山东省淄博市六中2015届高三上学期期末考试理科数学试题word版含答案


2012 级高三上学期学分认定考试(理倾数学)
注意事项: 1.答卷前,考生务必用钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答 题纸和答题卡的相应位置处。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。 3.非选择题答案必须写在答题纸相应位置处,不按要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡和答题纸一并收回。 第一卷(共 50 分) 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填涂到答题卡上。 ) 1、复数 A、-1
1?i

i

的虚部是( B、1

) C、-i ) D、i

2、下列有关命题的说法正确的是(

A.命题“若 x2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x2 ? 1 ,则 x ? 1 ” B. “ x ? ?1 ”是“ x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件 C.命题“ ?x ? R , 使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R ,均有 x2 ? x ? 1 ? 0 ” D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题

?1? 3、 已知函数 y ? ? ? ?2?
A. ? 0,1?

x?2

与 y ? x3 图像的交点坐标为( x0 , y0 ),则 x0 所在的大致区间 ( ) B. ?1, 2 ? C. ? 2,3? D. ? 3,4 ?

?x ? 0 x? y ? 4、若实数 x ,y 满足 ?y ? 0 ,则 z ? 的最大值为 x ?1 ?x ? y ? 1 ? 0 ?


1 2



A. 1 5、集合 A

B. 2

C. ? 1

D.

?, ? ? (x ,y ) | 函数y ? f(x ),x ? (0, 1)
) B、有且只有 1 个 C、可能 2 个 D、至多有 1

B ? ? (x ,y ) | x ? a,a ? R ,a是常数?,则 A ? B 中元素个数是(
A、至少有 1 个 个

6、如图所示,长方体 AC1 沿截面 AC 1 1MN 截得几何体 DMN - D 1 AC 1 1 ,它的正视图、
-1-

侧视图均为图(2)所示的直角梯形,则该几何体 的体积为( A.
14 3

) D.10 科。网]

B.

10 3

C . 14

N A

D

M

C

1

B

4

D1

C1 2

A1

B1

7、已知双曲线渐近线方程: y ? ?2x ,焦点是 F(0, ? 10 ),则双曲线标准方程是 ( A、 )

y2
8

?

x2
2

? 1

B、

x2
8

?

y2
2

? 1

C、

y2
2

?

x2
8

? 1

D、

x2
2

?

y2
8

? 1

8、设 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和,且 32a2 ? a7 ? 0 ,则 A.11 B. 5 C. ?8

S5 ?( S2

) D. ?11

? 1 ? ? 9、 ? ? x? ? 的展开式中 2 x? ?

8

x 2 的系数为(
C.

)
35 4

A.

35 16

B.

35 8

D.7

10、 f ( x) 是定义在 D 上的函数, 若存在区间 [m, n] ? D , 使函数 f ( x) 在 [ m, n] 上 的值域恰为 [ km, kn] ,则称函数 f ( x) 是 k 型函数. 给出下列说法:



f(x ) ? 3 ?

4

x 是1型函数;

-2-

1 y ? ? x2 ? x 2 ②若函数 是 3 型函数, 则 m ? ?4 , n ? 0 ;
2 ③函数 f(x ) ? x ? 3x ? 4 是2型函数;

2 3 (a 2 ? a) x ? 1 y? (a ? 0) 2 a x ④若函数 是 1 型函数, 则 n ? m 的最大值为 3 .

则以上说法正确的个数是( A.1 B.2

) D.4

C.3 第二卷(共 100 分) 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、执行如图所示的程序框图,若输出的结果 为 3,则整数 m =_______. 12、已知正数 x ,

y 满足 x ? y ? 1 ? 9 ? 10 ,
x y


则 x ? y 的最大值为

13、在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布

N 1, ? 2 ?? > 0? ,若 ? 在(0,2)内取值的概率
为 0.7,则 ? 在 ?0,1? 内取值的概率为________。
a ? 14、若函数 f(a)= ? (2 ? sin x)dx ,则 f ( ) ? ________ 0 2

?

?

15、棱长为 1 的正方体 AC 1 ,动点 P 在其表面上运动,且与点 A 的距离是

2 3 , 3

点 P 的集合形成一条曲线,这条曲线的长度是___________。 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答过程需写出必要的文字说明,只 有最后结果不得分) 16(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ? cos ? x , sin ? x ? , n ? cos ? x , 函数 f ( x) ? m ? n 的最小正周期为 ? . (I)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (II)在 ?ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别是 a , b , c ,且满足
-3-

?

3 cos ? x ?? ? 0 ? ,

?

