陕西省西安市高新一中2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)

陕西省西安市高新一中 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月 份)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)i 是虚数单位,复数 A.2﹣i B.2+i =() C.﹣1﹣2i D.﹣1+2i

2. (5 分)已知集合 M={x|log2(x﹣1)<2},N={x|a<x<6},且 M∩N=(2,b) ,则 a+b=() A.4 B. 5 C. 6 D.7 3. (5 分)下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是() A.a>b+1 B.a>b﹣1 C.a >b
2 2

D.a >b

3

3

4. (5 分)有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直 线 b?平面 α,直线 a?平面 α,直线 b∥平面 α,则直线 b∥直线 a”的结论显然是错误的,这 是因为() A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 5. (5 分)已知圆(x﹣a) +(y﹣b) =r 的圆心为抛物线 y =4x 的焦点,且与直线 3x+4y+2=0 相切,则该圆的方程为() A. C. (x﹣1) +y =1
2 2 2 2 2 2

B. D.x +(y﹣1) =1
2 2

6. (5 分)已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, () A.1+

,2a2 成等差数列,则

=

B.1﹣

C.3+2

D.3﹣2

7. (5 分)将 y=2cos( +

)图象按向量 =(﹣

,﹣2)平移,则平移后所得函数的周期

及图象的一个对称中心分别为() A.3π, D.3π, B. 6π , C. 6π,

8. (5 分)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该 球的表面积为()

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)已知 D 是△ ABC 所在平面内一点, A. = B. = C.

= =

+

,则() D. =

10. (5 分)已知 a>1,若函数 的根的个数最多有() A.1 个 B. 2 个

,则 f[f(x)]﹣a=0

C. 3 个

D.4 个

二、填空题: (每小题 5 分,共 25 分)(一)必做题 11. (5 分)某课题组进行城市空气质量监测,按地域将 24 个城市分成甲、乙、丙三组,对应 区域城市数分别为 4、12、8.若用分层抽样抽取 6 个城市,则乙组中应该抽取的城市数为. 12. (5 分)如果执行如图所示的框图,那么输出的 S 等于.

13. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件:

,则目标函数 z=x +y 的最小值为.

2

2

14. (5 分)若对于函数 f(x)=

+b,现给出四个命题:

①b=0 时,f(x)为奇函数; ②y=f(x)的图象关于(0,b)对称; ③b=﹣1 时,方程 f(x)=0 有且只有一个实数根; ④b=﹣1 时,不等式 f(x)>0 的解集为空集. 其中正确的命题是. (写出所有正确命题的编号)

(二)选做题: (请考生在下列 A,B,C 题中任选一题作答,若三题都做,则按所做的第一题计 分) 【不等式选讲】 15. (5 分)已知函数 a 的取值范围. f(x)的定义域为 R,则实数

【极坐标与参数方程选讲】 16. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,圆以 C 的参数方程是 (θ 为参数) ,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则圆心 C 的极坐标是.

【几何证明选讲】 17.如图,过点 P 作⊙O 的割线 PAB 与切线 PE,E 为切点,连接 AE、BE,∠APE 的平分线 分别与 AE、BE 相交于点 C、D,若∠AEB=30°,则∠PCE=.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 18. (12 分)已知函数 f(x)= x + x,数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn) (n∈N )均在 函数 f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 cn= + 证明:2n<c1+c2+…+cn<2n+ .
2 *

19. (12 分)甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了 A、B、C、D 四所需要面试的院校,这 四所院校的面试安排在同一时间.因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿,假设 每位同学选择各个院校是等可能的,试求: (Ⅰ)甲、乙选择同一所院校的概率; (Ⅱ)院校 A、B 至少有一所被选择的概率. 20. (12 分)港口 A 北偏东 30°方向的 C 处有一检查站,港口正东方向的 B 处有一轮船,距离 检查站为 31 海里,该轮船从 B 处沿正西方向航行 20 海里后到达 D 处观测站,已知观测站与 检查站距离 21 海里,问此时轮船离港口 A 还有多远?

21. (12 分)在边长为 5 的菱形 ABCD 中,AC=8,现沿对角线 BD 把△ ABD 折起,折起后使 ∠ADC 的余弦值为 .

