e8理科数学密破仿真预测卷15+Word版含答案


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考试时间:120 分钟满分:150 分 注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所 粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致务必在答题卡背面规定的地方填写姓 名和座位号后两位 2.答第 1 卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0 5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰 ...... 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0 5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚必须 在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效. ............................ 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.

3.已 知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? 3 , S n ? S n?3 ? 51(n ? 3) , S n ? 100,则 n 的值为 A. 8 【答案】C www.xe51.com B. 9 C. 10 D. 11

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选 C. 4.下列说法不正确的是

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【解析】因为解:∵等差数列{an}满足 a2=3,an-1=17, (n≥2) n=100,∵100= ,S

(3 ? 17)n ,∴n=10 故 2

2 A.“ ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ”

B.命题“若 x>0 且 y>0,则 x +y>0”的否命题是假命题 C. ?a ? R, 使方程2x2 ? x ? a ? 0的两根x1 , x2 满足 x1<1<x2”和“函数

f ( x) ? log2 (ax ? 1) 在[1,2]上单调递增”同时为真
D.△ABC 中 A 是最大角,则 sin 2 B ? sin2 C <sin A 是△ABC 为钝角三角形的充要条件
2

5.已

?x ? 1 ? 知实数 x,y 满足约束条件 ? y ? 2 则 z=2x-y 的取值范围( ?x ? y ? 0 ?
A.[l,2] 【答案】C 【解析】 B.[1,3] C.[0,2] D.[0,1]

)

根据约束条件画出可行域 由图得当 z=2x-y 过点 A(1,2)时,Z 最小为 0. 当 z=2x-y 过点 B(2,2)时,Z 最大为 2. 故所求 z=2x-y 的取值范围是[0,2] 故选 C. 6.已知某个几何体的三视图如右侧,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体 的体积是( )

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A.

5 3 cm 2

B.

3 3 cm 2

C. 3cm

3

D. 2cm 3

【答案】B 【解析】如图该几何体可以看作一个正方体与一个直三棱柱组合而成.

1 3 V ? 1 ? ?1 ? . 2 2
7.执行如图所示的程序框图,若输入 x=10,则输出( )

A.-

5 . B.-1 C.1 D.0 4

8.若 ( x ?
2

3 1 n ) 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 ,则展开式中常数项是( 14 x
B. 10 C.-45 D.45



A. -10 【答案】D

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? r 2 r ? Cn (?1)r x 2n? 5r 2

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r 【 解 析 】 因 为 展 开 式 的 通 项 公 式 为 Tr ?1 ? Cn ( x 2 )n?r (?1)r x

,

5r 2 20? 5r Cn 3 r r 所以 4 ? ,? n ? 10,?Tr ?1 ? C10 (?1) x 2 ,令 20 ? ? 0,? r ? 8. 2 Cn 14

8 所以常数项为 T9 ? C10 ? 45 .

9. 已知圆 O 的半径为 1, 、 为该圆的两条切线, 、 为两切点, PA PB A B 那么 PA · PB 的最小值为 ( A.-4+ ? B.-3+ ? C.-4+2 ? D.-3+2 ?

uur

uur



10.已知 F 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左焦点, P 是椭圆上的一点, PF⊥x 轴, OP∥AB(O 为原点), a2 b2
( )

则该椭圆的离心率是
y P F B
o

A

x

A.

2 2

B.

2 4

C.

1 2

D.

3 2

【答案】A 【解析】解:把 x=c 代入椭圆方程求得 y=± ∵OP∥AB, PF∥OB∴△PFO∽△ABO www.xe51.com
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b2 b2 ∴|PF|= a a

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| PF | | OB | 2 求得 b=c∴a= ? | OF | | OA | 2

故选 A 11、某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 l 本,则 不同的赠送方法共有( ) A.4 种 B.10 种 C.18 种 D.20 种

12.

1 ? 0 ? an ? ?2an , 3 ? 2 数列 ?an ? 满足 an ?1 ? ? ,若 a1 ? ,则数列的第 2012 项为( 1 5 ?2a ? 1, ? an ? 1 ? n ? 2
A.



1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

第 Ⅱ卷
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分。 13. 正方体不在同一平面上的两顶点 A(?1, 2, ?1), B(3, ?2,3) ,则正方体的体积是_____ 【答案】64 【解析】解:∵正方体中不在同一表面上两顶点坐标为 M(-1,2,-1) ,N(3,-2,3) , 2 ∴MN 是正方体的题对角线,MN = 16+16+16 =4∴正方体的棱长为 4,正方体的内切球的半径为 2 ∴正方体的的体积是 64 14.设 x, y ?R,向量 a ? ( x,1) , b ? (1, y ) , c ? (2, ?4) 且 a ? c , b / / c ,则 a ? b ? _______ .

15. 设函 www.xe51.com
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数 f ( x) ? ?

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(1 ? x ? 2) ?1 , g ( x) ? f ( x) ? ax, x ? [1,3] ,其中 a ? (0,1) ,记 ? x ? 1 (2 ? x ? 3)

函数 g (x) 的最大值与最小值的差为 h(a) ,则 h(a) 的最小值是_____________.

16.函数 f ( x ) ?

x2 ? x4 .给出函数 f ( x ) 下列性质:⑴函数的定义域和值域均为 ??1,1? ;⑵函数的图 x?2 ?2

像关于原点成中心对称;⑶函数在定义域上单调递增;⑷

?

A

f (x)dx ? 0 (其中 A 为函数的定义域) ;

⑸ A 、 B 为函数 f ( x ) 图象上任意不同两点,则 2< AB ? 2 .请写出所有关于函数 f ( x ) 性质正确描 述的序号 【答案】⑵⑷。 【解析】由 ? .

