甘肃省天水市一中2015届高三上学期第三次数学题(理)考试试题 Word版含答案_图文

天水市一中 2014—2015 学年度第一学期 2012 级第三次考试试题

数学(理科)
命题:张永国 审核:张志义

一、选择题(本大题共 12 个小题,每个 5 分,共计 60 分)
5, 6? , A ? ?1, 3, 4, 5? , B ? ?5, 6? ,则 CU ( A ? B) ? ( 1.已知全集 = ?1, 2,3, 4,
A. ?1,3, 4? B. ?5, 6? C. ?1,3, 4,5, 6? D. ?2? ) D. y ? 2 x )

2.下列函数中,在(0,+ ? )上单调递增,并且是偶函数的是( A. y ? x 2 3.已知 cos( A. B. y ? ? x 3 C. y ? ? lg | x |

?

18 25

3 ) ? x) ? ,那么 sin 2 x =( 4 5 24 7 B. ? C. ? 25 25
1 ”的( a

D. )

7 25

4.若 a,b 为实数,则“ 0 ? ab ? 1 ”是“ b ? A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
10

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? 2 2 ? 5.二项式 ? x ? ? 的展开式中的常数项是 x? ?
A.第 10 项 何体的表面积是( B.第 9 项 ) C.第 8 项 D.第 7 项 6. .一个几何体的三视图是一个正方形,一个矩形,一个半圆,尺寸大小如图所示,则该几

A. ?

B. 3? ? 4

C. ? ? 4

D. 2? ? 4

7.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局 才能得冠军,若两队每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( ) A.

1 2

B,

2 3

C.

3 4

D.

3 5

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?y ? x ? 8.已知 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 2 ,则 z=2x+y 的最大值与最小值的比值为( ?x ? 2 ?
A.



1 2

B.2

C.

3 2

D.

4 3

9.已知函数 f ( x) ? sin 2 x 向左平移 说法正确的是( ) A.图象关于点 ( ? C.在区间 [?

?
6

个单位后,得到函数 y ? g ( x ) ,下列关于 y ? g ( x ) 的

?
3

, 0) 中心对称

B.图象关于 x ? ? D.在 [ ?

?
6

轴对称

5? ? , ? ] 单调递增 12 6

? ?

, ] 单调递减 6 3

10.已知数列 {an } 是等差数列,若 a9 ? 3a11 ? 0 , a10 ? a11 ? 0 ,且数列 {an } 的前 n 项和 S n 有 最大值,那么 S n 取得最小正值时 n 等于( A.20 B.17 ) D.21

C.19

x2 y2 11.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上一点 A 关于原点的对称点为点 B,F 为右焦点,若 a b
?? ? ? AF ? BF ,设 ?ABF ? ? ,且 ? ? ? , ? ,则该椭圆离心率 e 的取值范围为( ?6 4?
A、 [ )

2 , 3 ? 1] 2

B、 [

2 ,1) 2

C、 [

2 3 , ] 2 2

D、 [

3 6 , ] 3 3
x 5 1 f ? x ?, 且 当 2

12 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x ?满足f ?0 ? ? 0, f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 1, f ( ) ?

0 ? x1 ? x 2 ? 1 时, f ? x1 ? ? f ? x 2 ? .则 f (
A.

1 2

B.

1 16

1 ) 等于 ( ) 2007 1 1 C. D. 32 64

二、填空题(本大题共 4 个小题,每个 5 分,共计 20 分) 13.已知| a |=1,| b |= 3 ,且 a , b 的夹角为

?
6

,则| a - b |的值为_________.

14 . 已 知 直 线 l1 : ax ? y ? 2a ? 0 , l2 : (2a ? 1) x ? ay ? a ? 0 互 相 垂 直 , 则 实 数 a 的 值 是 .

