A={-1,0,1,2},B={x | x+1>0},则 A∩B=________ . ▲ 2.函数 y=log2(1-x)的定义域为________ . π ▲ 3.函数 f(x)=3sin(3x+ )的最小正周期为________ . 4 ▲ 4.若角?的终边经过点 P(-5,12),则 cos?的值为________ . ▲ 5.若幂函数 y=xα(α∈R)的图象经过点(4,2),则α的值为________ . ▲ 6.若扇形的弧长为 6cm,圆心角为 2 弧度,则扇形的面积为 ________ cm2. 7.设 e1、e2 是不共线的向量.若向量 e1-4e2 与 ke1+e2 共线,则实数 k 的值为 ▲ . ________ 8.定义在区间[0,5π]上的函数 y=2sinx 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数为 ▲ . ________ 9. 若 a=log32, b=20.3, c=log12, 则 a, b, c 的大小关系用 “<” 表示为________ ▲ .
5

2017.01

10.若 f(x)=2x+a·2 -x是偶函数,则实数 a 的值为________ ▲ . → → D 11.如图,点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点.若 AE ·DB =-2, → → ▲ 则 AE · BE 的值为________ . 12.已知函数 f(x)对任意实数 x∈R, f(x+2)=f(x)恒成立,且当 x∈[-1,1)时,f(x)=2x+a.若点 P(2017,8)是该函数图象上 的一点,则实数 a 的值为________ ▲ . 5 13 . 设 函 数 f(x) = 2 - 3x2 + 2 , 则 使 得 f(1) > f(log3x) 成 立 的 x 的 取 值 范 围 为 x ▲ . ________ x-2m,x≥m, 14.已知函数 f(x)= -x,-m<x<m,其中 m>0.若对任意实数 x,都有 f(x) x+2m,x≤-m, <f(x+1)成立,则实数 m 的取值范围为________ ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时 ........ 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知 sin?+cos? =2. sin?-2cos?
A (第 11 题图) B E C

(1)求 tanα; (?)求 cos(?-?)·cos(-?+?)的值. 2

16. (本小题满分 14 分)

已知向量 a=(-2,1),b=(3,-4). (1)求(a+b)·(2a-b)的值; (2)求向量 a 与 a+b 的夹角.

17. (本小题满分 14 分) 如图,在一张长为 2a 米,宽为 a 米(a>2)的矩形铁皮的四个角上,各剪去一 个边长是 x 米(0<x≤1)的小正方形,折成一个无盖的长方体铁盒,设 V(x)表示该铁盒 的容积. (1)试写出 V(x)的解析式; V (x ) (2)记 y= ,当 x 为何值时,y 最小?并求出最小值. x

(第 17 题图)

18. (本小题满分 16 分)

π π 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)( A>0, ω>0, |φ|< )的最小正周期为π, 且点 P( , 2 6 2)是该 函数图象的一个最高点. (1)求函数 f(x)的解析式; π (2)若 x?[- ,0],求函数 y=f(x)的值域; 2 π (3)把函数 y=f(x)的图像向右平移θ(0<θ< )个单位,得到函数 y=g(x)的图 2 象.若函 π 数 y=g(x)在[0, ]上是单调增函数,求θ的取值范围. 4

19. (本小题满分 16 分) 如图,在△ABC 中,已知 CA=1,CB=2,?ACB=60?. → (1)求| AB |; → → (2)已知点 D 是边 AB 上一点,满足 AD =λ AB ,点 E 是边 CB 上一点,满 → → 足 BE =λ BC . → → 1 CD ; ①当λ= 时,求 AE · 2 → → ②是否存在非零实数λ, 使得 AE ⊥ CD ?若存在, 求出的λ值; 若不存在, 请说明理由. C

E D

A

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=x-a,g(x)=a|x|,a∈R. (1)设 F(x)=f (x)-g(x). 1 ①若 a= ,求函数 y=F(x)的零点; 2 ②若函数 y=F(x)存在零点,求 a 的取值范围. ( 2) 设 h(x)=f(x)+g(x), x∈[-2, 2]. 若对任意 x1, x2∈[-2, 2], |h(x1)-h(x2)|≤6 恒成立,试求 a 的取值范围.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.{0,1,2} 7. - 1 4 2.(-∞,1) 8. 5 2π 3. 3 9. c<a<b 4.- 10. 1 5 13 1 5. 2 11. 3 6. 9 12. 4

1 1 13.(0, )∪(3,+∞) 14.(0, ) 3 4 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15 . 5cosα. 解 :( 1 ) 因 为 sin?+cos? = 2 , 化 简 得 sinα = sin?-2cos?