? x2 ? x4 ? 0 ? ,解得 ?1 ? x <0 或 0<x ? 1 。 ? x?2 ?2? 0 ?
2

x 1 ? x2 x 1 ? x2 ? 1 ? x2 ? 此时 f ( x) ? ?? =? 2? x?2 x ?? 1 ? x 2 ?
1.5 1

?1 ? x<0 0<x ? 1



0.5

-2

-1

1

2

3

4

-0.5

-1

如图所示。则⑴错误;⑵正确;⑶错误;⑷正确(积分的几何意义知) ;⑸错误( 0< AB ? 2 ) ,故填 -1.5 ⑵⑷。 -2 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

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17、已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ? (I)求函数 f ( x ) 的值域;

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? ? π? π? ? 2 ?x ,x ? R (其中 ? ? 0 ) ? ? sin ? ? x ? ? ? 2cos 6? 6? 2 ?

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(II)若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点间的距离为 增区间.

π ,求函数 y ? f ( x) 的单调 2

(II)解:由题设条件及三角函数图象和性质可知, y ? f ( x) 的周期为 π ,又由 ? ? 0 ,得 即得 ? ? 2 . 9 分 于是有 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?



?

? π,

? ?

π π π π? ? ? 1 ,再由 2kπ ? 2 ≤ 2 x ? 6 ≤ 2kπ ? 2 (k ? Z) , 6?

解得 kπ ?

π π ≤ x ≤ kπ ? (k ? Z) . 6 3
? ? π π? ,kπ ? ? (k ? Z) 6 3?

所以 y ? f ( x) 的单调增区间为 ? kπ ?

18、 (12 分)有一块边长为 4 的正方形钢板,现对其切割、焊接成一个长方体无盖容器(切、焊损耗忽 略不计) 。有人应用数学知识作如下设计:在钢板的四个角处各切去一个全等的小正方形,剩余部分围 成一个长方体,该长方体的高是小正方形的边长。 (1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的最大容积 V1 ; (2)请你判断上述方案是否是最佳方案,若不是,请设计一种新方案,使材料浪费最少,且所得长方 体容器的容积 V2 ? V1 。

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19.(本 题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA ? PD ? 2 , PA ? PD , 底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD, AB⊥AD, AB ? BC ? 1 ,O 为 AD 中点.

P

A O B C

D

(1)求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值; (2)求 B 点到平面 PCD 的距离 (3)线段 PD 上是否存在点 Q ,使得二面角 Q ? AC ? D 的余弦值为 存在,请说明理由.

PQ 6 ?若存在,求出 的值;若不 QD 3

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(2)

? PB ? ?1,?1,?1? ,设平面 PDC 的法向量为 u ? ?x, y, z ? ,
则?

?u ? CP ? ? x ? y ? 0 ? ?u ? PD ? y ? z ? 0 ?

,取 z ? 1 得 u ? ?1,1,1?

B 点到平面 PCD 的距离 d ?

BP ? u u

?

3 ??????.8 分 3

(3)假设存在,则设 PQ ? ? PD ? 0 ? ? ? 1? , 因为 PD ? ? 0,1, ?1? ,?OQ ? OP ? PQ ? ? 0, ? , ?? ? ,? OQ ? ? 0, ? ,1 ? ? ? 所以 Q ? 0, ?,1 ? ? ? ,

??? ?

??? ?

??? ?

???? ??? ?

??? ?

????

?? ???? ?m?AC ? x ? y ? 0 ?? ? 设平面 CAQ 的法向量为 m ? ? x, y, z ? ,则 ? ?? ???? ?m?AQ ? (? ? 1) y ? ?1 ? ? ? z ? 0 ? ?? 取 z ? ? ? 1 ,得 m ? ?1 ? ? , ? ? 1, ? ? 1?
平面 CAD 的有一个法向量为 n ? ? 0,0,1?

?

?? ? m?n ?? ? 6 6 ? 因为二面角 Q ? OC ? D 的余弦值为 ,所以 cos m, n ? ????? ? 3 3 mn
2 得到 3? ? 10? ? 3 ? 0 得 ? ?

1 或 ? ? 3 (舍) 3
??????? 13 分
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所以存在,且

PQ 1 ? QD 2

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20. (本小题满分 12 分) 2 * 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,Sn=n an(n∈N ). (1)试求出 S1,S2,S3,S4,并猜想 Sn 的表达式; (2)用数学纳法证明你的猜想,并求出 an 的表达式.

又∵ak+1=

2 2 ,∴an= . n(n ? 1) (k ? 2)(k ? 1)

┄┄┄┄┄┄┄┄┄16 分

21 (本题满分 12 分) 3 设函数 f(x)=x -3ax+b(a≠0).? (1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,求 a,b 的值;? (2)求函数 f(x)的单调性与极值点. 2 【答案】解: (1)f′(x)=3x -3a,? 因为曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切?,? 所以 ?

? f ?(2) ? 0, ?3(4 ? a) ? 0, 即? ? ? f (2) ? 8, ?8 ? 6a ? b ? 8.

解得 a=4,b=24.???????????6 分

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22.( 本小题满分 14 分)已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,一个顶点为 B(0,?1) ,且其右焦点到直线

x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程;
(2)是否存在斜率为 k (k ? 0) ,且过定点 Q(0, ) 的直线 l ,使 l 与椭圆交于两个不同的点 M 、 N , 且 BM ? BN ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.
2 x 2 ? y ? 1, (a ? b ? 0) 2 b2 【答案】解: (Ⅰ)设椭圆的方程为 a ,由已知得 b ? 1 .

3 2

c ? 2 2 ? 3,? c ? 2. 2 设右焦点为 (c, 0) ,由题意得 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 .

???????????2 分

x2 ? y 2 ? 1 ? 椭圆的方程为 3 .

????????4 分

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