山东省潍坊市2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题

2015.6 山东省潍坊市高一下学期期末考试 数学 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出四个选项中,只有一 个选项是符合要求的,请将正确涂写在答题卡上。
1. cos17? sin 43? ? sin163? sin 47? ? ( )

A. 1

B. ? 1

C. 3

D. ? 3

2

2

2

2

2.已知圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? my ? 0 上任意一点 M 关于直线 x ? y ? 0

的对称点 N 也再圆上,则 m 的值为( )

A.-1

B.1

C.-2

D.2

3.如图,执行程序框图后,输入的结果为( )

A.8

B.10

C.12

D.32

4.在 ?ABC中, ?BAC ? 90? , D 是 BC 的中点, AB ? 4,AC ? 3.则 AD ·BC ? ( )

A. ? 7

B. 7

C.-7

D.7

2

2

5.下列函数中,周期为? , 且在[? , ? ] 上单调递增的奇函数是( ) 42

A. y ? sin(2x ? ? ) B. y ? cos(2x ? ? ) C. y ? cos(2x ? ? ) D. y ? sin(x ? ? )

2

2

2

2

6.如图,在一个不规则的多边形内随即撒入 200 粒芝麻(芝麻落到

任何位置可能性相等),恰有 40 粒落入率半径为 1 的圆内,则该多

边形的面积约为

A. 4?

B. 5?

C. 6?

D. 7?

7.已知 ?ABC中, AB ? AC ? I ( AB ? AC ) ,则三角形的形状一定是( AB AC

)A.等腰三角

形 B.等边三角形 C 直角三角形 D.等腰直角三角形

8.从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售

额进 行统计,统计数据茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数数据的平均数分别为 x甲,x乙,中

位数分别为 m甲,m已 ,则( )

A. x甲 ? x乙,m甲 ? m已

B. x甲 ? x乙,m甲 ? m已

C. x甲 ? x乙,m甲 ? m已

D. x甲 ? x乙,m甲 ? m已

9.已知 OA,OB 是两个单位向量,且 OA·OB ? 0 。若点 C 在 ?AOB内,且 ?AOC ? 30? ,则

OC ? mOA ? nOB(m, n ? R) ,则 m ? ( ) n

A. 1

B. 3

C. 3

D. 3

3

3

10.从某高中随机选取 5 名高一男生,其身高和体重的数据如下表所示:

身高 x(cm)

160 165 170 175 180

身高 y(kg)

63

66

70

72

74

根据上表可得回归直线方程 y? ? 0.56x ? a? 据此模型预报身高为 172cm 的高一男生的体重为

( )A.70.09 B.70.12 C.70.55 D.71.05

11.若 a ? (? ,? ) ,且 3cos2a ? sin(? ? a) ,则 sin 2a 的值为

2

4

A. ? 17 B. 17

18

18

C. ? 1 18

D. 1 18

12.若函数 f (x) ? a sin x ? b cosx(ab ? 0) 的图像向左平移 ? 个单位后得到的图像队形的函 3

数是奇函数,则直线 ax ? by ? c ? 0 的斜率为( )

A. 3 3

B. 3

C. ? 3 D. ? 3 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请将答案填写在试卷的横线上。

13.向量 a ? (2x,1),b ? (4, x) 且 a 与 b 的夹角为180? ,则实数 x 的值为



14 某学院的 A,B,C 三个专业共有 1200 名学生,为了调查这些学生勤工俭学,拟采用分层臭 氧的方法抽取一个容量为 120 的样本,已知该学院的 A 专业有 380 名学生,B 专业有 420 名学

生,则在该学院的 C 专业抽取

名 学生。

15.直线 y ? kx ? 3与圆 (x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相较于 A、B 两点,若 AB ? 2 3 则实数 k 的

值是 。

16. 若 AB ? (x, y), x ??0,1,2?, y ??? 2,0,1?, a ? (1,?1) , 则 AB 与 a 的 夹 角 为 锐 角 的 概 率





三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分 12 分)

如图所示,在 Rt?ABC ,已知 A(?2,0) ,直角顶点 B(0,?2 2) ,点 C 在 x 轴上 (1)求 Rt?ABC 外接圆的方程 (2)求过点(-4,0)且与 Rt?ABC 外接圆相切的直线的方程。

