人教版高中数学必修一1.3.1单调性与最大(小)值ppt课件_图文

问题1 画出f(x)=x的图像,并观察其图像。 1、从左至右图象上升还是下降 ____? 上升 (-? , ??) x的增大,f(x)的值随着 ______. 2、在区间 ________ 上,随着 增大 5 -5 o f(x)=x 5 -5 问题2 画出 2 f(x) = x 的图像,并观察图像. (-∞,0] 1、在区间 ________ 上,f(x)的值随着x的增大而 ______. 减小 (0,+∞) 2、 在区间 ________ 上, f(x)的值 随着x的增大而 _____. f(x) = x 5 -5 o 5 2 增大 -5 函数单调性的概念: 1.增函数 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某 个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2), 那么就说f(x)在区间D上是增函数,如图1 . 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域 I内的某个 区间D内的任意两个自变量x1,x2 ,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2) ,那 么就说f(x)在区间D上是减函数 ,如图2. y y=f(x) y=f(x) f(x1) f(x2) x f(x1) 0 x1 y f(x2) x2 x 0 x1 图1 x2 图2 1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的 局部性质. 2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总 有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是增函数和减函数. 对于函数y= f(x) ,若在区间 I 上,当x=1时, y=1; 当 x=2时, y=3 , 能说在区间 I 上函数值 y 随自变量 x的增大而增大吗? y 3 1 0 1 2 x 函数的单调性定义 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函 数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调 区间. 用定义证明函数单调性的步骤是: (1)取值 即取 即求 x1 , x2 是该区间内的任意两个值且 x1 < x 2 (2)作差变形 ,通过因式分解、配方、有理化等方法 f(x1 ) - f(x 2) (3)定号 即根据给定的区间和 的符号 f(x1 ) - f(x 2) 的符号的确定 x2 - x1 根据单调性的定义得结论 (4)判断 例2 求证:函数 1 在区间 f(x) = - -1 x 上是单调增函数. + ?? ? 0, 且 证明:在区间(0,+∞)上任取两个值 x1 < x 2,则 x1 , x 2 x1 - x 2 1 1 f(x1 ) - f(x 2 ) = + = x1 x2 x1 x 2 x2 > 0 x1 - x2, < 0 x1,所以说 又因为 f(x1 ) - f(x2 ) < 0 1 f(x) =在区间( - - 1 0,+∞)上是单调增函数. x 即函数 思考 若把区间改为 结论变化吗 , 0? ? -,? ? 若把函数改为 a f(x) = - - 1 (a ? 0), 结论变化吗? x 探究 1 y= 画出反比例函数 的图象. x 1 这个函数的定义域是什么? {x∣x≠0} 2 它在定义域I上的单调性怎样?证明你的结论. y 分两个区间(0,+∞), 来考虑其单调性. 0 x ( - ∞ , 0) 证明:(1)在区间(0,+∞)上,设x1,x2是(0,+∞)上任意两个实数,且 x1<x2,则 f(x1)- f(x2)= 由于x1,x2 ? ? 0, +x ? 得 ?2>0,又由x1<x2得x2-x1>0 1x x 2 - x1 1 1 = x1 x 2 x1 x 2 所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2). 函数f(x)=1/x 在(0,+∞)上是减函数. (2)在区间(- ∞ ,0)上,同理可得到函数f(x)=1/x 在(- ∞ ,0)上 是减函数。综上所述,函数f(x)=1/x 在定义域上是减函数. 下列两个函数的图象: y M y 观察 M x o x0 图1 o 图2 x0 x 思 考 观察这两个函数图象,图中有个最高点,那么这个最高点的 纵坐标叫什么呢? 思 考 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M, 则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小 关系如何? f(x)< M 例如函数f ? x? = -x2 +1? x∈R ? ?(0)=1 2 1是此函数的最大值 1 1、对任意的 x ?R 都有 ?(x)≤1. O 2、存在0,使得?(0)=1. 知识要点 M是函数y= f (x)的最大值(maximum value): 一般地,设函数y= f (x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x ∈I,都有f (x) ≤M; (2)存在 ,使得 . x0 ? I f(x0 ) = M 思 考 能否仿照函数的最大值的定义,给出函数y=f(x)的最小值的 定义呢? 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果实数M满足: (1)对于任意的的x∈I,都有f(x) ≥M; (2)存在 ,使得 , 那么我们称M是函数 的最小值( minimun x0 ?y=f(x) I f(x0 ) = M value). 思 考 思 考 函数的最大值是函数值域中的一个元素吗? 是 如果在函数f(x)定义域内存在x1和 x2,使对定义域内任意x都 有 成立,由此你能得到什么结论?如果函数 f(x) f(x1 ) ? f(x) ? f(x2 ) 的最大值是b,最小值是a,那么函数f(x)的值域是[a,b]吗? 函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值. 探究:函数单调性与函数的最值的关系 (

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