……………………………2 分

当 cosα=0 时不符合题意,所以 cosα≠0, 所 5. 以 tanα =

………………………………………………6 分 π (2)cos( -α)·cos(-π+α)=- 2

sinαcosα

……………………………8 分 sin?·cos? =- 2 =- sin α+cos2α

tanα tan2α+1 =- 5 . 26

…………………………………………12 分

……………………………………………14 分

16.解: (1)因为 a=(-2,1),b=(3,-4), 所 以 6), a + b = (1 , - 3) , 2a - b = ( - 7 , ……………………4 分 所 以 (a + b)·(2a - b) = 1×( - 7) + ( - 3)×6 = - 25. ……………………6 分 (2)由(1)可知 a+b=(1,-3),且 a=(-2,1), 所 以 |a| = 5. 5 , |a + b| = 10 , a·(a + b) = -

……………………9 分 设向量 a 与 a+b 的夹角为θ, 则 cosθ = a·(a+b) |a|·|a+b| = -

2 . 2 因为θ∈[0,π],所以θ= 即 向 量 a

……………………11 分 3π , 4 与 a + b 的 夹 角 为

3π . 4

……………………14 分

17.解:(1)依题意,y=x(a-2x)(2a-2x),x∈(0, 1]. ………………………………4 分 ( 2x) 2 ) y = V(x) x = (a - 2x)(2a -

…………………………………6 分 =4x2-6ax+2a2. 因 为 对 称 轴 x = 3 3 3 a , 且 a > 2 , 所 以 x = a > > 4 4 2

1,

…………………………8 分 所 以 当 x = 1 , ymin = 4 - 6a +

2a2.

………………………12 分 答 : 当 x = 1 时 , y 最 小 , 最 小 值 为 4 - 6a +

2a2.

…………………………14 分 2π 2π ,得 =π,所以ω=2. ω ω

18. 解: (1)由 T=

π 因为点 P( , 2) 是该函数图 象的一个最高点, 且 A > 0 ,所以 A = 6 2.…………2 分 此时 f(x)=2sin(2x+φ). π 又将点 P( ,2)的坐标代入 f(x)=2sin(2x+φ), 6 π π 得 2sin( +φ)=2,即 sin( +φ)=1, 3 3 所 以 k?Z. π π π + φ = 2kπ + , k ? Z , 即 φ = 2kπ + , 3 2 6

………………………4 分 π π 又因为|φ|< ,所以φ= . 2 6 综 上 , f(x) = 2sin(2x +

π ). 6 ( 2 ) π ], 6

………………………6 分 因 为 x ? [ - π π 5π , 0] , 所 以 2x + ? [ - , 2 6 6

………………………8 分 π 1 π 所以 sin(2x+ )∈[-1, ],即 2sin(2x+ )∈[-2,1], 6 2 6 所 以 函 数 y = f(x) 的 值 域 为 [ - 2 ,

1].

………………………10 分 ( 3 ) y = g(x) = 2sin[2(x - θ) + π ] = 2sin(2x - 2θ + 6

π ). 6

………………………12 分 π π π 2π 因为 0≤x≤ ,所以 -2θ≤2x-2θ+ ≤ -2θ, 4 6 6 3 π π -2θ≥2kπ- , 6 2 π k ∈ Z, 所以 2π -2θ≤2kπ+ , 3 2 解 得 - kπ + π 12 ≤ θ ≤ - kπ + π 3 , k ∈

Z.

………………………14 分 因 为 0 < θ < π π , 所 以 k = 0 , 所 以 ≤ θ ≤ 2 12

π . 3

………………………16 分

→ → 19.解: (1)因为 AB = CB - → CA , ………………………2 分 → → → → →→ → 1 所以 AB 2=( CB - CA )2= CB 2-2 CB · CA + CA 2=22-2×2×1× +12=3, 2 → 所以| AB |= 3. ………………………4 分

(2)解法 1: ① 当 λ = → CA ). → → → 1 1 → 1 → CB - CA , CD = 时 , AE = ( CB + 2 2 2

……………………6 分 → → 1→ → 1 → → 1 1→ 1→ → → 所以 AE · CD =( CB - CA )· ( CB + CA )= ×( CB 2- CB · CA - CA 2) 2 2 2 2 2 = 1 2 × ( 1 2 ×22 - 1 2 ×2×1× 1 2 - 12) =

1 . 4

…………………8 分 → → ②假设存在非零实数λ,使得 AE ⊥ CD . → → → → → → 因 为 BE = λ BC , 所 以 AE = CE - CA = (1 - λ) CB -

→ CA .