15. 若函数 f ? x ? 在定义域 D 内某区间 I 上是增函数, 且

f ?x ? 在 I 上是减函数, 则称 y ? f ? x ? x

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在 I 上是“弱增函数”.已知函数 h? x ? ? x 2 ? ?b ? 1?x ? b 在(0,1]上是“弱增函数”,则实 数 b 的值为 16.有下列命题 设 m,n 是两条不同的直线,α 、β 、γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: (1)若 m⊥α ,n∥α ,则 m⊥n (2)若α ∥β ,β ∥γ ,m⊥α ,则 m⊥γ (3)若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n (4)若α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α ∥β 其中真命题的序号是 三、解答题(本大题共 6 个小题,共计 70 分) 17. (本小题满分为 10 分) 在△ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 a ? b ? c ? bc .
2 2 2





(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1, b ? 2 ,试求△ABC 的面积. 18. (本小题满分为 10 分) 已知圆 C : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 , (Ⅰ)若直线 l1 过定点 A (1,0),且与圆 C 相切,求 l1 的方程; (Ⅱ) 若圆 D 半径为 3,圆心在 l2 : x ? y ? 2 ? 0 上,且与圆 C 外切,求圆 D 的方程. 19. (本小题满分为 12 分) 已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 是 a2 与 a8 的等比中项. (I)求数列 ?an ? 的通项公式:
n ?1 (II)若 an ?1 ? an .求数列 {2 ? an } 的前 n 项和.

20. (本小题满分为 12 分) 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC ⊥平面 BDE. (I) 证明:BD⊥平面 PAC; (II) 若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的余弦值.

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21. (本小题满分为 12 分) 已知点 A(0, ?2) ,椭圆 E :
2 2 x y 3 , F 是椭圆的焦点,直线 ? 2? 1 ( a? b? 0 )的离心率为 2 a b 2

AF 的斜率为

2 3 , O 为坐标原点. 3

(1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P , Q 两点,当 ?OPQ的面积最大时,求 l 的方程. 22. (本小题满分为 14 分) 已知函数 f ( x) = x ? ax ? b , g ( x) = e x (cx ? d ) , 若曲线 y ? f ( x) 和曲线 y ? g ( x ) 都过点
2

P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 . (Ⅰ)求 a , b , c , d 的值; (Ⅱ)若 x ? ?2 时, f ( x) ≤ kg ( x ) ,求 k 的取值范围.

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1.D.

2.A

3.C

4.D

参考答案(理科) 5. B 6. B

7.C

8. B

9. C

【解析】∵函数 f(x)=sin2x 向左平移 (2x+

?
6

个单位,得到函数 y=g(x)=sin2(x+

?
6

)=sin

?
3

) ;

∴对于 A:当 x=-

?
3

时,y=g(x)=sin(-

3 2? ? + )=? 0∴命题 A 错误; 2 3 3
+

对于 B:当 x=-

?
6

时,y=g(x)=sin(-

? ?
3 3

)=0≠±1,∴命题 B 错误;

对于 C:当 x∈[?

? ? 5? ? , ? ] 时,2x+ ∈[- ,0], 3 2 12 6 ?
3
)是增函数,∴命题 C 正确;

∴函数 y=g(x)= sin(2x+ 对于 D:当 x∈ [ ?

? ?

, ] 时,2x+ ∈[0,π ], 3 6 3

?

∴函数 y=g(x)= sin(2x+ 10. C

?

3

)是先增后减的函数,∴命题 D 错误.

【解析】 :因为 a9 ? a11 ? 2a10 ,由 a9 ? 3a11 ? 0 可知 a10 ? a11 ? 0 ,又 a10 ? a11 ? 0 ,所以

a10 , a11 中一正一负,因为数列 {an } 的前 n 项和 S n 有最大值,所以 a10 ? 0, a11 ? 0 ,又
S19 ?
11. A 【解析】 :∵B 和 A 关于原点对称 ∴B 也在椭圆上 设左焦点为 F′ 根据椭圆定义: | AF | ? | AF ? |? 2a 又∵ | AF |? | BF | ∴ | AF | ? | BF | ? 2a ①

19(a1 ? a19 ) 20(a1 ? a20 ) ? 19a10 ? 0 , S 20 ? ? 10(a10 ? a11 ) ? 0 ,所以答案选 C. 2 2

o 是 Rt?ABF 的斜边中点,∴ | AB |? 2c
又 | AF |? 2c sin ? ② ③

| BF |? 2a cos ?

②③代入① 2c sin ? ? 2a cos ? ? 2a ∴

c 1 ? ? a sin ? ? cos ?

1 2 sin(? ?

?
4

)
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即e ?

1 2 sin(? ?

?
4

)

?? ? ? ? ?? , ? ?6 4?