B 3 a ? c ? 8,b ? 7,f( ) ? ,求△ ABC 的面积.
2 2
17(本小题满分 12 分) 如 图 三 棱 柱 ABC ? A1B 1C 1 中 , 底 面 ABC ? 侧 面 AA1C 1C ,?AA1C 是 正 三 角 形 ,

AB ? BC 且 AB=BC。又三棱锥 A ? A1BC 的体积是

9 3 。 8

(1) 证明: AC ? A1B ; (2)求直线 BC 和面 ABA1 所成角的正弦。

B C

B1

C1

A

A1

18 (本小题满分 12 分) 某高中进行高中生歌唱比赛,在所有参赛成绩中随机抽取 100 名学生的成绩,按成绩分组 : 第 1 组 ?75,80? , 第 2 组 ?80,85? , 第 3 组 ?85,90? , 第 4 组

?90,95? ,第 5 组 ?95,100? 得到的频率分布直方图如图所示.现在组委会决定在笔试成
绩高的第 3, 4, 5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试. (1)求 3, 4, 5 组各应该抽取多少人进入第二轮面试; (2)学校决定在(1)中抽取的这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官 D 的面试,设第 3 组中有 ? 名学生被考官 D 面试,求 ? 的分布列和数学期望.

19(本小题满分 12 分)

-4-

已知等差数列 {an } ,其前 n 项和为 S n ,若 S 5 =70,且 a2 , a7 , a22 成等比数列, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

?1? 1 3 (Ⅱ)若数列 ? an ?是递增数列,设数列 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? . 6 8 ? Sn ?

20(本小题满分 13 分) 设函数

f(x ) ? a ln x ? bx ,g(x ) ? x 2

(1)若 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是 y=3x-4,求 a,b 的值。 (2)若

f (1) ? g (1), f ?(1) ? g ?(1) ,是否存在实数 k 和 m,使得不等式

f ( x) ? kx ? m , g ( x) ? kx ? m 都在各自定义域内恒成立,若存在,求出 k 和
m 的值,若不存在,说明理由。

21(本小题满分 14 分)

? 已知点 F1(0,
抛 物线 x
2

3),F2(0, 3),曲线 ? 上任意一点 P 满足 PF1 ? PF 2 ? 4 ,

? 2py ,(p ? 0)

(1)若抛物线的焦点在曲线 ? 上,求曲线 ? 的标准方程和抛物线标准方程;
1 (2)设抛物线的焦点是 F(0, ),在抛物线上是否存在点 M,使得以点 M 为切点 2

的切线与曲线 ? 相交于 A,B 两点,且以 AB 为直径的圆过坐标原点 O?若存在, 求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由。

2012 级高三上学期学分认定考试参考答案(理倾数学)
一、选择题:

-5-

1、A;解析:

1?i

i

?

i ? i2 ? ?1 ? i ,故选 A; i2

2、D;解析:A、否命题为: “若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ;B、是充分不必要条件;
2 C、否定是: ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ;故选 D;

1 3、B;解析:令 f(x ) ? ( )x ? 2 ? x 3 ,则 f(0) ? 0,f(1) ? 0,f(2) ? 0 。故选 B 2

4、 D; 解析:z ?

x? y x ?1?y ?1 y ? (?1) Q(1, ?1) ? ? 1? , 先求两点 P(x ,y ). x ?1 x ?1 x ?1

连线的斜率最大值。
1)时,有唯一的元素; a ? (0, 1)时,为空 5、D;解析:由函数的定义,当 a ? (0,

集; 6、 A; 解析: 几何体 DMN - D1 AC V ? 1 1 是三棱台,

1 1 ?( ? 2 ? 3 2

1 14 ? 2) ? 4 ? 2 3

7、A;解析:双曲线焦点在 y 轴上,由

a ? 2,a 2 ? b 2 ? 10 解得。 b

8、D;解析:

a7 S 1 ? q5 ? ?32,? q ? ?2,? 5 ? ? ?11 a2 S2 1 ? q2
1 ) k ? ( ) k C8k x 4?k ,令 4-k=2 2 2 x 1

9、D;解析:二项展开式的通项为 Tk ?1 ? C8k ( x ) 8?k (
1 得 k=2,所以系数为( )2 C 82 ? 7 ; 2

10、C;解析:由题意知 k ? 0 .当存在直线 y ? kx 与曲线 y ? f(x )至少有两个交 点时,函数就是 k 型函数. ①: 由3 ?
4

x

? x ,得x ? ?1或4 , f(x ) 在 ? 1, 0? ? ?0, 4 上值域是 ?? ?, ?1 ? 4, ??? ,

?

?

? ?

