江苏省邗江中学(集团)2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题(实验班)

江苏省邗江中学 2014-2015 学年度第二学期 高二数学期中试卷(理科实验班) 一、填空题: 1.已知 i 是虚数单位,则 2i ? 1? i ▲ . ▲ . 2.空间两点 A(1, 2, ?1) , B(4,3,1) 之间的距离是 3.用反证法证明命题“如果 a>b,那么 3 a > 3 b ”时,假设的内容应为___▲____. 4 1 2 3 5 4.已知 i ? i , i ? ?1 , i ? ? i , i ? 1 , i ? i ,由此可猜想 i 2015 ? _____▲___. 5.在 (1 ? x)6 (1 ? y) 4 的展开式中,记 x m y n 项的系数为 f( m , n ),则 f(3, 0)+f(2,1)+f(0, 3) = ▲ . -1 6.已知矩阵 A =? ? ? 1 2 ? -1 ?1 0 ? -1 ? ? ,B = ? ,则 (AB) = ▲ . ? ? ? ?1 1 ? ?0 1? c (k=0,1,2,3),则 P (? ? 2) ? k ?1 7.随机变量ξ 的概率分布列为 P(? ? k ) ? 8.设 f(n)=1+ ▲ . 1 1 1 1 * ? ? ??? (n∈N ),则 f(k+1)-f(k)=___▲_____. 2 3 4 3n ? 1 y 9.已知复数 z ? x ? yi ( x, y ? R ),| z ? 2 |? 3, 则 的最大值为____▲____. x 10.已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 A1B1 的中点,则直线 AE 与平面 ABC1D1 所成 角的正弦值为 ▲ . 11.任意确定四个日期,其中至少有两个是星期天的概率为___▲__.(请用数字作答!) 12.设 O 是坐标原点,AB 是圆锥曲线的一条不经过点 O 且不垂直于坐标轴的弦,M 是弦 AB 的中点, k AB,kOM 分别表示直线 AB,OM 的斜率。在圆 x 2 ? y 2 ? r 2 中, k AB .kOM ? -1 ,在椭圆 x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中,类比上述结论可得 a 2 b2 ▲ . 13.在某班进行的演讲比赛中,共有 5 位选手参加,其中 3 位女生, 2 位男生.如果女生甲不能排在 第一个, 且 2 位男生不能连着出场,那么出场顺序的排法种数为 ▲ . (请用数字作答!) 14.若 ( x ? 2 ? m)9 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1)2 ? ??? ? a9 ( x ? 1)9 且 (a0 ? a2 ? ??? ? a8 )2 ? (a1 ? a3 ? ??? ? a9 )2 ? 39 ,则实数 m 的值是__▲___. 二、解答题: 15.已知 z 是复数,若 z ? 2i 为实数( i 为虚数单位),且 z ? 4 为纯虚数. (1)求复数 z ; (2)若复数 ?z ? mi? 在复平面上对应的点在第四象限,求实数 m 的取值范围 2 16.二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与(0,-2). (Ⅰ)求矩阵 M; (Ⅱ)设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m:2x-y=4,求 l 的方程 17.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 CA ? CB ? 1 , AA1 ? 2 , ?BCA ? 90o . 请建立合适的空间直角坐标系,解决以下问题: (1)求异面直线 BA1 与 CB1 夹角的余弦值; (2)求二面角 B ? AB1 ? C 平面角的余弦值. 18.已知 an?1 ? an 2 ? nan ? 1, a1 ? 3 . (1)求 a2 , a3 , a4 , a5 的值; (2)判断 an 与 n ? 2 的关系,并用数学归纳法证明。 19. 某四星高中推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试,在本次考核中只有合格和 优秀两个等级.若考核为合格,授予 10 分降分资格;考核为优秀, 授予 20 分降分资格.假设甲、 乙、丙考核为优秀的概率分别为 A C (第 17 题图) C1 A1 B1 B 2 2 1 、 、 ,他们考核所得的等级相互独立. 3 3 2 (1)求在这次考核中,甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率; (2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ ,求随机变量ξ 的分布列. 0 1 2 2 ? Dn x ? Dn x ? 20. 在 (1 ? x ? x2 )n ? Dn r r ? Dn x ? 2 n ?1 2 n ?1 2 n 2n ? Dn x ? Dn x 的展开式中,把 [ 0 1 2 2n Dn , Dn , Dn ,, Dn 叫做三项式系数. 0 1 2 3 4 , D2 , D2 , D2 , D2 (1)当 n=2 时,写出三项式系数 D2 的值; m?1 m ? N , n ? N ) ,给出一个关于三项式系数 ? Cm (2)类比二项式系数性质 Cm n ?1 ? Cn n (1 ≤ m ≤ n , m?1 Dn ?1 (1≤ m ≤ 2n ? 1, m ? N , n ? N ) 的相似性质,并予以证明; 0 0 1 1 2 2 3 3 (3)求 D2014 C2014 ? D2014 C2014 ?D 2014 C 2014 ? D 2014 C 2014 ? 2014 2014 ?D 2014 C 2014 的值. 高二数学期中试卷(理科实验班) 参考答案及评分标准 1. 1 ? i 2. 14 3. 3 a=3b或3 a<3b 4. ? i 5. 84 6. ? ? ?1 2 ? ? ? ?1 3 ? 7. 4 25 8. 1 1 1 ? ? . 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 9.

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