2014年温州市高三第二次适应性测试数学理(Word版含答案)温州4月

2014 年温州市高三第二次适应性测试 数学(理科)试题
参考公式: 如果事件 A, B 互斥,那么

2014.4

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 3 至 4 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 棱柱的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A, B 相互独立,那么

V ? Sh 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高
棱锥的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是

p ,那么

1 V ? Sh 3
其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 棱台的体积公式

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k k Pn (k ) ? Cn p (1 ? p)n ? k ,(k ? 0,1, 2,

, n)

球的表面积公式
S ? 4? R 2

V ?

1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3

球的体积公式

其中 S1 、 S2 分别表示棱台的上、下底面积, h 表示棱台的高

V ?

4 3 其中 R 表示球的半径 ?R 3

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求. 1.已知集合 A ? {x | y ? 2x } , B ? { y | y ? 2 x } ,则 A I B ? ( ▲ ) A. [0, ??) B. (0, ??) C. R D. ?

2.已知 x , y ? R ,则“ x ? y ? 1 ”是“ xy ?

1 ”的( ▲ ) 4

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的直观图是( ▲ )

A

B

(第 3 题图)

C

D

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4.已知函数 f ( x) ?

cos 2 x ? 1 ,则有( ▲ ) sin 2 x

A.函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? C.函数 f ( x) 的最小正周期为

?
2

对称

B.函数 f ( x) 的图像关关于点 ( ,0) 对称

?

2

?
2

D.函数 f ( x) 在区间 (0, ? ) 内单调递减

? x ? 3 y ? 3 ? 0, 5.已知实数 x, y 满足不等式组 ? ? x ? y ? 3 ? 0, 则 2 x ? y 的取值范围是( ▲ ) ? x ? 0, ?
A. [?1,3] B. [?3, ?1] C. [?1, 6] D. [?6,1]

6.在 ?ABC 中,若 AC ? AB ?| AC |2 ,则有( ▲ ) A. | AC |?| BC |

uuu r

uuu r

B. | BC |?| AC |

C. | AC |?| AB |
?

D. | AB |?| BC |

7.已知等比数列 {an } 的各项均为正数,对 k ? N , ak ak ?5 ? a , ak ?10 ak ?15 ? b ,则 ak ?15ak ?20 ? ( ▲ )

b2 A. a

b b B. a

b b C. a

b2 b D. a

8.已知 x, y ? R ,若 x ? y ? cos x ? cos y ,则下面式子一定成立的是( ▲ ) A. x ? y ? 0 9.已知双曲线 B. x ? y ? 0 C. x ? y ? 0 D. x ? y ? 0

x2 y2 2 2 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F1 作圆 x ? y ? a 的切线分别交双 2 a b

曲线的左、右两支于点 B 、 C ,且 | BC |?| CF2 | ,则双曲线的渐近线方程为( ▲ ) A. y ? ?3x B. y ? ?2 2 x C. y ? ?( 3 ? 1) x D. y ? ?( 3 ? 1) x

? 2 ? a, x ? 0 ? 10. 已知函数 f ( x) ? ? x ? 2 , 若对任意的 a ? (?3,??) , 关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0
都有 3 个不同的根,则 k 等于( ▲ ) A.1 B.2 C.3 D.4

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非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.已知 ? ?

2 3 i ,则 ? ? (其中 i 是虚数单位) ? 2 2



. ▲ . .

12. ( x ? 2)( x ?1)5 的展开式中除去常数项的所有项的系数和等于 13.某程序框图如图所示,若输出的 a ? 161 ,则输入的 N ? ▲

14.有 11 个座位,现安排 2 人就座,规定中间的 1 个座位不能坐,并且这两 个人不相邻,那么不同坐法的种数是 则 a1 ? ▲ . 15.已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 2Sn ? an?1an , ▲ .
(第 13 题图)

16.若对任意的 t ? R ,关于 x, y 的方程组 ?

?2 x ? y ? 4 ? 0 都有两组不同的解,则实数 2 2 ?( x ? t ) ? ( y ? kt ) ? 16

k 的值是





17.如图,在四面体 ABCD 中,E,F 分别为 AB,CD 的中点,过 EF 任作一个平面 ? 分别与直 线 BC,AD 相交于点 G,H,则下列结论正确的是 ▲ . ①对于任意的平面 ? ,都有直线 GF,EH,BD 相交于同一点; ②存在一个平面 ? 0 ,使得点 G 在线段 BC 上,点 H 在线段 AD 的 延长线上; ③对于任意的平面 ? ,都有 S?EFG ? S?EFH ; ④对于任意的平面 ? ,当 G,H 在线段 BC,AD 上时,几何体 AC-EGFH 的体积是一个定值. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 如图, 点 P(0, ) 是函数 y ? A sin(
(第 17 题图)