18.如图,在平面直角坐标系中,锐角?、? 的终边分别与单位圆交于 A、B 两点。

(1)如果 sin ? ?3 ,点 B 的横坐标为 5 ,求 cos(? ? ? ) 的值

5

13

(2)已知点 C(2 3,?2) ,函数 f (a) ? OA·OC,若 f (a) ? 2 2 ,求 a

19.(本小题满分 12 分)

已知 a、b、c 是同一平 面内的三个向量,其中 a ? (1,2) 。

(1)若 c ? 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标

(2)若 b ? 5 ,且 a ? 2b与2a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角? 。 2

20.(本小题满分 12 分)

已 知 函 数 f (x) ? sin(?x ? ?) ? 3 cos(?x ? ?) 的 部 分 图 像 如 图 所 示 , 其 中 ? ? 0 ,
? ? (? ? ·? ) 。 22
(1)求 ? 与? 的值;

(2)若 f ( a ) ? 4 5 ,求 2sin? ? sin 2? 的值。

45

2sin? ? sin 2?

21.(本小题满分 12 分) 为了解某校高一学生学分认定考试数学成绩分布,从该 校参加学分认定的学生数学成绩中城区一 个样本,并分成 5 组,绘成如图所示的频率分 布直 方图。若第一组至第五组数据的频率之比为 1:2:8:6:3,最后一组数据的频数为 6. (1)孤寂该校高一学生数学承载 125~140 分之间的概率,并求出样本容量; (2)从样本成绩在 65~95 分之间的学生中任选两人,求至少有一人成绩在 65~80 分之间的概 率。

22.(本小题满分 14 分)

设函数 f (x) ? a ? b ,其中 a ? (2sin(? ? x),cos2x),b ? (sin(? ? x) ? 3), x ? R 。

4

4

(1)求 f (x) 的解析式

(2)求 f (x) 的周期和单调递增区间;

(3)若关于

x

的方程

f

(x)

?

m

?

2



x

?

?? ?? 4

,

? 2

? ??

上有解,求实数 m

的取值范围。

高一数学试题答案

一、选择题 CDBAC BABDB AD
二、填空题 13. ? 2 14. 40
三、解答题

15. ? 3 或0 16. 5

4

9

17.(本小题满分 12 分)

解:(1 由题意可知点 C 在 x 轴的正半轴上,可设其坐标为 (a,0) )

又 AB ?

BC, 则 k AB

·k BC

?

?1, 即 ? 2 2

2

·2 2 a

?

?1

解得 a ? 4

则所求圆的圆心为(1,0)半径为 3

故方程为 (x ? 1)2 ? y 2 ? 9

(2)由题意知直线斜率一定存在,估设所求直线方程为 y ? k(x ? 4)

即 kx ? y ? 4k ? 0

5k

当圆与直线相切时有 d ?

?3

k2 ?1

解得 k ? ? 3 4

故所求直线方程为 y ? 3 (x ? 4) 或 y ? ? 3 (x ? 4)

4

4

即 3x ? 4y ?12 ? 0 或 3x ? 4y ?12 ? 0

18.(本小题满分 12 分)
解:(1)? a 是锐角, sin a ? 3 5
?cos ? 1 ? sin 2 a ? 4 5
根据三角函数的定义,得 cos? ? 5 13
又? ? 是锐角
?sin ? ? 1? cos2 ? ? 12 13
?cos(? ? ? ) ? cos? cos? ? sin? sin ? ? 4 ? 5 ? 3 ? 12 ? 16 5 11 5 13 65

(2)由题意可知

OA ? (cos? ,sin? ),OC ? (2 3, ?2) ,

OA OC ? 2 3 cos? ? 2sin? = 4cos(a ? ? ) 6

又 f (a) ? 4cos(a ? ? ) ? 2 2 ,即 cos(a ? ? ) ? 2

6

62

?0 ? a ? ? 2

? ? ? a ? ? ? 2?