(1)求证:平面 ABD⊥平面 CBD; (2)若 M 是 AB 的中点,求三棱锥 A﹣MCD 的体积.

22. (13 分)已知函数 f(x)=ax﹣lnx﹣1(a∈R) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ)若函数 f(x)在 x=1 处取得极值,对任意的 x∈(0,+∞) ,f(x)≥bx﹣2 恒成立,求 实数 b 的取值范围.

23. (14 分)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆 E 的方程为

+

=1(a>b>0)它的

离心率为 ,一个焦点是(﹣1,0) ,过直线 x=4 上一点引椭圆 E 的两条切线,切点分别是 A、 B. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若在椭圆 E + =1(a>b>0)上的点(x0,y0)处的切线方程是 + =1.求

证:直线 AB 恒过定点 C,并求出定点 C 的坐标;

(Ⅲ)求证:|AC|+|BC|= |AC|?|BC|(点 C 为直线 AB 恒过的定点) .

陕西省西安市高新一中 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)i 是虚数单位,复数 A.2﹣i B.2+i =() C.﹣1﹣2i D.﹣1+2i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,复数化简为 a+bi(a,b∈R)的形式,即可. 解答: 解:复数 =

故选 A 点评: 本题是基础题,考查复数代数形式的乘除运算,注意分母实数化,考查计算能力, 常考题型. 2. (5 分)已知集合 M={x|log2(x﹣1)<2},N={x|a<x<6},且 M∩N=(2,b) ,则 a+b=() A.4 B. 5 C. 6 D.7 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 M 中不等式的解集确定出 M,根据 M 与 N 交集求出 a 与 b 的值,即可求出 a+b 的值. 解答: 解:由 M 中的不等式变形得:log2(x﹣1)<2=log24,即 0<x﹣1<4, 解得:1<x<5,即 M=(1,5) , ∵N=(a,6) ,且 M∩N=(2,b) , ∴a=2,b=5, 则 a+b=7. 故选:D. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3. (5 分)下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是() 2 2 3 3 A.a>b+1 B.a>b﹣1 C.a >b D.a >b

考点: 充要条件. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用不等式的性质得到 a>b+1?a>b; 反之, 通过举反例判断出 a>b 推不出 a>b+1; 利用条件的定义判断出选项. 解答: 解:a>b+1?a>b; 反之,例如 a=2,b=1 满足 a>b,但 a=b+1 即 a>b 推不出 a>b+1, 故 a>b+1 是 a>b 成立的充分而不必要的条件. 故选:A. 点评: 本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法. 4. (5 分)有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直 线 b?平面 α,直线 a?平面 α,直线 b∥平面 α,则直线 b∥直线 a”的结论显然是错误的,这 是因为() A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 考点: 演绎推理的基本方法;空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 阅读型. 分析: 本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及空间中线面关系,在使用三段论推理证 明中,如果命题是错误的,则可能是“大前提”错误,也可能是“小前提”错误,也可能是逻辑错 误,我们分析:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b?平面 α,直线 a? 平面 α,直线 b∥平面 α,则直线 b∥直线 a”的推理过程,不难得到结论. 解答: 解:直线平行于平面,则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直. 故大前提错误. 故选 A 点评: 演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理.三段论推理的 依据用集合论的观点来讲就是:若集合 M 的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的子集,那么 S 中所有元素都具有性质 P.三段论的公式中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了 一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示 了一般原理和特殊情况的内在联系, 从而产生了第三个判断结论. 演绎推理是一种必然性推理, 演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那 么结论必定是真实的,但错误的前提可能导致错误的结论. 5. (5 分)已知圆(x﹣a) +(y﹣b) =r 的圆心为抛物线 y =4x 的焦点,且与直线 3x+4y+2=0 相切,则该圆的方程为() A. C. (x﹣1) +y =1
2 2 2 2 2 2