…………………10 分 → → → → → → → 因为 AD =λ AB ,所以 CD = CA + AD = CA +λ AB = → CA + λ( → CB - → CA ) = λ → CB + (1 -

→ λ) CA .

……………………12 分 →→ → → → → 所以 AE · CD =[(1-λ) CB - CA ]·[λ CB +(1-λ) CA ] → →→ → =λ(1-λ) CB 2+(λ2-3λ+1) CB · CA -(1-λ) CA 2 1 =λ(1-λ)×22+(λ2-3λ+1)×2×1× -(1-λ)×12 2 = - 3 λ2 + 2λ =

0. 2 解得λ= 或λ=0. 3

………………………14 分

因为点在三角形的边上,所以λ∈[0,1], 故 存 在 非 零 实 数 λ = 2 3 , 使 得 → AE ⊥

→ CD . 解法 2:

………………………16 分

由(1)得 CA=1,CB=2,AB= 3,满足 CB2=AB2+CA2, 所以?CAB=90?. 如图,以 A 原点,AB 边所在直线为 x 轴,AC 边所在的直线 为 y 轴,建立平面直角坐标系, 则 A(0,0),B ( 3,0),C(0,1). 分 → 1 3 1 → 3 ①当λ= 时, AE =( , ), CD =( ,-1), 2 2 2 2 →→ 则 AE · CD = 1 . 4 → → ②假设存在非零实数λ,使得 AE ⊥ CD . → → 因为 AE =( 3(1-λ), λ), CD =( 3λ,-1), →→ 所以 AE · CD =-3λ2+2λ= 0, 2 解得λ=0 或λ= . 3 因为点在三角形的边上,所以λ∈[0,1], → 2 所以存在非零实数λ= ,使得 AE ⊥ 3 → CD . ………………………16 分 ………………………14 分 ………………………10 分 ……………6

20.解: (1)F(x)=f(x)-g(x)=x-a-a|x|. 1 1 1 ①当 a= 时,由 F(x)=0,得 x- - |x|=0. 2 2 2

1 1 当 x≥0 时,x- - x=0,解得 x=1,满足条件. 2 2 1 1 1 当 x<0 时,x- + x=0,解得 x= ,不满足条件. 2 2 3 综 1. 上 , 函 数 y = F(x) 的 零 点 是

………………………2 分 ②F(x)=0,则 x-a-a|x|=0,即 a (1+|x|)=x. 因 为 1 + |x| ≠ 0 , 所 以 a =

x . 1+|x| x 设φ(x)= , 1+|x| 当 x > 0 时 , φ(x) = 1). ………………………6 分

………………………4 分

x 1 = 1 - , 所 以 φ(x) ∈ (0 , 1+x 1+x

因为φ(-x)=-φ(x),所以φ(x)是奇函数, 所以当 x<0 时,φ(x)∈(-1,0). 又因为φ(0)=0,所以当 x∈R,φ(x)∈(-1,1), 所 1). 以 a ∈ ( - 1 ,

………………………8 分 (2)设函数 h(x)的最大值和最小值分别是 M,N. 因为对任意 x1,x2∈[-2,2],| h(x1)-h(x2)|≤6 成立, 所 以 M - N ≤

6.

………………………10 分 解法 1:因为 h(x)=f(x)+g(x)=x-a+a|x|,x∈[-2,2], 所以 h(x)=x-a+a|x|= (a+1)x-a,x≥0, (1-a)x-a,x<0.

①当 a>1 时, 因为 a+1>0,所以 h(x)在(0,+∞)单调增; 因为 1-a<0,所以 h(x)在(-∞,0)单调减.

因为 h(2)=a+2,h(-2)=a-2,所以 h(2)>h(-2), 所以 M=h(x)max=h(2)=a+2,N=h(x)min=h(0)=-a, 所以 a+2-(-a)≤6,解得 a≤2. 又 因 为 a > 1 , 所 以 a≤2. ………………………12 分 ②当 a=1 时,h(x)= 2x-1,x≥0, -1, x<0,

1



所以 M=h(x)max=h(2)=3,N=h(x)min=-1, 所以 3-(-1)≤6 恒成立,所以 a=1 符合题意. ③当-1<a<1 时, 因为 a+1>0,所以 h(x)在(0,+∞)单调增; 因为 1-a>0,所以 h(x)在(-∞,0)单调增. 所以 M=h(x)max=h(2)=a+2,N=h(x)min=h(-2)=a-2, 所以(a+2)-(a-2)=4≤6 恒成立,所以-1<a<1 符合题意. ④当 a=-1 时,h(x)= 1, x≥0, 2x+1,x<0,

意.