A 2

2? x ? ?) 9

(其中 A ? 0,? ?[0, 2? ) )的图像与 y 轴的交点,点 Q 是它与 x 轴的一个交点,点 R 是它的一个最低点. (I)求 ? 的值; (II)若 PQ ? PR ,求 A 的值.
(第 18 题图)

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19. (本题满分 14 分)小明早上从家里出发到学校上课,如图所示,有两条路线可走,且走哪条 路线的可能性是相同的,图中 A、B、C、D 处都有红绿灯,小明在每个红绿灯处遇到红灯 的概率都是 秒. (I)求小明没有遇到红灯的概率; (II)记小明等候的总时间为 ? ,求 ? 的分布列并求数学 期望 E (? ) .
(第 19 题图)

1 ,且各个红绿灯处遇到红灯的事件是相互独立的,每次遇到红灯都需等候 10 3

20. (本题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为平行 四边形, AB ? 1 , BC ? 2 , ?ABC ? 45 ,点 E 在 PC 上,
AE ? PC .

(I)证明:平面 AEB ⊥平面 PCD ; (II)若二面角 B ? AE ? D 的大小为 150 ,求 ?PDC 的大小.

(第 20 题图)

x2 y 2 21. (本题满分 15 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ,其长轴长为 2 2 ,直线 l1 : y ? ?1 与 C 只有一 a b 个公共点 A1 ,直线 l2 : y ? 1 与 C 只有一个公共点 A2 .
(I)求椭圆 C 的方程; (II)设 P 是 l1 上(除 A 1 外)的动点,连结 A2 P 交椭 圆于另外一点 B , 连结 OP 交椭圆于 C , D 两点 ( C 在 D 的下方), 直线 A 1 B, AC 1 ,A 1D 分别交直 线 l2 于点 E, F , G , 若| E F|,| AF |,| 2 G F | 差数列,求点 P 的坐标. 成等
(第 21 题图)

22. (本题满分 15 分)设函数 f n ( x ) ? x ?

x 2 x3 (?1) n ?1 x n ? ?L ? ? ln(1 ? x) , n ? N? . 2 3 n 1) 内的单调性,并说明理由; (I)判断函数 f n ( x) 在 (0, 1 1) 都成立. (II)求最大的整数 ? ,使得 | fn ( x) |? ? 对所有的 n ? N? 及 x ? (0, n (注: ln 2 ? 0.6931 .)

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2014 年温州市高三第二次适应性测试 数学(理科)试题参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A A B C D 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 7 B 8 B 9 C

2014.4 10 C

11. 3 ? i 12.-2 13.5 14.74 15.0 或 1 16.-2 17.③,④ 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题 14 分) 解: (I)∵函数经过点 P (0,

1 ??????????????3 分 2 5? 又∵ ? ? [0, 2? ) ,且点 P 在递减区间上 ∴ ? ? ???????7 分 6 2? 5? 2? 5? ? ) 令 y ? 0 ,得 sin( x? )?0 (II)由(I)可知 y ? A sin( 9 6 9 6 15 2? 5? 15 x? ?0 ∴x ?? ∴ ∴ Q ( ? , 0) ?????????9 分 4 9 6 4 2? 5? 2? 5? 3? x ? ) ? ?1 ∴ x? ? 令 y ? ? A ,得 sin( ∴ x ? 3 ∴ R(3, ? A) ?11 分 9 6 9 6 2 uuu r uur A 15 A 3A ) 又∵ P (0, ) ,∴ PQ ? (? , ? ) , PR ? (3, ? 2 4 2 2 uuu r uur 45 3 2 ? A ? 0 解得: A ? 15 ????14 分 ∵ PQ ? PR ,∴ PQgPR ? ? 4 4
∴ sin ? ?
3 2

A ) 2

19. (本小题 14 分)解: (I)记“小明没有遇到红灯”为事件 A,则

1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 10 ??????????????4 分 P( A) ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 27 (II)由题可知: ? ? 0,10,20,30 ?????????????????6 分 2 10 1 1 1? 1? 1 1 1? 1? 4 P (? ? 0) ? P(? ? 10) ? C3 ?1 ? ? ? C2 ?1 ? ? ? ????8 分 27 2 3? 3? 2 3? 3? 9 2 2 1 2 ?1? ? 1? 1 2 ?1? 1 ???????????10 分 P(? ? 20) ? C3 ? ? ?1 ? ? ? C2 ? ? ? 2 ? 3? ? 3? 2 ? 3? 6 1 3?1? 1 ????????????????????12 分 P(? ? 30) ? C3 ? ? ? 2 ? 3 ? 54 ∴ ? 的分布列: ? 0 10 20 30
P ∴ E (? ) ?
10 27 4 9 1 6
3