B. D.x +(y﹣1) =1
2 2

考点: 圆与圆锥曲线的综合;直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 2 分析: 抛物线 y =4x 的焦点坐标为(1,0) ,即为圆心坐标,利用圆与直线 3x+4y+2=0 相切, 可求半径,即可得到圆的方程. 2 解答: 解:由题意,抛物线 y =4x 的焦点坐标为(1,0) ,即为圆心坐标

∵圆与直线 3x+4y+2=0 相切,∴ ∴圆的方程为(x﹣1) +y =1 故选:C. 点评: 本题考查圆与抛物线的综合,考查直线与圆相切,解题的关键是确定圆的圆心与半 径.
2 2

6. (5 分)已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, () A.1+

,2a2 成等差数列,则

=

B.1﹣

C.3+2

D.3﹣2

考点: 等差数列的性质;等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据等差中项的性质可知得 2× ( ) =a1+2a2, 进而利用通项公式表示出 q =1+2q,
2

求得 q,代入

中即可求得答案.

解答: 解:依题意可得 2×( 即,a3=a1+2a2,整理得 q =1+2q, 求得 q=1± , ∵各项都是正数 ∴q>0,q=1+ ∴ = =3+2
2

)=a1+2a2,

故选 C 点评: 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质.考查了学生综合分析的能力和对基础 知识的理解.

7. (5 分)将 y=2cos( +

)图象按向量 =(﹣

,﹣2)平移,则平移后所得函数的周期

及图象的一个对称中心分别为() A.3π, D.3π, B. 6π , C. 6π,

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: 直接利用函数图象的平移否则,即可求出平移后的函数解析式.利用周期公式可求 函数的周期,利用 + =k (k∈Z)可解得图象的一个对称中心. ) 图象按向量 = (﹣ , ﹣2) 平移, 得到函数 y=2cos[ (x+ )

解答: 解: 将 y=2cos ( + + ]﹣2 的图象,

即函数 y=2cos( + 所以函数的周期 T=

)﹣2 的图象. =6π,

由: +

=k

(k∈Z)可解得图象的一个对称中心为: (3kπ ,﹣2)k∈Z,

,﹣2)k∈Z,

当 k=0 时,有图象的一个对称中心为: (

故选:C. 点评: 本题主要考查了向量的平移,函数解析式的求法,注意向量的平移和函数图象的平 移的区别,属于基本知识的考查. 8. (5 分)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该 球的表面积为()

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 根据由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图,我们可得该三棱柱的底面棱长为 2, 高为 1, 进而求出底面外接圆半径 r, 球心到底面的球心距 d, 球半径 R, 代入球的表面积公式. 即 可求出球的表面积. 解答: 解:由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图 我们可得该三棱柱的底面棱长为 2,高为 1 则底面外接圆半径 r= 则球半径 R =
2

,球心到底面的球心距 d=

=
2

则该球的表面积 S=4πR = 故选 B

点评: 本题考查的知识点是由三视图求表面积,其中根据截面圆半径、球心距、球半径满 足勾股定理计算球的半径,是解答本题的关键. 9. (5 分)已知 D 是△ ABC 所在平面内一点, A. = B. = C.

= =

+

,则() D. =

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量减法的平行四边形法则,可得 解答: 解:∵ ∴ = ﹣ = = + + ﹣ , = ( ﹣ )= , = ﹣ = ( ﹣ )= .

故选:B 点评: 本题考查的知识点是平面向量减法的平行四边形法则,难度不大,属于基础题.

10. (5 分)已知 a>1,若函数 的根的个数最多有() A.1 个 B. 2 个

,则 f[f(x)]﹣a=0

C. 3 个

D.4 个

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 设 t=f(x) ,则方程转化为 f(t)﹣a=0,即 f(t)=a,然后根据函数的图象确定 x 解 的个数. 解答: 解:设 t=f(x) ,则方程转化为 f(t)﹣a=0,即 f(t)=a, 当 1<x≤3 时,﹣1<x﹣2≤1, ∴此时 f(x)=f(x﹣2)+a﹣1=a 当﹣1<x≤1 时, 当 1<x≤3 时, ∵a>1,∴2a﹣1>a. 由图象可知,∵f(t)=a>1,∴当
x﹣2

+a﹣1.

, , . . 时,t 最多有两个解.

