2019版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积教师用书文北师大版

2019 版高考数学大一轮复习第五章平面向量 5.3 平面向量的数量积 教师用书文北师大版

1.向量的夹角 → → 已知两个非零向量 a 和 b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°)叫作向量 a 与 b 的夹角. 2.平面向量的数量积 已知两个向量 a 和 b,它们的夹角为 θ ,我们把|a||b|·cos θ 叫作 a 定义 与 b 的数量积(或内积),记作 a·b 几何 意义

a 与 b 的数量积等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上射影|b|cos θ 的乘积,
或 b 的长度|b|与 a 在 b 方向上射影|a|cos θ 的乘积

3.平面向量数量积的性质 设 a,b 都是非零向量,e 是单位向量,θ 为 a 与 b(或 e)的夹角.则 (1)e·a=a·e=|a|cos θ . (2)a⊥b?a·b=0. (3)当 a 与 b 同向时,a·b=|a||b|; 当 a 与 b 反向时,a·b=-|a||b|. 特别地,a·a=|a| 或|a|= a·a.
2

a·b (4)cos θ = . |a||b|
(5)|a·b|≤|a||b|. 4.平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b=b·a; (2)(λ a)·b=λ (a·b)=a·(λ b)(λ 为实数); (3)a·(b+c)=a·b+a·c. 5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=x1x2+y1y2,由此得到 (1)若 a=(x,y),则|a| =x +y 或|a|= x +y . → (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点间的距离 AB=|AB|=
2 2 2 2 2

x2-x1

2



y2-y1

2

.

(3)设两个非零向量 a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?x1x2+y1y2=0.

a·b x1x2+y1y2 (4)若 a,b 都是非零向量,θ 是 a 与 b 的夹角,则 cos θ = = 2 . 2 2 2 |a||b| x1+y1 · x2+y2

【知识拓展】 1.两个向量 a,b 的夹角为锐角?a·b>0 且 a,b 不共线; 两个向量 a,b 的夹角为钝角?a·b<0 且 a,b 不共线. 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)·(a-b)=a -b . (2)(a+b) =a +2a·b+b . (3)(a-b) =a -2a·b+b .
2 2 2 2 2 2 2 2

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的射影为数量,而不是向量.( √ )

(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ ) (3)由 a·b=0 可得 a=0 或 b=0.( × (4)(a·b)c=a(b·c).( × ) π (5)两个向量的夹角的范围是[0, ].( × ) 2 )

1.(教材改编)已知向量 a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则 k 等于( A.-12 C.-6 答案 D 解析 ∵2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k), 由 a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0, ∴10+2-k=0,解得 k=12. B.6 D.12

)

2. (2016·南宁质检)已知向量 a 与 b 的夹角为 30°, 且|a|=1, |2a-b|=1, 则|b|等于( A. 6 B. 5 C. 3 D. 2

)

答案 C 解析 由题意可得 a·b=|b|cos 30°= 由此求得|b|= 3,故选 C. → → → → → 3.(2016·银川调研)若平面四边形 ABCD 满足AB+CD=0,(AB-AD)·AC=0,则该四边形一 定是( ) B.矩形 D.正方形 3 2 2 2 |b|,4a -4a·b+b =1,即 4-2 3|b|+b =1, 2

A.直角梯形 C.菱形 答案 C

→ → 解析 由AB+CD=0 得平面四边形 ABCD 是平行四边形, → → → → → 由(AB-AD)·AC=0 得DB·AC=0, 故平行四边形的对角线垂直, 所以该四边形一定是菱形,故选 C. 4.(2016·北京)已知向量 a=(1, 3),b=( 3,1),则 a 与 b 夹角的大小为________. 答案 π 6

解析 设 a 与 b 的夹角为 θ ,则 cos θ = = 2 |a||b| 1+ 3 , 2 π 又因为 θ ∈[0,π ],所以 θ = . 6

a·b

1× 3+1× 3 3
2

· 1+

2

3

2



2 3 = 4

5. (2016·厦门模拟)设 x∈R, 向量 a=(x,1), b=(1, -2), 且 a⊥b, 则|a+b|=________. 答案 10

解析 ∵a⊥b,∴a·b=0,即 x-2=0, ∴x=2,∴a=(2,1),∴a =5,b =5, ∴|a+b|=
2 2

a+b

2

= a +2a·b+b

2

2

= 5+5= 10.