6? 2 ? 5? ? ? ? sin(? ? ) ? 1 ?? ? ? , 4 4 12 4 2 2 ? e ? 3 ?1. 2

所以 12.C

1 1 f (0) ? 0, f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 , 得 f ( ) ? ,f (1) ? 1 , 又 2 2 x 1 1 1 f ( ) ? f ? x ?, ? f ( ) ? , 5 2 5 2 4 1 1 ? 1 f ( ) ? , 又 0 ? x1 ? x 2 ? 1 时 , f ? x1 ? ? f ? x 2 ? . 所 以 若 x ? [ , ] , f ( x) ? , 5 2 5 5 2 x 1 1 4 1 1 1 4 1 1 则在 [ n , n ] 区间上 f ( x) ? n , 又 。 f ( ) ? f ( x) , ?[ 5 , 5 ] , ?f( )? 5 2 5 5 2 2007 5 5 2007 32 13. 1 14. a ? 0 ,或 a ? 1
【 解 析 】: 由 15.1 【解析】 : 由 于 函 数 h? x ? ? x 2 ? ?b ? 1?x ? b 在 ( 0 , 1] 上 是 “ 弱 增 函 数 ”, 因 此 函 数

h? x ? ? x 2 ? ?b ? 1?x ? b 在(0,1]上是增函数”, h?? x ? ? 2 x ? ?b ? 1? ? 0 在 ?0,1? 恒成立,只
需 h?? x ?min 成 立 即 可 ; ? x ? 0 时 , 有 最 小 值 , 所 以 0 ? ?b ? 1? ? 0 , 即 b ? 1 ; 令

g ?x ? ?

h? x ? b ? x ? ? ?b ? 1? 在 ?0,1? 为减函数,因此 x x

g ?? x ? ? 1 ?

b x2 ? b ? ? 0 在区间 ?0,1? 成立,? x 2 ? b ? 0 恒成立,因此 b ? 1 ,综上 b ? 1 . 2 2 x x

16. (1) (2) 17.(1) A ? 120 ;(2) S ?
?

3.

18. (Ⅰ) x ? 1 或 3 x ? 4 y ? 3 ? 0 ; (Ⅱ) (x ? 3) ? ( y ? 1) ? ( 9 x ? 2) ? ( y ? 4) ? 9
2 2 2 2

∴ 所求圆的方程为 (x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9或(x ? 2) ? ( y ? 4) ? 9 .
2 2 2 2
n ?1 19.(I)当 d ? 0 时, an ? 4 ;当 d ? 2 时, an ? 2n ;(II) S n ? (n ? 1)2 ? 2 .

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解析:(I)由题意, a4 ? a2 a8 ,即 (4 ? 2d ) 2 ? 4(4 ? 6d ) ,化简得 d 2?2d ? 0 ,∴ d ? 0 或2 ∵ a2 ? 4 ,∴当 d ? 0 时, an ? 4 ;当 d ? 2 时, an ? 2n . (II) ∵

2

an ?1 ? an





an ? 2n
??①





2 n ?1 an ? n ? 2 n

,



S n ? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n

① ? 2 , 得 2 S n ? 2 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 2 4 ? ? ? n ? 2 n ?1

?? ② , ① - ② , 得

? Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
1 2 3 n

n ?1

2(1 ? 2 n ) = ? n ? 2 n ?1 ,∴ S n ? (n ? 1)2 n ?1 ? 2 . 1? 2

20.(1)见解析;(2) 3 . 解析:(1)证明 ∵ PA ? 平面ABCD , BD ? 平面ABCD ,∴ PA ? BD .

同理由 PC ? 平面BDE ,可证得 PC ? BD . 又 PA

PC ? P ,∴ BD ? 平面PAC .

(2)如图,分别以射线 AB , AD , AP 为 x 轴, y 轴, z 轴的正半轴建立空间直角坐标系

A ? xyz .

由(1)知 BD ? 平面PAC ,又 AC ? 平面PAC , ∴ BD ? AC . 故矩形 ABCD 为正方形,∴ AB=BC=CD=AD=2 . ∴ A(0, 0,, 0) B(2, 0,, 0) C (2, 2,, 0) D(0, 2,, 0) P(0, 0, 1) . ∴ PB ? ? 2, 0,1? , BC ? ? 0, 2, 0 ? , BD ? ? ?2, 2, 0 ? . 设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ?

? ?n ? PB ? 0 ? ?n ? BC ? 0

,即 ?

?2 x ? 0 ? y ? z ? 0 , ?0 ? x ? 2 y ? 0 ? z ? 0

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∴?

?z ? 2x ,取 x ? 1 ,得 n ? (1, 0, 2) . y ? 0 ?