其中 t<1,或 1<t<3. 当 t<1 时,函数 t=f(x) ,只有一解 x∈(﹣1,1) , 当 1<t<3.函数 t=f(x) ,最多有 2 个解. 故 f[f(x)]﹣a=0 的根的个数最多有 3 个.

故选 C.

点评: 本题只有考查指数函数的图象和性质,利用换元法将方程转化为 f(t)=a,然后利用 图象确定方程根的个数,综合性较强,难度较大. 二、填空题: (每小题 5 分,共 25 分)(一)必做题 11. (5 分)某课题组进行城市空气质量监测,按地域将 24 个城市分成甲、乙、丙三组,对应 区域城市数分别为 4、12、8.若用分层抽样抽取 6 个城市,则乙组中应该抽取的城市数为 3. 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据分层抽样的定义建立比例关系即可. 解答: 解:若用分层抽样抽取 6 个城市,则乙组中应该抽取的城市数为 故答案为:3 点评: 本题主要考查分层抽样的应用,比较基础. 12. (5 分)如果执行如图所示的框图,那么输出的 S 等于 2. ,

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解答: 解:当 i=0 时,满足进行循环的条件,执行循环体后,i=1,S=﹣ , 当 i=1 时,满足进行循环的条件,执行循环体后,i=2,S=2,

当 i=2 时,满足进行循环的条件,执行循环体后,i=3,S=﹣ , 当 i=3 时,满足进行循环的条件,执行循环体后,i=4,S=2, 当 i=4 时,不满足进行循环的条件, 故输出的 S 值为 2, 故答案为:2. 点评: 本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环 的方法解答.

13. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件:

,则目标函数 z=x +y 的最小值为 .

2

2

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义进行求解即可. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图; 则 z 的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方, 由图象知,O 到直线 x+y=3 的距离最小, 此时距离 d=
2 2

=


2

即 z=x +y 的最小值为 d = , 故答案为: .

点评: 本题主要考查线性规划以及点到直线的距离的应用,利用数形结合是解决本题的关 键.

14. (5 分)若对于函数 f(x)= ①b=0 时,f(x)为奇函数; ②y=f(x)的图象关于(0,b)对称;

+b,现给出四个命题:

③b=﹣1 时,方程 f(x)=0 有且只有一个实数根; ④b=﹣1 时,不等式 f(x)>0 的解集为空集. 其中正确的命题是①②④. (写出所有正确命题的编号) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分析函数(x)= 的奇偶性,可判断①;结合函数图象的平移变换法则和①

中结论,可判断②;根据方程 sin|x|=x 有且只有一个实根 0,但 0 为方程 f(x)=0 的增根, 可判断③;分类讨论 >1 解集的情况,可判断④ ,f(﹣x)= = =﹣ ,满足

解答: 解:①b=0 时,f(x)=

f(﹣x)=﹣f(x)为奇函数,即①正确; ②y=f(x)的图象,由 y= 的图象向上平移 b 个单位得到,由①知 y= 的图象

关于原点对称,故 y=f(x)的图象关于(0,b)对称,即②正确; ③方程 sin|x|=x 有且只有一个实根 0,但 x=0 时, (x)=0 无实数根,即③错误; ④当 x>0 时,sin|x|>x 的解集为空集,即 为空集. 当 x<0 时,sin|x|<x 的解集为空集,即 >1,的解集为空集,即 f(x)>0 的解集为 >1,的解集为空集,即 f(x)>0 的解集 =1,无意义,即 b=﹣1 时,方程 f

空集. 综上,b=﹣1 时,不等式 f(x)>0 的解集为空集.故④正确 故正确的命题是:①②④; 故答案为:①②④ 点评: 本题以命题的真假判断为载体,考查了 y= y= 的图象和性质是解答的关键. 的图象和性质,熟练掌握和理解

(二)选做题: (请考生在下列 A,B,C 题中任选一题作答,若三题都做,则按所做的第一题计 分) 【不等式选讲】 15. (5 分)已知函数 a 的取值范围(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞) . 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 题目中条件:“f(x)的定义域为 R”转化为|x+1|+|x﹣a|﹣2≥0 在 R 上恒成立,下面只 要求出函数|x+1|+|x﹣a|的最小值,使最小值大于等于 2,解之即可. f(x)的定义域为 R,则实数