题型一 平面向量数量积的运算

例 1 (1)(2016·天津)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D,E 分别是边 AB,BC 的中 → → 点,连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF,则AF·BC的值为( 5 A.- 8 C. 1 4 B. D. 1 8 11 8 )

→ → → → (2)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则DE·CB的值为________;DE·DC 的最大值为________. 答案 (1)B (2)1 1 解析 (1)如图,

→ → → 由条件可知BC=AC-AB, → → → 1→ 3→ AF=AD+DF= AB+ DE 2 2 1→ 3→ = AB+ AC, 2 4 → → 所以BC·AF 1→ 3→ → → =(AC-AB)·( AB+ AC) 2 4 3→2 1→ → 1→2 = AC - AB·AC- AB . 4 4 2 因为△ABC 是边长为 1 的等边三角形, → → 所以|AC|=|AB|=1,∠BAC=60°, → → 3 1 1 1 所以BC·AF= - - = . 4 8 2 8 (2)方法一 以射线 AB,AD 为 x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐标系,

则 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设

E(t,0),t∈[0,1],则DE=(t,-1),CB=(0,-1),所以DE·CB=(t,-1)·(0,-1)=
1. → → → 因为DC=(1,0),所以DE·DC=(t,-1)·(1,0)=t≤1, → → 故DE·DC的最大值为 1. 方法二 由图知,





→ →

→ → → → → 无论 E 点在哪个位置,DE在CB方向上的射影都是 CB=1,∴DE·CB=|CB|·1=1, → → 当 E 运动到 B 点时,DE在DC方向上的射影最大,即为 DC=1, → → → ∴(DE·DC)max=|DC|·1=1. 思维升华 平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即 a·b=|a||b|cos〈a,b〉 . (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=x1x2 +y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解. 3? → ? 3 1? → ?1 (1)(2016·全国丙卷 ) 已知向量 BA = ? , ? , BC = ? , ? ,则∠ABC 等于 ?2 2 ? ? 2 2? ( ) B.45° C.60° D.120°

A.30°

→ → → → (2)(2015·四川)设四边形 ABCD 为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4,若点 M,N 满足BM=3MC, →

DN=2NC,则AM·NM等于(
A.20 B. 15 C.9 答案 (1)A (2)C D.6







)

→ → 解析 (1)∵|BA|=1,|BC|=1, cos∠ABC= 3 = , → → 2 |BA|·|BC|

BA·BC

→ →

又∵0°≤∠ABC≤180°,∴∠ABC=30°. → → 3→ (2)∵AM=AB+ AD, 4 1→ 1→ → → → NM=CM-CN=- AD+ AB, 4 3 1 → → → → 1 → → ∴AM·NM= (4AB+3AD)· (4AB-3AD) 4 12 1 1 →2 →2 2 2 = (16AB -9AD )= (16×6 -9×4 )=9, 48 48 故选 C. 题型二 平面向量数量积的应用 命题点 1 求向量的模 π 例 2 (1)(2016·西安模拟)已知平面向量 a,b 的夹角为 ,且|a|= 3,|b|=2,在△ABC 6 → → → 中,AB=2a+2b,AC=2a-6b,D 为 BC 的中点,则|AD|=________. → (2)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3),C(3,0),动点 D 满足|CD|=1, → → → 则|OA+OB+OD|的最大值是________. 答案 (1)2 (2) 7+1 → 1 → → 解析 (1)因为AD= (AB+AC) 2 1 = (2a+2b+2a-6b) 2 =2a-2b, → 2 2 2 2 所以|AD| =4(a-b) =4(a -2b·a+b ) =4×(3-2×2× 3×cos → 所以|AD|=2. → → (2)设 D(x,y),由CD=(x-3,y)及|CD|=1, 知(x-3) +y =1,即动点 D 的轨迹为以点 C 为圆心的单位圆.
2 2