6

63

?a ? ? ? ? 64

?a ? ? 12

19.(本小题满分 12 分)

解:(1)设 C ? (x, y)

由 c ? 2 5 得, x2 ? y2 ? 2 5, 即 x2 ? y 2 ? 20

?c // a, a ? (1,2),?2x ? y ? 0,? y ? 2x



? ??x 2

y ?

? 2x y2 ?

20

?

?x

? ?

y

? ?

2 4



?x

? ?

y

? ?

?2 ?4

?c ? (2,4)或c ? (?2,?4)

(2)?(a ? 2b) ? (2a ? b),?(a ? 2b) ? (2a ? b) ? 0

??a ? 2b?? (2a ? b) ? 2a2 ? 3a ? b ? 2b2 ? 2 a 2 ? 0 ……(※)

? a 2 ? 5, b 2 ? ( 5 )2 ? 5 , 代入(※)中 24

? 2 ? 5 ? 3a ? b ? 2 ? 5 ? 0? a ? b ? ? 5

4

2

?a ?

5, b ? 5 ,?cos? ? a ? b ?

2

a?b

?5 2 ? ?1
5? 5 2

?? ??0,? ??? ? ?

20.(本小题满分 12 分)

(1)解: f (x) ? 2sin(?x ? ? ? ? ) 设 f (x) 的最小正周期为T 3

由图可得 T ? ? ? (? ? ) ? ? ,所以T ? x,? ? 2由 f (0) ? 2 ,得 sin(? ? ? ) ? 1

24 4 2

3

因为? ? (? ? ? ? ) ,所以? ? ?

22

6

(2)解: f (x) ? 2sin(2x ? ? ) ? 2 cos2x 由 f ( a ) ? 2 cos a ? 4 5 ,得 cos a ? 2 5

2

4

25

25

所以 cosa ? 2 cos2 a ?1 ? 3 所以 2sin a ? sin 2a ? 2sin a(1 ? cos a) ? 1 ? cos a ? 1 2 5 2sin a ? sin 2a 2sin a(1 ? cos a) 1 ? cos a 4

21.(本小题满分 12 分)

解:(1)估计该校高一学生数学成绩在

125~140

分之间的概率

P1



1?

2

?

3 6?

8

?

3

?

3 20

又设样本容量为 m ,则 6 ? 3 ,解得: m ? 40 m 20

(2)样本中成绩在 65~80 分的学生有 1 ? 40 ? 2 人,记为 x, y ; 20

成绩在 80~95 分的学生 1 ? 40 ? 4 人,记为 a,b, c, d, 20

从上述 6 人中任选 2 人的所有可能情形有:

?x, y?,?x, a?,?x,b?,?x,c?,?x, d?,?y, a?,?y,b?,?y,c?,?y, d?

?a,b?,?a, c?,?a, d?,?b, c?,?b, d?,?c, d?共 15 种至少有 1 人在 65~80 分质检的可能情形有

?x, y?,?x, a?,?x,b?,?x,c?,?x, d?,?y, a?,?y,b?,?y,c?,?y, d?, 共 9 种

因此,所求的概率

P2

?

9 15

?

3 5

22.(本小题满分 14 分)

解(1) f (x) ? (2sin(? ? x),cos2x) ? (sin(? ? x) ? 3) ? 2sin 2 (? ? x) ?

4

4

4

? 1? cos(? ? 2x) ? 3 cos2x ? 1 ? sin 2x ? 3 cos 2x ? 2sin(2x ? ? ) ?1

2

3

3 cos2x

(2)周期T ? 2? ? ? 由 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z 解得

2

2

3

2

k? ? ? ? x ? k? ? 5? , k ? Z

12

12

?

f

(x)

的单调递增区间为 ???k?

?

? 12

, k?

?

5? 12

???(k

?

Z)

(3)因为

x

?

?? ?? 4

?

? 2

? ??

,所以

2x

?

? 3

?

?? ?? 6

,

2? 3

? ??

即 sin(2x

?

? 3

)

?

?1 ?? 2

,1???

,又因为

f

(x)

?

2 s in(2 x

?

? 3

)

? 1 所以

f

(x)

的值域为 ?2,3?

而 f (x) ? m ? 2, 所以 m ? 2 ? ?2,3?,即 m ? ?0,1?


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