解答: 解:∵

f(x)的定义域为 R,

∴|x+1|+|x﹣a|﹣2≥0 在 R 上恒成立 而|x+1|+|x﹣a|≥|1+a| ∴|1+a|≥2 解得 a∈(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞) 故答案为: (﹣∞,﹣3]∪[1,+∞) 点评: 本题考查函数的定义域及其求法,不等式的恒成立问题,属于中档题,求不等式恒 成立的参数的取值范围,是经久不衰的话题,也是 2015 届高考的热点,它可以综合地考查中 学数学思想与方法,体现知识的交汇. 【极坐标与参数方程选讲】 16. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,圆以 C 的参数方程是 (θ 为参数) ,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则圆心 C 的极坐标是 .

考点: 圆的参数方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 直线与圆. 分析: 利用直角坐标化为极坐标的公式即可得出. 解答: 解:由圆 C 的参数方程是 ,∴圆心 C ∴ =2, (θ 为参数) ,消去参数 θ,化为 . ,又点 C 在第一象限,∴ . .

∴以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则圆心 C 的极坐标是 故答案为 .

点评: 熟练掌握直角坐标化为极坐标的公式是解题的关键. 【几何证明选讲】 17.如图,过点 P 作⊙O 的割线 PAB 与切线 PE,E 为切点,连接 AE、BE,∠APE 的平分线 分别与 AE、BE 相交于点 C、D,若∠AEB=30°,则∠PCE=75°.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题. 分析: 利用弦切角,以及三角形的外角与内角的关系,结合图形即可解决. 解答: 解:如图,PE 是圆的切线, ∴∠PEB=∠PAC, ∵PC 是∠APE 的平分线, ∴∠EPC=∠APC, 根据三角形的外角与内角关系有: ∠EDC=∠PEB+∠EPC;∠ECD=∠PAC+∠APC, ∴∠EDC=∠ECD, ∴△EDC 为等腰三角形,又∠AEB=30°, ∴∠EDC=∠ECD=75°, 即∠PCE=75°, 故答案为:75°.

点评: 本题考查弦切角的性质和应用,解题时要认真审题,注意三角形的外角与内角的关 系和数形结合法的合理运用. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 18. (12 分)已知函数 f(x)= x + x,数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn) (n∈N )均在 函数 f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 cn= + 证明:2n<c1+c2+…+cn<2n+ .
2 *

考点: 数列与函数的综合;等差数列的通项公式. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1) 点 (n, Sn) 均在函数 y=f (x) 的图象上, 则 sn= n + n, 可得 an=Sn﹣Sn﹣1=n+1, 并验证 a1 即可; (2)证明:由 cn= + >2,得 c1+c2+…+cn>2n;由 cn= ﹣ )=2n+ ﹣ + =2+ ﹣ ,得
2

c1+c2+…+cn=2n+( ﹣ + ﹣ +…+

<2n+ ;即证.

解答: 解: (1)∵点(n,Sn)均在函数 y=f(x)的图象上,




*

当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n+1,a1 也适合,所以 an=n+1(n∈N ) . (2)证明:∵ ,∴c1+c2+…+cn>2n; =2+ ﹣ , ∴c1+c2+…+cn=2n+ ( ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ) =2n+ ﹣

又 cn= <2n+ ;

