【红对勾】高中数学 1.3.1.1函数的单调性课件 新人教版必修1

第一章 集合与函数的概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 预习篇 函数的单调性 巩固篇 课堂篇 课时作业 提高篇 学习目标 1.记住函数的单调性及其几何意义,会证明简单函数 的单调性; 2.会用函数的单调性解答有关问题; 3.记住常见函数的单调性. 重点难点 重点:函数的单调性定义及其应用;常见函数的单调性 及应用;函数单调性的证明; 难点:函数单调性定义的理解及函数单调性的证明. 预习篇01 新知导学 增函数与减函数的定义 设函数f(x)的定义域是I: 如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1,x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2) ,那么就说函数f(x) 在区间D上是增函数. 设函数f(x)的定义域是I: 如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1,x2,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2) ,那么就说函数f(x)在 区间D上是减函数. 1.在增函数与减函数的定义中,能否把“任意两个自 变量”改为“存在两个自变量”? 提示:不能,如图所示:虽然 f(-1)<f(2),但原函数在[-1,2]上不是增函数. 2.设x1、x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变 量,如果f(x)满足以下条件,该函数f(x)是否为增函数? (1)对任意x1<x2,都有f(x1)<f(x2); (2)对任意x1,x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0; f?x1?-f?x2? (3)对任意x1、x2都有 >0. x1-x2 提示:是增函数,它们只不过是增函数的几种等价命 题. 3.由2推广,能否写出减函数的几个等价命题? 提示:减函数(x1,x2∈M)?任意x1<x2,都有f(x1)>f(x2) f?x1?-f?x2? ? <0?[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0. x1-x2 函数的单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是 增函数(或减函数) , 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 区间D叫做y=f(x)的 单调区间 . 4.函数的单调区间与其定义域是什么关系? 提示:函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间 而言的,故单调区间是定义域的子集. 1 5.函数f(x)= x的单调减区间是(-∞,0)∪(0,+∞)吗? 提示:不是.例如:取x1=1,x2=-1,则x1>x2,这时f(x1) =f(1)=1,f(x2)=f(-1)=-1,故有f(x1)>f(x2). 1 这样与函数f(x)= x在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减矛 盾. 1 事实上,f(x)= x的单调减区间应为(-∞,0)和(0,+ ∞). 常见函数的单调性 1.设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),当k>0 时,函数y=kx+b在R上是 增函数 =kx+b在R上是 减函数 . ;当k<0时,函数y 2.设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).若 b b ( -∞,- ] a>0,则该函数在 2a上是减函数,在 [-2a,+∞) b ] 上是增函数.若a<0,则该函数在(-∞,-2a上是增函 b [- ,+∞) 数,在 2a 上是减函数. k 3.设反比例函数的解析式为y=x(k≠0).若k>0,则函 k (-∞,0) 数y=x在 上是减函数,在 (0,+∞) 上也是减函 k (-∞,0) 数;若k<0,则函数y=x在 上是增函数,在 (0,+∞) 上也是增函数. 6.函数y=x2-x+2的单调区间如何划分? 1 1 提示:函数在(-∞, ]上是减函数,在[ ,+∞)上是 2 2 增函数. (1)函数的单调性是函数在定义域的某个子集上的性 质.这个子集可以是整个定义域,也可以是定义域的真子 集. (2)若x1>x2,f(x1)>f(x2),则函数y=f(x)是单调增函数; 若x1>x2,f(x1)<f(x2),则函数y=f(x)是单调减函数,即若(x1 -x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0),则函数y=f(x)是增(减)函数. (3)如果一个函数有多个单调增(减)区间,这些增(减)区 间应该用逗号隔开(即“局部”)或用“和”来表示,而不能用并 1 集的符号“∪”连接(并完之后就成了“整体”).例如,f(x)= x 的单调减区间可以写成(0,+∞),(-∞,0),或者写成(0, +∞)和(-∞,0),但不能写成(-∞,0)∪(0,+∞). 课堂篇02 合作探究 用定义判断或证明函数的单调性 【例1】 9 证明函数y=x+x在(0,3]上递减. 【证明】 设0<x1<x2≤3,则有 9 9 y1-y2=(x1+x )-(x2+x ) 1 2 9?x1-x2? 9 =(x1-x2)- x x =(x1-x2)(1-x x ). 1 2 1 2 9 9 ∵0<x1<x2≤3,∴x1-x2<0,x x >1,即1-x x <0,∴y1 1 2 1 2 9 -y2>0,即y1>y2.∴函数y=x+ 在(0,3]上递减. x 通法提炼 函数单调性的判断或证明是最基本的题型,最基本的 方法是定义法,整个过程可分为五个步骤: 第一步:取值.即设x1,x2是该区间内的任意两个值, 且x1<x2. 第二步:作差.准确作出差值f?x1?-f?x2?[或f?x2?-f?x1?]. 第三步:变形.通过因式分解、配方、分子?分母?有理 化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形. 第四步:确定f?x1?-f?x2?[或f?x2?-f?x1?]的符号.当符号 不能直接确定时,可通过分类讨论、等价转化,然后作 差,作商等思路进行. 第五步:判断.根据定义作出结论. 以上五个步骤可以简记为“取值——作差——变形 ——定号——判断”. 1 求证:函数f(x)=x+ x 在(0,1)上是减函数.

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