8-4定积分的计算思考题_图文

思考题: 思考题
内连续, 例 2 设 f ( x ) 在( ?∞ ,+∞ ) 内连续,且 f ( x ) > 0 .

∫0 tf ( t )dt 在(0,+∞ )内为单调增 证明函数 F ( x ) = x ∫0 f ( t )dt
加函数. 加函数

x



d x ∫0 tf ( t )dt = xf ( x ), dx
x 0

d x ∫0 f ( t )dt = f ( x ), dx
x

F ′( x ) =

xf ( x ) ∫ f ( t ) dt ? f ( x ) ∫ tf ( t ) dt

(∫

x

0

f ( t ) dt

)

0

2

F ′( x ) =

xf ( x ) ∫ f ( t ) dt ? f ( x ) ∫ tf ( t ) dt
0

x

x

(∫

x

0

f ( t ) dt
,

)

0

2

F ′( x ) =

f ( x )∫0 ( x ? t ) f ( t )dt

x

(∫

x

0

f ( t )dt

)

2

Q f ( x ) > 0, ( x > 0 )

∴ ∫0 f ( t )dt > 0,
x

x

( Q 当x > t时,x ? t ) f ( t ) > 0,∴ ∫0 ( x ? t ) f ( t )dt > 0,

∴ F ′( x ) > 0 ( x > 0). 内为严格单调增加函数. 故 F ( x ) 在( 0,+∞ )内为严格单调增加函数

思考题: 思考题
上连续, 例 3 设 f ( x ) 在[0,1]上连续,且 f ( x ) < 1.证明 证明



2 x ? ∫0 f ( t )dt = 1在[0,1]上只有一个解 上只有一个解.
[0,1]上 令 F ( x ) = 2 x ? ∫0 f ( t )dt ? 1, 则F ( x )为[0,1]上的连续函数。
x

x

又F (0) = ?1 < 0,
1

Q f ( x ) < 1,
1

F (1) = 1 ? ∫0 f ( t )dt = ∫ [1 ? f ( t )]dt > 0, 0
所以由连续函数的零点存在定理知 F ( x ) = 0 在 [0,1]上有一个解 上有一个解. 又 Q F ′( x ) = 2 ? f ( x ) > 0,

上为单调增加函数. 故 F ( x ) 在[0,1]上为单调增加函数
上只有唯一一个解. 唯一一个解 所以 F ( x ) = 0 在[0,1]上只有唯一一个解

例6 解

求∫ max{ x , x 2 }dx .
?2

2

y

由图形可知

y = x2
2

f ( x ) = max{ x , x }

y= x
?2

?x ? 2 ≤ x ≤ 0 ? = ?x 0 ≤ x ≤ 1 , ? x2 1 ≤ x ≤ 2 ?
2

o

1

2

x

∴ 原式 = ∫ x dx + ∫ xdx + ∫
2 ?2 0

0

1

2

1

11 x dx = . 2
2

例7 解

求∫

?1

?2

1 dx . x

1 当 x < 0 时, 的一个原函数是 ln | x |, x ?1 1 dx = ln | x | ?1 = ln 1 ? ln 2 = ? ln 2. ∫?2 x ?2

例 8 计算曲线 y = sin x 在[0, π]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积. 成的平面图形的面积



面积 A = ∫ sin xdx
0

π

y

= ? cos x 0 = 2.

π

o

π

x

例12

计算
1

∫?1

1

2 x 2 + x cos x dx . 2 1+ 1? x
2

解 原式 = ∫?1

1 x cos x 2x dx dx + ∫?1 2 2 1+ 1? x 1+ 1? x

偶函数

奇函数

= 4 ∫0

1

2 2 x2 1 x (1 ? 1 ? x ) dx = 4 ∫ dx 2 2 0 1+ 1? x 1 ? (1 ? x )
2

= 4 ∫0 (1 ? 1 ? x )dx = 4 ? 4 ∫0
= 4 ? π.

1

1

1 ? x 2 dx

单位圆的面积

例 13 若 f ( x ) 在 [0,1] 上 连 续 , 证 明

π π ∫0 xf (sin x )dx = 2 ∫0 f (sin x )dx . 由 此 计 算 π x sin x ∫0 1 + cos2 x dx .
π



x?

π
2

= t

? dx = dt ,
π
2
π

x=0 ?t=? , x=π ? t =

π
2

,



π

0

(x ?

π
2

) f (sin x )dx =

∫ π tf (? cos t )dt
2 ? 2

= 0(这是因为.....).

Q ∫ xf (sin x )dx =
0

π

π

2∫

π

0

f (sin x )dx .

π π sin x x sin x dx dx = ∫0 ∴∫ 2 2 1 + cos x 0 1 + cos 2 x 1 π π π π d (cos x ) = ? [arctan(cos x )]0 =? ∫ 2 0 1 + cos 2 x 2 2 π π π = ? (? ? ) = π . 2 4 4 4
π

例16 计算∫0 解

1

ln(1 + x ) dx . 2 (2 + x )

∫0

1

1 ln(1 + x ) 1 dx = ? ∫0 ln(1 + x )d 2 (2 + x ) 2+ x
1

1 1 ? ln(1 + x ) ? = ?? ? + ∫0 2 + x d ln(1 + x ) ? 2 + x ?0
1 ln 2 1 1 1 1 dx +∫ ? =? ? 0 2+ x 1+ x 3 1+ x 2 + x ln 2 5 1 =? + [ln(1 + x ) ? ln( 2 + x )]0 = ln 2 ? ln 3. 3 3

例17 设f ( x ) = ∫1 sin t 解 因为 没有初等形式的原函数, 没有初等形式的原函数, t 无法直接求出 f ( x ) ,所以采用分部积分法

x2

1 sin t dt , 求 xf ( x )dx . ∫0 t

1 1 xf ( x )dx = ∫ f ( x )d ( x 2 ) ∫0 2 0 1 1 2 1 1 2 = [x f ( x )]0 ? ∫0 x df ( x ) 2 2 1 1 1 2 = f (1) ? ∫ x f ′( x )dx 2 2 0
1

Q f ( x ) = ∫1

x2

sin t dt , t

sin t f (1) = ∫1 dt = 0, t
1

sin x 2 2 sin x 2 f ′( x ) = , ? 2x = 2 x x

1 1 2 1 ∴ ∫0 xf ( x )dx = f (1) ? ∫0 x f ′( x )dx 2 2 1 1 1 1 2 = ? ∫0 2 x sin x dx = ? ∫0 sin x 2dx 2 2 2 1 1 2 1 = [cos x ]0 = (cos 1 ? 1). 2 2
1


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