2018秋新版高中数学北师大版必修2习题:第一章立体几何初步 1.4.2 Word版含解析

第 2 课时 A.异面 C.平行 答案:D 异面直线所成的角 ) B.相交 D.异面或相交 1.若直线 a∥b,b∩c=A,则直线 a 与 c 的位置关系是( 2.在三棱锥 A-BCD 中,E,F,G 分别是 AB,AC,BD 的中点,如果 AD 与 BC 所成的角是 60°,那么∠FEG 为( A.60° C.120° ) B.30° D.60°或 120° 解析:异面直线 AD 与 BC 所成的角可能等于∠FEG,也可能等于∠FEG 的补角. 答案:D 3.若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4 满足 l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定 解析:因为 l2∥l3,所以 l1⊥l3,l3⊥l4.实质上就是 l1 与 l4 同垂直于一条直线,所以 l1⊥l4,l1∥l4,l1 与 l4 既不 垂直也不平行都有可能成立,故 l1 与 l4 的位置关系不确定. 答案:D ) 4.如图,在某个正方体的表面展开图中,l1,l2 是两条面对角线,则在正方体中,l1 与 l2( A.互相平行 B.异面且互相垂直 C.异面且夹角为 60° D.相交且夹角为 60° ) 解析:将表面展开图还原成正方体如图所示,则 B,C 两点重合.故 l1 与 l2 相交,连接 AD,△ABD 为正三角 形,所以 l1 与 l2 的夹角为 60°. 答案:D 5.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若点 E,F 分别在 AB,AC 上,且 AE=3AB,AF=3AC,则下列说法正确的是 ( ) B.EF∥A1B1 D.EF∥AA1 1 3 1 3 1 1 A.EF⊥BB1 C.EF∥B1C1 解析:∵AE= AB,AF= AC,∴EF∥BC. 又 ABC-A1B1C1 为棱柱,∴BC∥B1C1.∴EF∥B1C1. 答案:C 6.下列说法正确的是( ) A.空间中没有交点的两条直线是平行直线 B.一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条也相交 C.空间四条直线 a,b,c,d,如果 a∥b,c∥d,且 a∥d,那么 b∥c D.分别在两个平面内的直线是平行直线 解析:A,B 选项中,两直线可能异面,D 选项中两直线可能相交,也可能异面. 答案:C 7.如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体,那么 AB,CD,EF,GH 这四条线段所在直线 是异面直线的有 对. 解析:将图形还原成正方体,观察有 AB 与 CD,AB 与 GH,EF 与 GH 共 3 对异面直线. 答案:3 8.如图,已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1A=AB,E,F 分别是 BD1 和 AD 中点,则异面直线 CD1,EF 所成 的角的大小为 . 答案:90° 9.如图所示,在四棱锥 C-ABED 中,底面 ABED 是梯形.若 AB∥DE,DE=2AB,且 F 是 CD 的中点,P 是 CE 的中点,则 AF 与 BP 的位置关系是 解析:连接 PF,∵P,F 分别是 CE,CD 的中点, . ∴PF∥ED,且 PF=2ED. 又 AB∥ED,且 DE=2AB, 1 ∴AB∥PF,且 AB=PF, 即四边形 ABPF 是平行四边形,∴BP∥AF. 答案:平行 10.如图所示,在三棱锥 P-ABC 中,D,E 是 PC 上不重合的两点,F,H 分别是 PA,PB 上的点,且与点 P 不 重合.求证:EF 和 DH 是异面直线. 证明∵PA∩PC=P, ∴PA,PC 确定一个平面 α. ∵E∈PC,F∈PA, ∴E∈α,F∈α,∴EF?α. ∵D∈PC,∴D∈α,且 D?EF. 又 PB∩α=P,H∈PB,且点 H 与点 P 不重合, ∴H?α,DH∩α=D,且 DH 与 EF 不相交,于是直线 EF 和 DH 是异面直线. ★11.如图所示,在空间四边形 ABCD 中,两条对边 AB=CD=3,E,F 分别是另外两条对边 AD,BC 上 的点,且 = = 2,EF= 5,求 AB 和 CD 所成的角的大小. 1 解如图所示,过点 E 作 EO∥AB,交 BD 于点 O,连接 OF, 所以 = ,所以 = , 所以 OF∥CD. 所以∠EOF 或其补角是 AB 和 CD 所成的角. 在△EOF 中,OE=3AB=2,OF=3CD=1, 2 1 又 EF= 5,所以 EF2=OE2+OF2, 所以∠EOF=90°. 即异面直线 AB 和 CD 所成的角为 90°. ★12.在梯形 ABCD 中(如图①所示),AB∥CD,E,F 分别为 BC 和 AD 的中点,将平面 CDFE 沿 EF 翻折 起来,使 CD 到 C'D'的位置,G,H 分别为 AD'和 BC'的中点,得到如图②所示的立体图形.求证:四边形 EFGH 为平行四边形. 图① 图② 证明∵在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E,F 分别为 BC,AD 的中点, ∴EF∥AB,且 EF=2(AB+CD). 又 C'D'∥EF, 1 ∴C'D'∥AB. ∵G,H 分别为 AD',BC'的中点, ∴GH∥AB,且 GH=2(AB+C'D')=2(AB+CD). ∴GH∥EF,且 GH=EF. ∴四边形 EFGH 为平行四边形. 1 1

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