2018秋新版高中数学北师大版必修2习题:第一章立体几何初步 习题课 Word版含解析

习题课 平行关系与垂直关系的综合应用 ) 1.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( A.若 α⊥β,m?α,n?β,则 m⊥n B.若 α∥β,m?α,n?β,则 m∥n C.若 m⊥n,m?α,n?β,则 α⊥β D.若 m⊥α,m∥n,n∥β,则 α⊥β 解析:对于选项 A,分别在两个垂直平面内的两条直线平行、相交、异面都可能;对于选项 B,分别在两 个平行平面内的两条直线平行、异面都可能;对于选项 C,两个平面分别经过两垂直直线中的一条,不 能保证两个平面垂直;对于选项 D,m⊥α,m∥n,则 n⊥α;又因为 n∥β,则 β 内存在与 n 平行的直线 l,因 为 n⊥α,所以 l⊥α,因为 l⊥α,l?β,所以 α⊥β.综上所述,D 选项正确. 答案:D 2. 如图所示,三棱锥 P-ABC 的底面在平面 α 内,且 AC⊥PC,平面 PAC⊥平面 PBC,点 P,A,B 是定点,则动 点 C 的轨迹是( A.一条线段 C.一个圆 答案:D 3.已知直线 PG⊥平面 α 于点 G,直线 EF?α,且 PF⊥EF 于点 F,则线段 PE,PF,PG 的关系是( A.PE>PG>PF C.PE>PF>PG B.PG>PF>PE D.PF>PE>PG ) ) B.一条直线 D.一个圆,但要去掉两个点 解析:在 Rt△PFE 中,PE>PF;在 Rt△PFG 中,PF>PG,所以 PE>PF>PG. 答案:C 4.若 ABCD-A1B1C1D1 为正方体,则下列结论中错误的是 A.BD∥平面 CB1D1 C.AC1⊥平面 CB1D1 B.A1C⊥BD D.AC1⊥BD1 ( ) 解析:因为 ABCD-A1B1C1D1 为正方体,所以 DD1∥BB1 且 DD1=BB1,所以四边形 DD1B1B 为平行四边形, 所以 BD∥B1D1,因为 BD?面 CB1D1,B1D1?面 CB1D1,所以 BD∥平面 CB1D1,故 A 正确;因为 AA1⊥面 ABCD,BD?面 ABCD,所以 AA1⊥BD,因为四边形 ABCD 为正方形,所以 AC⊥BD,因为 AC∩AA1=A,所 以 BD⊥面 A1ACC1,因为 A1C?面 A1ACC1,所以 BD⊥A1C,故 B 正确.同理可得 B1D1⊥面 A1ACC1,因为 AC1?面 A1ACC1,所以 B1D1⊥AC1,同理可得 CB1⊥AC1,因为 B1D1∩CB1=B1,所以 AC1⊥平面 CB1D1,故 C 正确.排除法应选 D. 答案:D 5.直线 m,n 均不在平面 α,β 内,给出下列命题: ①若 m∥n,n∥α,则 m∥α;②若 m∥β,α∥β,则 m∥α;③若 m⊥n,n⊥α,则 m∥α;④若 m⊥β,α⊥β,则 m∥α. 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 ) C .3 D .4 解析:对①,根据线面平行的判定定理知,m∥α;对②,若直线 m 与平面 α 相交,则 α 必与 β 相交,而这与 α ∥β 矛盾,故 m∥α;对③,在平面 α 内取一点 A,设过 A,m 的平面 γ 与平面 α 相交于直线 b.因为 n⊥α,所 以 n⊥b,又 m⊥n,所以 m∥b,所以 m∥α;对④,设 α∩β=l,在 α 内作 m'⊥β,因为 m⊥β,所以 m∥m',从而 m ∥α.故四个命题都正确. 答案:D 6.已知两条不同的直线 m,n 和两个不同的平面 α,β,给出下列四个命题:①若 m∥α,n∥β,且 α∥β,则 m ∥n;②若 m∥α,n⊥β,且 α⊥β,则 m∥n;③若 m⊥α,n∥β,且 α∥β,则 m⊥n;④若 m⊥α,n⊥β,且 α⊥β,则 m ⊥n.其中正确的个数为 . 解析:①中 m,n 也可能异面或相交,故不正确;②当 m∥α,n⊥β,且 α⊥β 成立时,m,n 两直线的关系可能 是相交、平行、异面,故不正确;③由 m⊥α,α∥β 可得出 m⊥β,再由 n∥β 可得出 m⊥n,故正确;④分别 垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直,正确.故③④正确.正确个数为 2. 答案:2 7.在四面体 P-ABC 中,PA=PB= PC= 解析: . ,平面 PAB⊥平面 ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,则 如图所示,取 AB 的中点 E,连接 PE.因为 PA=PB,所以 PE⊥AB. 又平面 PAB⊥平面 ABC,所以 PE⊥平面 ABC.连接 CE,则 PE⊥CE.因为∠ ABC=90°,AC=8,BC=6,所以 AB=2 CE= 答案:7 8.已知直线 m?平面 α,直线 n?平面 α,m∩n=M,直线 a⊥m,a⊥n,直线 b⊥m,b⊥n,则直线 a,b 的位置关 系是 . ,PC= ,PE= =7. , 解析:因为直线 a⊥m,a⊥n,直线 m?平面 α,直线 n?平面 α,m∩n=M,所以 a⊥α.同理可得直线 b⊥α,所 以 a∥b. 答案:a∥b 9.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,截面 A1BD 与底面 ABCD 所成的二面角 A1-BD-A 的平面角的正切值 为 . 解析:如图所示,连接 AC,交 BD 于点 O,连接 A1O1.因为 OA1⊥BD,AC⊥BD,所以∠A1OA 为二面角 A1BD-A 的平面角.在 Rt△A1OA 中,设 AA1=a,则 AO= a,所以二面角 A1-BD-A 的正切值为 答案: . 10.如图所示,四边形 ABCD 为矩形,平面 ABCD⊥平面 ABE,BE=BC,F 为 CE 上的一点,且 BF⊥平面 ACE. 求证:(1)AE⊥BE; (2)AE∥平面 BFD. 证明(1)因为平面 ABCD⊥平面 ABE,平面 ABCD∩平面 ABE=AB,AD⊥AB, 所以 AD⊥平面 ABE, 所以 AD⊥AE. 因为 AD∥BC, 所以 BC⊥AE, 又 BF⊥平面 ACE, 所以 BF⊥AE. 因为 BC∩B

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