π +4)=4, 6

→ → → 又 O A +OB+OD=(-1,0)+(0, 3)+(x,y)
=(x-1,y+ 3), → → → ∴|OA+OB+OD|=
2

x-
2

2



y+ 3

2

.

问题转化为圆(x-3) +y =1 上的点与点 P(1,- 3)间距离的最大值. ∵圆心 C(3,0)与点 P(1,- 3)之间的距离为 故 -
2



+ 3

2

= 7,

x-

2

+ y+ 3

2

的最大值为 7+1.

→ → → 即|OA+OB+OD|的最大值是 7+1. 命题点 2 求向量的夹角 例3 1 (1)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α ,且 cos α = ,向量 a=3e1-2e2 与 b=3e1-e2 3

的夹角为 β ,则 cos β =________. (2)若向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知 2a-3b 与 c 的夹角为钝角,则 k 的取值范 围是______________. 2 2 答案 (1) 3 9? ? 9 ? ? (2)?-∞,- ?∪?- ,3? 2? ? 2 ? ?
2 2

解析 (1)因为 a =(3e1-2e2)
2

=9-2×3×2×1 ×cos α +4=9, 所以|a|=3, 因为 b =(3e1-e2) =9-2×3×1×1 ×cos α +1=8, 所以|b|=2 2,
2 2 2

a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)
1 2 2 =9e1-9e1·e2+2e2=9-9×1×1× +2=8, 3

a·b 8 2 2 所以 cos β = = = . |a||b| 3×2 2 3
(2)∵2a-3b 与 c 的夹角为钝角, ∴(2a-3b)·c<0, 即(2k-3,-6)·(2,1)<0, ∴4k-6-6<0, ∴k<3.

9 又若(2a-3b)∥c,则 2k-3=-12,即 k=- . 2 9 当 k=- 时,2a-3b=(-12,-6)=-6c, 2 即 2a-3b 与 c 反向. 9? ? 9 ? ? 综上,k 的取值范围为?-∞,- ?∪?- ,3?. 2? ? 2 ? ? 思维升华 平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角:cos θ =

a·b ,要注意 θ ∈[0,π ]. |a||b|

(2)两向量垂直的应用:两非零向量垂直的充要条件是 a⊥b?a·b=0?|a-b|=|a+b|. (3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有: ①a =a·a=|a| 或|a|= a·a. ②|a±b|=
2 2

a±b

2

= a ±2a·b+b .
2 2

2

2

③若 a=(x,y),则|a|= x +y . (1)(2016·江西高安中学等九校联考)已知平面向量 a,b 满足 a·(a+b)=5, 且|a|=2,|b|=1,则向量 a 与 b 的夹角的正切值为( A. 3 3 B. 3 C.- 3 D.- 3 3 ) )

→ → → (2)在△ABC 中,若 A=120°,AB·AC=-1,则|BC|的最小值是( A. 2 C. 6 答案 (1)B (2)C 解析 (1)a·(a+b)=5, 即 a +a·b=5? a·b=1,
2

B.2 D.6

a·b 1 ∴cos〈a,b〉= = , |a||b| 2
π ∴〈a,b〉= , 3 则向量 a 与 b 的夹角的正切值为 3,故选 B. → → (2)∵AB·AC=-1, → → ∴|AB|·|AC|·cos 120°=-1, → → 即|AB|·|AC|=2,

→ 2 → → 2 →2 → → →2 ∴|BC| =|AC-AB| =AC -2AB·AC+AB → → → → ≥2|AB|·|AC|-2AB·AC=6, → ∴|BC|min= 6. 题型三 平面向量与三角函数 例 4 (2015·广东)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知向量 m=? 2? ? 2 n=(sin x, cos x), ,- ?, 2 ? ?2

x∈?0, ?. 2

? ?