+

∴2n<c1+c2+…+cn<2n+ . 点评: 本题考查了数列与函数的综合应用问题,解题时运用了数列的前 n 项和求通项公式, 应用基本不等式,拆项法等证明不等式成立,属于中档题. 19. (12 分)甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了 A、B、C、D 四所需要面试的院校,这 四所院校的面试安排在同一时间.因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿,假设 每位同学选择各个院校是等可能的,试求: (Ⅰ)甲、乙选择同一所院校的概率; (Ⅱ)院校 A、B 至少有一所被选择的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)利用枚举法列出甲、乙都只能在这四所院校中选择一个做志愿的所有可能结 果,找出甲、乙选择同一所院校的事件个数,利用古典概型概率计算公式求解; (Ⅱ)在(Ⅰ)的基础上,找出院校 A、B 至少有一所被选择的事件个数,利用古典概型概率 计算公式求解. 解答: 解:由题意可得,甲、乙都只能在这四所院校中选择一个做志愿的所有可能结果为: (甲 A,乙 A) , (甲 A,乙 B) , (甲 A,乙 C) , (甲 A,乙 D) , (甲 B,乙 A) , (甲 B,乙 B) , (甲 B,乙 C) , (甲 B,乙 D) , (甲 C,乙 A) , (甲 C,乙 B) , (甲 C,乙 C) , (甲 C,乙 D) , (甲 D,乙 A) , (甲 D,乙 B) , (甲 D,乙 C) , (甲 D,乙 D) . 共 16 种. (Ⅰ)设“甲、乙选择同一所院校”为事件 E,则事件 E 包含 4 个基本事件, 故概率 P(E)= ;

(Ⅱ)设“院校 A、B 至少有一所被选择”为事件 F,则事件 F 包含 12 个基本事件, 故概率 P(F)= .

点评: 本题考查了古典概型及其概率计算公式,解答此题的关键是枚举基本事件总数时做 到不重不漏,是基础题.

20. (12 分)港口 A 北偏东 30°方向的 C 处有一检查站,港口正东方向的 B 处有一轮船,距离 检查站为 31 海里,该轮船从 B 处沿正西方向航行 20 海里后到达 D 处观测站,已知观测站与 检查站距离 21 海里,问此时轮船离港口 A 还有多远?

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题. 分析: 在△ BDC 中,先由余弦定理可得,可求 cos∠CDB,进而可求 sin∠CDB,由三角形 的内角和定理可得 ,可求 AD ,再在△ ACD 中,由正弦定理知,

解答: 解:在△ BDC 中,由余弦定理可得, ∴ ∴ 在△ ACD 中,由正弦定理知, =

=

∴AD=

船距港口还有 15 海里. 点评: 本题主要考查了正弦定理、余弦定理、两角差的正弦公式及三角形的内角和定理在 实际中的应用,解决实际的问题的关键是要把题目中所提供的数据转化成数学图形中的长度 (角度) ,然后根据相应的公式来解决问题. 21. (12 分)在边长为 5 的菱形 ABCD 中,AC=8,现沿对角线 BD 把△ ABD 折起,折起后使 ∠ADC 的余弦值为 .

(1)求证:平面 ABD⊥平面 CBD; (2)若 M 是 AB 的中点,求三棱锥 A﹣MCD 的体积.

考点: 平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由已知条件推导出 AO⊥平面 BCD,由此能证明平面 ABD⊥平面 CBD. (Ⅱ)分别以 OA,OC,OD 所在直线为坐标轴建系,利用向量法能求出三棱锥 A﹣MCD 的 体积. 解答: (Ⅰ)证明:菱形 ABCD 中,记 AC,BD 交点为 O,AD=5,∴OA=4,OD=3, 翻折后变成三棱椎 A﹣BCD,在△ ACD 中, 2 2 2 AC =AD +CD ﹣2AD?CD?cos∠ADC =25+25﹣2×
2


2 2

在△ AOC 中,OA +OC =32=AC , ∴∠AOC=90°,即 AO⊥OC,又 AO⊥BD,OC∩BD=O, ∴AO⊥平面 BCD, 又 AO?平面 ABD,∴平面 ABD⊥平面 CBD. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 OA,OC,OD 两两互相垂直,分别以 OA,OC,OD 所在直线为坐标 轴建系, 则 A (0,0,4) ,B(0,﹣3,0) ,C(4,0,0) ,D(0,3,0) ,M(0,﹣ ,2) , =(4, ,﹣2) , =(4,0,﹣4) , =(4,﹣3,0) ,

设平面 ACD 的一个法向量 =(x,y,z) , 则由 ,得 ,

令 y=4,得 =(3,4,3) , ∵ =( ) ,∴A 到平面 ACD 的距离 d= = = .