1 54

20. (本小题 14 分) (I)证明:∵ AB ? 1, BC ?
数学(理科)试题

25 3

?????????????????????????14 分

2 , ?ABC ? 45 ,

第 5 页(共 4 页)

∴ AB ? AC ?????????????2 分 ∵ PA ? 平面 ABCD ,∴ PA ? AB ,又∵ AC I AP ? A ∴ AB ? 平面 PAC ,又∵ AB PCD ∴ CD ? 平面 PAC ,∴ CD ? AE ?????4 分 又∵ AE ? PC ,又∵ PC I CD ? C ∴ AE ? 平面 PCD ???????????6 分 又∵ AE ? 平面 AEB ∴平面 AEB ⊥平面 PCD ?????????7 分 (II)方法一:∵ AB ? 平面 PAC , AB ? 平面 AEB , ∴平面 AEB ⊥平面 PAC ,又∵二面角 B ? AE ? D 的大小为 150 . o o o ∴二面角 C ? AE ? D 的大小等于 150 ? 90 ? 60 . ????????10 分 又∵ AE ? 平面 PCD ,∴ CE ? AE , DE ? AE , o ∴ ?CED 为二面角 C ? AE ? D 的平面角,即 ?CED ? 60 . ????12 分
o ∵ CD ? 1 , ?ECD ? 90 ,∴ CE ?

3 .,∵ V AEC ∽ VPAC , 3

CE AC AC 2 ? ? 3, ,即 CP ? AC CP CE PC ? 3 ,∴ ?PDC ? 60o .?14 分 ∴ tan ?PDC ? CD 方法二:如图,以 A 为原点, AB , AC , AP 所在射线为
∴ x,y,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 A - xyz ,设 AP ? t , A(0, 0, 0) , B(1, 0, 0) , C (0,1, 0) , D(?1,1, 0) , P(0, 0, t ) . ? ∵ AB ? PC , AE ? PC ,∴ r PC uuu r 平面 ABE , ∴平面 ABE 的一个法向量为 n ? PC ? (0,1, ?t ) . ?9 分 ∵ AE ? PC ,∴ AE ?

t 1? t
2

.设 ?EAC ? ?APC ? ? ,∴ sin ? ?

t 1? t
2

, cos ? ?

1 1? t2

t2 t , 2 ) . ??????????????????????????10 分 ∴ E (0, 2 t ?1 t ?1 uuu r u r uuu r t2 t , 2 ) , AD ? (?1,1,0) , 设平面 AED 的一个法向量为 m ? ( x, y, z) ,∵ AE ? (0, 2 t ?1 t ?1 2 ? t t u r ?y? 2 ?z ?0 ? 2 ∴ ?t ?1 ,得 m ? (1,1, ?t ) . ???????????????12 分 t ?1 ? ?x ? y ? 0 ?
∵二面角 B ? AE ? D 的大小为 150 ,

r u r r u r | n?m | | t 2 ? 1| 3 r ? ?| cos150o |? ∴ | cos n, m |? r u ,解得 t ? 2 .????13 分 2 2 2 | n || m | t ?1 t ? 2
∴ PC ? 3 , CD ? 1 ,∴ ?PDC ? 60 . 21. (本小题 15 分)解: (I)由题意得: a ? ???????????14 分

2 ,b ?1

? 椭圆方程为:

x ? y2 ? 1 2

2

?????????????????????4 分

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第 6 页(共 4 页)

(II)解:设 P(t , ?1) ,则直线 A2 P 的方程为: y ? ?