π?

?

(1)若 m⊥n,求 tan x 的值; π (2)若 m 与 n 的夹角为 ,求 x 的值. 3 解 (1)因为 m=? 2? ? 2 ,- ?,n=(sin x,cos x),m⊥n. 2? ?2 2 2 sin x- cos x=0, 2 2

所以 m·n=0,即

所以 sin x=cos x,所以 tan x=1. π 1 (2)因为|m|=|n|=1,所以 m·n=cos = , 3 2 即 2 2 1 sin x- cos x= , 2 2 2

? π? 1 所以 sin?x- ?= , 4? 2 ?
π π π π 因为 0<x< ,所以- <x- < , 2 4 4 4 π π 5π 所以 x- = ,即 x= . 4 6 12 思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式, 运用向量共线或垂直或等式成立等, 得 到三角函数的关系式,然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标, 要求的是向量的模或者其他向量的表达形式, 解题思路 是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等. → → (1)已知 O 为坐标原点,向量OA=(3sin α ,cos α ),OB=(2sin α ,5sin α -4cos α ),α ∈? → → ?3π ,2π ?,且OA ⊥OB,则 tan α 的值为( ? ? 2 ? )

4 4 4 3 A.- B.- C. D. 3 5 5 4

1 3 → → (2)已知向量 a=(- , ),OA=a-b,OB=a+b,若△OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角 2 2 三角形,则△OAB 的面积为________. 答案 (1)A (2)1 解析 (1)由题意知 6sin α +cos α ·(5sin α -4cos α )=0,即 6sin α +5sin α cos α - 4cos α = 0 , 上 述 等 式 两 边 同 时 除 以 cos α , 得 6tan α + 5tan α - 4 = 0 , 由 于 α ∈?
2 2 2 2 2

?3π ,2π ?, ? ? 2 ?

4 则 tan α <0,解得 tan α =- ,故选 A. 3 → → → (2)由题意得,|a|=1,又△OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形,所以OA⊥OB,|OA| → → → 2 2 =|OB|.由OA⊥OB得(a-b)·(a+b)=|a| -|b| =0,所以|a|=|b|, → → 由|OA|=|OB|得|a-b|=|a+b|,所以 a·b=0. 所以|a+b| =|a| +|b| =2, 1 → → 所以|OB|=|OA|= 2,故 S△OAB= × 2× 2=1. 2
2 2 2

5.利用数量积求向量夹角

典例 已知直线 y=2x 上一点 P 的横坐标为 a,直线外有两个点 A(-1,1),B(3,3).求使向 → → 量PA与PB夹角为钝角的充要条件. 错解展示

现场纠错 解 错解中,cos θ <0 包含了 θ =π , → → 即PA,PB反向的情况,此时 a=1, → → 故PA,PB夹角为钝角的充要条件是 0<a<2 且 a≠1. 纠错心得 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时,不要忽视两向量共线的情况.

1. (2016·北师大附中模拟)已知向量 a=(x-1,2), b=(2,1), 则 a⊥b 的充要条件是( 1 A.x=- 2 C.x=5 答案 D 2.若向量 a,b 满足|a|=|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则|a+b|等于( A.2 2+ 3 C.4 答案 B 解析 |a+b| =|a| +|b| +2|a||b|cos 60° 1 =4+4+2×2×2× =12,|a+b|=2 3. 2
2 2 2

)

B.x=-1 D.x=0

)

B.2 3 D.12

3.(2016·山西四校二联)已知平面向量 a,b 满足 a·(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,则向 量 a 与 b 夹角的正弦值为( 1 3 A.- B.- 2 2 答案 D 解析 ∵a·(a+b)=a +a·b=2 +2×1×cos〈a,b〉=4+2cos〈a,b〉=3, 1 ∴cos〈a,b〉=- , 2 又〈a,b〉∈[0,π ], ∴sin〈a,b〉= 1-cos 〈a,b〉=
2 2 2

)

1 3 C. D. 2 2

3 . 2

→ → → → 4.如图,在△ABC 中,若|AB+AC|=|AB-AC|,AB=2,AC=1,E,F 为 BC 边的三等分点,则 → → AE·AF等于( )

A.