故不是 1 型函数; ②:若函数 即 是 3 型函数,则 ;故②对; ,

-6-

③:由 x 2 ? 3x ? 4 ? 2x ,得 x 2 ? 5x ? 4 ? 0, ? ? 0 有两个解,故③对;

④:若函数 即

是 1 型函数,则 有两个不同的解 .由 得

有两个不同的解, ,所以



时取等号) ,所以

的最大

值为

;故④对。

二、填空题: 11、4;解析:由z ? log 9 P ? 3,得:P ? 93 ? 36 ; 12、8;解析:由已知得:(x ? y ?
1 ? 9 )(x ? y ) ? 10(x ? y ),变形得:

x

y

10(x ? y ) ? (x ? y )2 ? 10 ?

y 9x y 9x ? 6 ,故有: ? ,由基本不等式,得: ? x y x y

10(x ? y ) ? (x ? y )2 ? 16 ,解得: 2 ? x ? y ? 8 。
13、0.35; 解析:由正态分布对称性,得: P(0 ? ? ? 1) ?
1 P(0 ? ? ? 2) 2

14 、 ? ? 1 ; 解 析 : 由 牛 顿 莱 布 尼 兹 公 式 , 得 :

f(a ) ? (2x ? cos x ) |a 0 ? 2a ? cos a ? 1
15、

5 3 2 3 ? ;解析:? 1 ? ? 6 3 3 (

2 ,? 曲线是 6 段圆弧,总长度为

?
6

?

2 3 ? 3 5 3 ? ? )? ? 3 2 3 6

三、解答题: 16、 (1)

f(x ) ? m ? n ? cos 2 ?x ? 3 sin ?x cos ?x ?
sin( 2?x ?

1 ? cos 2?x 3 ? sin 2?x ? 2 2

?
6

)?

1 ??????????????????????2 分 2

-7-

由最小正周期是 ? , ? ? 0 ,得:

2? ? ? ,? ? ? 1, 2?

? f(x ) ? sin( 2x ?

?
6

)?

1 ????????????????????3 分 2

由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,得:k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

? ? ?? 所以递增区间是 ?k? ? ,k? ? ?,k ? Z ??????????6 分 3 6? ?
(2)由已知及(1)得: sin( B ?

?
6

)?

1 3 ? ? ,? sin( B ? ) ? 1 ,??7 分 2 2 6

又 B 是△内角,? B ?

?
3

????????????9 分

? a ? c ? 8,b ? 7,由余弦定理,得: b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? (a ? c )2 ? 3ac
即: ac ? 5,? S ?

1 5 3 ??????????12 分 ac sin B ? 2 4

17、 (1)证明:取 AC 的中点 O,? AB ? BC ,? BO ? AC ??????1 分 又 ?AA1C 是正三角形,? A1O ? AC ,????????????????2 分

A1O ? 面A1BO ,BO ? 面A1BO ,A1O ? BO ? O ? AC ? 面A1BO ??????3 分
又 A1B ? 面A1BO ,? AC ? A1B ????????????????????4 分 (2)设 AC=a,则V A ? A1BC ? V B ? AA1C ?
? 建系如图,则 A(0,

1 3 2 1 9 3 ? a ? a ? ,? a ? 3 ??6 分 3 4 2 8

3 3 3 , 0), B(0, 0, ),C(0, , 0) 2 2 2

A1(

3 3 3 3 3 , , 0), , 0, 0), A1C ? (? 2 2 2
3 3 2 2

AB ? (0, , ), AA1 ? (

3 3 3 3 3 , , 0),CB ? (0, ? , )????8 分 2 2 2 2

-8-

? ?n ? AB ? 0 3 n ? ( x , y , 1 ), 由 , ?1, 1)?? 10 ? 设面 A1AB 法向量为 ,得 : n ? ( 3 ? n ? AA ? 0 1 ?
分 设直线 BC 和面 ABA1 所成角为 ? ,则 sin ? ? cos ? CB ,n ? ?

3 7 3 ? 3 2 2

?

42 7

????????????????????????12 分 18、 (1)由频率分布直方图可得第三组的频率是 0.06 ? 5 ? 0.3 ??1 分 第四组的频率是 0.04 ? 5 ? 0.2 ????????2 分 第五组的频率是 0.02 ? 5 ? 0.1 ????????3 分 则 3,4,5 组各有 30,20,10 人。 第三组应抽取:
30 ? 6 ? 3 人;????????4 分 60 20 ? 6 ? 2 人;????????5 分 60 10 ? 6 ? 1 人;????????6 分 60

第四组应抽取:

第五组应抽取:

1, 2 ?????7 分 (2)由(1)可得 6 人中有 3 人是第三组的,所以 ? ? 0,

C 3k C 32 ? k 由超几何分布原理可得: P(? ? k ) ? ,k ? 0, 1, 2 ,分布列为 C 62
?
P 0
1 5

1
3 5

2
1 5

????????10 分 期望: E? ? 0 ?
1 3 1 ? 1 ? ? 2 ? ? 1 ??????????12 分 5 5 5

?5a1 ? 10d ? 70 19、解: (1)由题意得: ? ??????1 分 (a ? 6d )2 ? (a ? d )(a ? 21d ) ?