2].

所以 M=h(x)max=1,N=h(x)min=h(-2)=-3, 所 以 1 - ( - 3) = 4≤6 恒 成 立 , 所 以 a = - 1 符 合 题 ……………………14 分 ⑤当 a<-1 时, 因为 a+1<0,所以 h(x)在(0,+∞)单调减; 因为 1-a>0,所以 h(x)在(-∞,0)单调增. 所以 M=h(x)max=h(0)=-a, 因为 h(2)=a+2,h(-2)=a-2, 所以 h(2)>h(-2) ,所以 N=h(x)min=h(-2)=a-2, 所以-a-(a-2)≤6,解得 a≥-2. 又因为 a<-1,所以-2≤a<-1. 综 上 , a 的 取 值 范 围 为 [ - 2 , ……………………16 分 解法 2:因为 h(x)=f(x)+g(x)=x-a+a|x|,x∈[-2,2], 所以 h(x)=x-a+a|x|= (a+1)x-a,x≥0, (1-a)x-a,x<0.

可知函数的图象是由两条折线段构成. 所以函数的 M 和 N 分别为 h(-2)=-2+a,h(0)=-a,h(2)=2+a 三个 值当中的两个.

显然 2+a>-2+a. 当 a≤-1 时,2+a≤-a;当 a>-1 时,2+a>-a. 当 a≤1 时,-2+a≤-a;当 a>1 时,-2+a>-a. 所以,①当 a>1 时,M=2+a,N=-a,M-N=2+2a, 因为 M-N≤6,所以 a≤2.又因为 a>1,所以 1<a≤ 2. …………………12 分 ②当-1<a≤1 时,M=2+a,N=-2+a,M-N=4. 因 为 M - N ≤ 6 恒 成 立 , 所 以 - 1 < a ≤ 1 满 足 条 件. …………………14 分 ③当 a≤-1 时,M=-a,N=-2+a,M-N=2-2a. 因为 M-N≤6,所以 a≥-2.又因为 a≤-1,所以-2≤a≤-1. 综 2]. 上 , a 的 取 值 范 围 为 [ - 2 ,

………………………16 分 解法 3:因为 h(x)=f(x)+g(x)=x-a+a|x|,x∈[-2,2], 所以 h(x)=x-a+a|x|= (a+1)x-a,x≥0, (1-a)x-a,x<0.

①当 0≤x≤2,h(x)=(1+a)x-a. 若 a>-1,则 1+a>0,所以 h(x)=(1+a)x-a 是增函数. 所以 h(x)max=h(2)=2+a,h(x)min=h(0)=-a. 若 a<-1,则 1+a<0,所以 h(x)=(1+a)x-a 是减函数. 所以 h(x)max=h(0)=-a,h(x)min=h(2)=2+a. 若 a=-1,h(x)=1,所以 h(x)max=h(x)min=1. ②当-2≤x<0,h(x)=(1-a)x-a. 若 a<1,则 1-a>0,所以 h(x)=(1-a)x-a 是增函数. 所以 h(x)<h(0)=-a,h(x)min=h(-2)=-2+a. 若 a>1,则 1-a<0,所以 h(x)=(1-a)x-a 是减函数.

所以 h(x)max=h(-2)=2-3a=-2+a,h(x)>h(0)=-a. 若 a = 1 , h(x) = - 1 , 所 以 h(x)max = h(x)min = - 1. ………………12 分 显然 2+a>-2+a. 因为当 a≤-1 时,2+a≤-a;当 a>-1 时,2+a>-a; 当 a≤1 时,-2+a≤-a;当 a>1 时,-2+a>- a. ………………………14 分 所以,(Ⅰ)当 a>1 时,M=2+a,N=-a,M-N=2+2a. 因为 M-N≤6,所以 a≤2.又因为 a>1,所以 1<a≤2. (Ⅱ)当-1<a≤1 时,M=2+a,N=-2+a,M-N=4. 因为 M-N≤6 恒成立,所以-1<a≤1 满足条件. (Ⅲ)当 a≤-1 时,M=-a,N=-2+a,M-N=2-2a. 因为 M-N≤6,所以 a≥-2.又因为 a≤-1,所以-2≤a≤-1. 综 2]. 上 , a 的 取 值 范 围 为 [ - 2 ,

………………………16 分


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