8 10 B. 9 9

25 26 C. D. 9 9

答案 B 解析 → → → → →2 → 2 → → →2 →2 → → → → 若|AB+AC|=|AB-AC|,则AB +AC +2AB·AC=AB +AC -2AB·AC,即有AB·AC=

→ → → → → → ?→ 1→? ?→ 1→? 0.E,F 为 BC 边的三等分点,则AE·AF=(AC+CE)·(AB+BF)=?AC+ CB?·?AB+ BC? = 3 ? ? 3 ? ? 10 → 1→? ?1→ 2→? 2→ 2→ 5→ → 2 ?2AC ?3 +3AB?·?3AC+3AB?=9AC2+9AB2+9AB·AC=9×(1+4)+0= 9 .故选 B. ? ? ? ? → → → → → 5.(2016·驻马店质检)若 O 为△ABC 所在平面内任一点,且满足(OB-OC)·(OB+OC-2OA) =0,则△ABC 的形状为( A.正三角形 C.等腰三角形 答案 C → → → → → 解析 因为(OB-OC)·(OB+OC-2OA)=0, → → → → → → 即CB·(AB+AC)=0,因为AB-AC=CB, → → → → → → 所以(AB-AC)·(AB+AC)=0,即|AB|=|AC|, 所以△ABC 是等腰三角形,故选 C. → → → → → 6.若△ABC 外接圆的圆心为 O, 半径为 4, OA+2AB+2AC=0, 则CA在CB方向上的投影为( A.4 B. 15 答案 C 解析 如图所示,取 BC 的中点 D,连接 AD,OD, C. 7 D.1 ) ) B.直角三角形 D.等腰直角三角形

则由平面向量的加法的几何意义得

→ → → AB+AC=2AD. 又由条件得, 1→ 1→ → → AB+AC=- OA= AO, 2 2 → 1→ → → 所以 2AD= AO,即 4AD=AO,所以 A,O,D 共线. 2 → → 所以 OA⊥BC,所以 CD 为CA在CB方向上的投影. → → → 因为|AO|=|CO|=4,所以|OD|=3, → 所以|CD|= → 2 → 2 |OC| -|OD| = 7.

→ → → → → 7.在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,点 P 在 AM 上,且满足AP=2PM,则PA·(PB+PC)的 值为________. 答案 -4 解析 由题意得,AP=2,PM=1, → → → → → 所以PA·(PB+PC)=PA·2PM =2×2×1×cos 180°=-4. 3 3 → → → → 8. 在△ABC 中, AB·BC=3, △ABC 的面积 S∈[ , ], 则AB与BC夹角的取值范围是________. 2 2 π π 答案 [ , ] 6 4 解析 由三角形面积公式及已知条件知 3 1 3 ≤S△ABC= AB·BCsin B≤ , 2 2 2 所以 3≤AB·BCsin B≤3,① → → 由AB·BC=3,知 AB·BCcos(π -B)=3, 3 所以 AB·BC=- , cos B 3sin B 代入①得, 3≤- ≤3, cos B 所以-1≤tan B≤- 3 3π 5π ,所以 ≤B≤ , 3 4 6

π π → → 而AB与BC的夹角为 π -B,其取值范围为[ , ]. 6 4 9.(2016·江西白鹭洲中学调研)已知在直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点 P