解得: a1 ? 6,d ? 4,或a1 ? 14,d ? 0 ?????????????3 分 所以 an ? 4n ? 2或an ? 14 ??????????????????5 分

-9-

(2)? 数列 ? an ?是递增数列,? an ? 4n ? 2 ,解得 S n ? 2n 2 ? 4n 则

1

Sn

?

1 2n(n ? 2)

?

1 1 1 ( ? )??????????????7 分 4 n n ?2

Tn ?
?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ? ? ) 4 3 2 4 n n ?2 4 2 n ?1 n ?2

3 1 1 1 ? ( ? )??????????????9 分 8 4 n ?1 n ?2



1 1 1 ( ? ) ? 0 ,可得Tn ? 3 ????????10 分 4 n ?1 n ?2 8
1

由T n ? 1 ? T n ?

S n ?1

? 0 ,得:Tn 递增,所以T n ? T1 ?

1 ????12 分 6

?f(1) ? ?1 20、解(1)由题意可得: ? ,解得:a ? 4,b ? ?1 ????3 分 (1) ? 3 ?f ?
(x ) ? (2) f ?

a ? b ,g ? (x ) ? 2x ,由题意可得: a ? b ? 2,b ? 1 , x

解得: a ? 1,b ? 1 ????????????????????5 分 函数 g(x )在(1,1)处的切线: y ? 2x ? 1 。 下证: g(x ) ? 2x ? 1 对 x ? R 恒成立。

? g(x ) ? (2x ? 1) ? (x ? 1)2 ? 0,? g(x ) ? 2x ? 1 对 x ? R 恒成立。??8 分
再证 f(x ) ? 2x ? 1对x ? 0 恒成立。
(x ) ? 令 h(x ) ? f(x ) ? (2x ? 1) ? ln x ? x ? 1,则h ?
(x ) ? 0,得: 0 ? x ? 1; h ? (x ) ? 0,得:x ? 1 由 h? ? h(x ) 在 (0, 1)上递增,在(1, ??)上递减,? h(x ) ? h(1) ? 0 恒成立

1

x

?1 ?

1?x

x

所以, f(x ) ? 2x ? 1对x ? 0 恒成立。??????????????12 分 综上所述,存在 k ? 2, m ? ?1 适合题意。?????????????13 分
- 10 -

21、解: (1)? PF1 ? PF 2 ? 4 ? F1F 2 ,? P 的轨迹是以 4 为长轴长, 2 3 为焦 距 的椭圆,标准方程是:

y2
4

? x 2 ? 1 ????????????????3 分

又抛物线焦点在 y 轴正半轴上,所以焦点 F(0, 2),? x 2 ? 8y ??????5 分 (2)由题意可得抛物线方程: x 2 ? 2y ???????????????6 分
1 1 假设存在点 M,设坐标为(a , a 2 ),由 y ? x 2 ,得:y ? ? x , 2 2

所以切线方程: y ?

1 2 1 a ? a(x ? a ),即 : y ? ax ? a 2 ????????8 分 2 2

设 A(x 1 ,y 1 ), B(x 2 ,y 2 ),

? 1 2 1 ?y ? ax ? a 由? (a 2 ? 4) x 2 ? a 3x ? a 4 ? 4 ? 0 2 ,得: 4 ?y 2 ? 4x 2 ? 4 ?
1 ? ? a 6 ? 4(a 2 ? 4)( a 4 ? 4) ? ?4(a 4 ? 4a 2 ? 16) (*) 4

由韦达定理,得: x 1 ? x 2 ?

a
2

3

a ?4

, x 1x 2

1 4 a ?4 a 4 ? 16 ? 4 2 ? a ?4 4(a 2 ? 4)

由题意可得: OA ? OB ? 0,即:x 1x 2 ? y 1y 2 ? 0
? x 1x 2 ? y 1y 2 ? x 1x 2 ? (ax 1 ? 1 2 1 a3 a )(ax 2 ? a 2 ) ? (1 ? a 2 )x 1x 2 ? (x 1 ? x 2 ) 2 2 2

+

1 4 (1 ? a 2 )(a 4 ? 16) a6 a4 5a 4 ? 16a 2 ? 16 a ? ? ? ? ? 0 4 4 4(a 2 ? 4) 2 (a 2 ? 4) 4(a 2 ? 4)

解得: a 2 ? 4 ,带入*式,得: ? ? 0
2)????????????????????14 分 综上,存在点 M (?2,

- 11 -


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