2 x ? 1 ??????????5 分 t

2 ? y ? ? x ?1 ? 4 1 2 4 ? t 联立 ? 2 消去 y ,得 ( 2 ? ) x ? x ? 0 ????????????7 分 t 2 t ? x ? y2 ? 1 ? ? 2 8t ?8 ? t 2 解得 B( , ) ????????????????????????8 分 8 ? t2 8 ? t2 8 8 t x ? 1 ,令 y ? 1 ,得 x ? ,得 E ( ,1) ???????9 分 直线 A 1B 方程为 y ? t t 4 1 又直线 OP 的方程为 y ? ? x t 因为 C , D 关于 O (0, 0) 中心对称,可设 C ( x1 , y1 ), D(? x1 , ? y1 ) , y ?1 1 ? y1 直线 A1C 、 A2 D 的方程分别为 y ? 1 x ? 1, y ? x ?1, x1 ? x1 2 x1 ?2 x1 令 y ? 1 ,得 F ( ,1), G ( ,1) ???????????????????11 分 y1 ? 1 1 ? y1 8 ?2 x1 2 x1 2 x1 2 x1 , | A2 F |? ? ,???????12 分 | EF |? ? | GF |? ? t y1 ? 1 1 ? y1 y1 ? 1 y1 ? 1 8 2 x1 ?2 x1 2 x1 4 x1 又因为 | EF |,| A2 F |,| GF | 成等差数列,所以 ? + =? , ? t y1 ? 1 1 ? y1 y1 ? 1 y1 ? 1 8 2 x1 化简得: ? ……..① ???????????????????????13 分 t 1 ? y1 1 又 C 在直线 OP 上,所以 y1 ? ? x1 ……..② t ?4 4t 联立① 、② 解得 x1 ? 2 , y1 ? 2 ????????????????14 分 t ?4 t ?4 8t 2 16 又 C ( x1 , y1 ) 在椭圆上,代入椭圆方程得 2 ? 2 ? 1 ,解得: t ? ?4 ?15 分 2 (t ? 4) (t ? 4) 2 解法二:因为 | EF |,| A2F |,| GF | 成等差数列,所以 xE ? xF ? xG ? xF ? 2(0 ? xF ) 所以 xE ? xG ? 0 ,所以 xB ? xD ? 0 即 yB ? yD ???????????????7 分 2 设 P(t , ?1) ,则直线 A2 P 的方程为: y ? ? x ? 1 t
2 ? y ? ? x ?1 ? 联立 ? 消去 t ? 2 x ? ? y2 ? 1 ? ? 2

4 1 4 y ,得 ( 2 ? ) x 2 ? x ? 0 t 2 t

8t ?8 ? t 2 , ) 解得 B( 8 ? t 2 8 ? t 2 ??10 分

1 ? y?? x ? 1 2 2 t , 2 ), 直线 OP 的方程为 y ? ? x 联立 ? x 2 得 D(?t 2 t t ?2 t ?2 ? ? y2 ? 1 ?2
数学(理科)试题 第 7 页(共 4 页)

??13 分

t2 ? 8 2 解得 t ? ?4 。????????????????15 分 ? 2 由 yB ? yD 得 2 t ?8 t ?2
22. (本小题 15 分) 解: (I)函数 f n ( x) 的导数 f n? ( x) ? 1 ? x ? x ?
2

? (?1) n ?1 x n ?1 ?

1 ???????2 分 1? x

1 ? (?1)n?1 x n?1 ? (? x) 1 (?1) n?1 x n , ??????4 分 ? ? 1 ? ( ? x) 1? x 1? x xn ? 0 ,则函数 f n ( x) 在 (0, 故在 (0, 1) 内,当 n 为奇数时, f n? ( x) ? 1) 内单调递增;当 1? x xn ? 0 ,则函数 f n ( x) 在 (0, 1) 内单调递减. ???6 分 n 为偶数时, f n? ( x) ? ? 1? x ? (II)注意到对任意 n ? N , f n (0) ? 0 , ??????7 分 1) , 由(I) ,对任意 x ? (0, 当 n 为奇数时, f n ( x) ? 0 ;当 n 为偶数时, f n ( x) ? 0 . ??????8 分 ?
故当 n 为奇数时, n ? 1 为偶数, f n ?1 ( x) ? f n ( x) ? 而 f n ( x) ? 0 ,故 | f n ( x) |?

x n?1 x n?1 ? 0 ,即 f n ( x) ? , n ?1 n ?1
??????10 分

x n ?1 ; n ?1 x n ?1 . n ?1

同理,当 n 为偶数时,仍有 | f n ( x) |?
?

x n ?1 1) ,都有 | f n ( x) |? 所以对任意 n ? N 及 x ? (0, . ??????12 分 n ?1 1 1 x n ?1 1 ? . ? 1) ,故 又 x ? (0, ,即 | f n ( x) |? n ?1 n n ?1 n ?1 1 ? 1) 都成立. 因此 ? ? 1 能够使得 | f n ( x ) |? ? 对所有的 n ? N 及 x ? (0, n ???14 分 5 1 1 再注意到 | f 3 (1) |? ? ln 2 ? 2 ,故当 x 充分接近 1 时,必有 | f 3 ( x ) |? 2 , 6 3 3 1 ? 1) 都成立. 这表明 ? ≥ 2 不能使得 | f n ( x ) |? ? 对所有的 n ? N 及 x ? (0, n 所以 ? ? 1 为满足要求的最大整数. ?????15 分
命题教师:林 荣 陈珍艳 李 芳 戴雪燕 黄成宝 叶事一

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