→ → → → 是斜边 AB 上的中点,则CP·CB+CP·CA=________. 答案 4 解析 由题意可建立如图所示的坐标系,

→ → → → → → → →2 可得 A(2,0),B(0,2),P(1,1),C(0,0),则CP·CB+CP·CA=CP·(CB+CA)=2CP =4. → → → 1 → 10.(2015·福建改编)已知AB⊥AC,|AB|= ,|AC|=t,若点 P 是△ABC 所在平面内的一点,

t

→ → 4AC → AB → → 且AP= + ,则PB·PC的最大值为________. → → |AB| |AC| 答案 13 解析 建立如图所示坐标系,

→ ?1 ? → ?1 ? 则 B? ,0?,C(0,t),AB=? ,0?,AC=(0,t),

?t

?

?t

?



→ 4AC AP= + → → |AB| |AC|



AB

?1 ? 4 =t? ,0?+ (0,t)=(1,4), t ? ? t
→ → ?1 ? ∴P(1,4),PB·PC=? -1,-4?·(-1,t-4)

?t

?

?1 ? =17-? +4t?≤17-2 ?t ?

1 ·4t=13.

t

11.(2016·江西玉山一中模拟)已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°. (1)若(ka-b)⊥(a+b),求 k 的值; (2)若|ka-b|<2,求 k 的取值范围. 解 (1)∵(ka-b)⊥(a+b), ∴(ka-b)·(a+b)=0, ∴ka +(k-1)a·b-b =0,
2 2

∵|a|=1,|b|=2, 〈a,b〉=60°, 5 ∴2k-5=0,∴k= . 2 (2)|ka-b|=
2 2

ka-b
2

2

= k a -2ka·b+b = k -2k+4<2,
2

∴k -2k<0,∴0<k<2. 12.(2016·西安八校联考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 2sin +cos 2C=1. (1)求角 C 的大小; (2)若向量 m=(3a,b),向量 n=(a,- ),m⊥n,(m+n)·(m-n)=16,求 a,b,c 的值. 3 解 (1)∵2sin
2 2

2

A+B
2

b

A+B
2
2

+cos 2C=1,

∴cos 2C=1-2sin
2

A+B
2

=cos(A+B)=-cos C,

∴2cos C+cos C-1=0, 1 ∴cos C= 或 cos C=-1, 2 π ∵C∈(0,π ),∴C= . 3 (2)∵m⊥n,∴3a - =0,即 b =9a .① 3 又(m+n)·(m-n)=16, 8b b 2 2 ∴8a + =16,即 a + =2,② 9 9 由①②可得 a =1,b =9,∴a=1,b=3, 又 c =a +b -2abcos C=7, ∴c= 7,∴a=1,b=3,c= 7. 13.(2016·青岛模拟)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 a=(-1,2),又点
2 2 2 2 2 2 2 2

b2

2

2

A(8,0),B(n,t),C(ksin θ ,t)(0≤θ ≤ ).
→ → → → (1)若AB⊥a,且|AB|= 5|OA|,求向量OB; → → → (2)若向量AC与向量 a 共线,当 k>4,且 tsin θ 取最大值 4 时,求OA·OC.

π 2

→ 解 (1)由题设知AB=(n-8,t), → ∵AB⊥a,∴8-n+2t=0. → → 又∵ 5|OA|=|AB|, ∴5×64=(n-8) +t =5t ,得 t=±8. 当 t=8 时,n=24;当 t=-8 时,n=-8, → → ∴OB=(24,8)或OB=(-8,-8). → (2)由题设知AC=(ksin θ -8,t), → ∵AC与 a 共线,∴t=-2ksin θ +16,
2 2 2

tsin θ =(-2ksin θ +16)sin θ
4 2 32 =-2k(sin θ - ) + .

k

k

4 ∵k>4,∴0< <1,

k

4 32 ∴当 sin θ = 时,tsin θ 取得最大值 .

k

k

32 由 =4,得 k=8,

k

π → 此时 θ = ,OC=(4,8), 6 → → ∴OA·OC=(8,0)·(4,8)=32.


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