∵在边长为 5 的菱形 ABCD 中,AC=8, ∴S△ ACD= ∴三棱锥 A﹣MCD 的体积 V= =12, = = .

点评: 本题考查平面与平面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,解题时要认真审题, 注意向量法的合理运用. 22. (13 分)已知函数 f(x)=ax﹣lnx﹣1(a∈R) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ)若函数 f(x)在 x=1 处取得极值,对任意的 x∈(0,+∞) ,f(x)≥bx﹣2 恒成立,求 实数 b 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出原函数的导函数,然后对 a 分类讨论导函数的符号,在 a>0 时由导函数 在不同区间内的符号得到原函数的单调性,从而求得函数的极值点; (Ⅱ)由函数 f(x)在 x=1 处取得极值求得 a,代入函数解析式,进一步代入 f(x)≥bx﹣2, 分离参数 b 后构造函数 g(x)=1+ ,利用导数求其最小值后得答案. ,

解答: 解: (Ⅰ)由 f(x)=ax﹣lnx﹣1,得 f′(x)=a﹣

当 a≤0 时,f′(x)<0 在(0,+∞)恒成立,∴函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减, ∴f(x)在(0,+∞)上没有极值点; 当 a>0 时,由 f′(x)<0,得 0 ∴f(x)在(0, )上单调递减,在( ,由 f′(x)>0,得 x .

)上单调递增,即 f(x)在 x= 处有极小值.

∴当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上没有极值点. 当 a>0 时,f(x)在(0,+∞)上有一个极值点; (Ⅱ)∵函数 f(x)在 x=1 处取得极值,∴a=1, ∴f(x)≥bx﹣2 等价于 ,

令 g(x)=1+

,得 g′(x)=
2



由 g′(x)=0,可得 x=e , 2 2 当 x∈(0,e )时,g′(x)<0,当 x∈(e ,+∞)时,g′(x)>0,

∴g(x)在(0,e )上递减,在(e ,+∞)上递增, ∴ ∴ . ,

2

2

点评: 本题考查利用导数求函数的极值,考查了函数恒成立问题,训练了函数构造法和分 离参数法,是中高档题.

23. (14 分)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆 E 的方程为

+

=1(a>b>0)它的

离心率为 ,一个焦点是(﹣1,0) ,过直线 x=4 上一点引椭圆 E 的两条切线,切点分别是 A、 B. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若在椭圆 E + =1(a>b>0)上的点(x0,y0)处的切线方程是 + =1.求

证:直线 AB 恒过定点 C,并求出定点 C 的坐标; (Ⅲ)求证:|AC|+|BC|= |AC|?|BC|(点 C 为直线 AB 恒过的定点) .

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)椭圆 E 的方程为 + =1(a>b>0)它的离心率为 ,一个焦点是(﹣1,0) ,

计算 a,b,即得结论; (Ⅱ)通过分别将点 M 的坐标(4,t)代入切线方程,利用两点确定唯一的一条直线,即得 结论; (III)通过将直线 AB 的方程代入椭圆方程,利用韦达定理计算 + 即可.

解答: (I)解:椭圆方程

+

=1(a>b>0)的焦点是(﹣1,0) ,故 c=1,

又 = ,所以 a=2,b=



所以所求的椭圆方程为

.…(4 分)

(II)证明:设切点坐标为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 l 上一点 M 的坐标(4,t) , 则切线方程分别为 , ,

又两切线均过点 M,可得点 A,B 的坐标都适合方程 x+ 显然直线 x+

=1,故直线 AB 的方程是 x+

=1,

=1 恒过点(1,0) ,故直线 AB 恒过定点 C(1,0) .…(9 分) =1,代入椭圆方程,整理得( , +4)y ﹣2ty﹣9=0,
2

(III)证明:将直线 AB 的方程 x+ 所以韦达定理可得:y1+y2= 不妨设 y1>0,y2<0, |AC|= =

,y1y2=﹣

y1,

同理|BC|=﹣

y2,…(12 分)

所以

+

=





)=

= ,

即:|AC|+|BC|= |AC|?|BC|,…(14 分) 点评: 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累, 属于难题.


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