∵ BD ? 平面PAC ,∴ BD ? (?2, 2, 0) 为平面 PAC 的一个法向量. 所以 cos ? n, BD ??

n ? BD n BD

??

10 . 10

设二面角 B ? PC ? A 的平面角为 ? ,由图知 0 ? ? ?

?
2



21.解析: (1)设 F (c, 0) ,由题意 K AF ?

2 2 3 c 3 ? ,∴ c ? 3 ,又∵离心率 ? ,∴ c 3 a 2

a ? 2,
2 2 ∴ b ? a ? c ? 1 ,过椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1; . 4

(2)由题意知,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k ,方程为 y ? kx ? 2 ,

? x2 ? ? y2 ? 1 联立直线与椭圆方程: ? 4 ,化简得: (1 ? 4 k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 , ? y ? kx ? 2 ?
∵ ? ? 16(4k 2 ? 3) ? 0 ,∴ k ?
2

3 , 4 16k 12 , , x1 ? x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ∴ PQ = 1 ? k
2

x1 ? x2 = 1 ? k 2 ?


4 4k 2 ? 3 , 1+4k 2
直 线









O



l









d?

2 k 2 ?1



S ?OPQ ?
令t ?

1 4 4k 2 ? 3 2 4 4k 2 ? 3 1? k 2 ? ? ? , 2 1+4k 2 1+4k 2 k 2 ?1
4t 4 ? , t ?4 t? 4 t
2

4k 2 ? 3 (t ? 0) ,则 S ?OPQ ?

∵t ?

4 4 ? 4 ,当且仅当 t ? , t ? 2 时,等号成立,∴ S ?OPQ ? 1 , t t

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故当 t ? 2 , 即 4k 2 ? 3 ? 2 , k ? ?

7 时 ?OPQ 的面积最大, 2
.

从而直线 l 的方程为 y ? ?

7 x ? 2 .. 2

22.(Ⅰ) a =4, b =2, c =2, d =2;(Ⅱ) [1, e 2 ] 解 析 : ( Ⅰ ) 由 已 知 得

f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ? (0)? 4,g? (0)? 4 , 而

f ' ( x) ? 2 x ? a , g ' ( x) ? e x (cx ?
?b ? 2 ?d ? 2 ? ,故 a =4, b =2, c =2, d =2; d ? c) ,代入得 ? ?a ? 4 ? ?d ? c ? 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 2 g ( x) ? 2e x ( x ? 1) , 设函数 F ( x) = kg ( x) ? f ( x) = 2ke x ( x ? 1) ? x 2 ? 4 x ? 2 ( x ? ?2 ),

F ?( x) = 2ke x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 = 2( x ? 2)(ke x ? 1) , 由 题 设 知 F (0) ? 0 , 即 k ? 1 , 令

F ' (x) ? 0 ,得 x1 ? ? ln k , x2 ? ?2 ,
(1)若 1 ? k ? e ,则 ?2 ? x1 ? 0 ,∴当 x ? (?2, x1 ) 时, F ' (x) ? 0 ,当 x ? ( x1 , ??) 时,
2

记 F ( x) 在 x ? (?2, x1 ) 时单调递减,x ? ( x1 , ??) 时单调递增, 故 F ( x) 在 x ? x1 F ' (x) ? 0 ,
2 时取最小值 F ( x1 ) ,而 F ( x1 ) ? 2 x1 ? 2 ? x1 ? 4 x1 ? 2 ? ? x1 ( x1 ? 2) ? 0 ,∴当 x ? ?2 时,

F ( x) ? 0 ,即 f ( x) ≤ kg ( x) ;
' 2 x 2 ' (2)若 k ? e ,则 F ( x) ? 2e ( x ? 2)(e ? e ) ,∴当 x ? ?2 时, F ( x) ? 0 ,∴ F ( x) 在
2

(?2, ??) 单调递增,而 F (?2) ? 0 .∴当 x ? ?2 时, F ( x) ? 0 ,即 f ( x) ≤ kg ( x) ;
( 3 ) 若

k ? e 2 时 , F ' ( x ) ? 0 , 则 F ( x) 在 (?2, ??) 单 调 递 增 , 而

?2 F (?2) = ?2ke ? 2 = ?2e ?2 (k ? e 2 ) <0,

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∴当 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x) 不可能恒成立, 综上所述, k 的取值范围为[1, e ].
2

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