2013年高考(新课标I卷)理科数学试卷(word版含答案)_图文

2013 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考
证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡
皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
? (1)已知集合 A ? ?x x2 ? 2x ? 0?, B ? ?x ? 5 ? x ? 5 ,则

(A) A? B ? ?

(B) A? B ? R

(C) B ? A

(D) A ? B

(2)若复数 z 满足 ?3? 4i?z ? 4 ? 3i ,则 z 的虚部为

(A) ? 4

(B) ? 4 5

(C)4

(D) 4 5

(3)为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了

解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在

下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是

(A)简单的随机抽样

(B)按性别分层抽样

(C)按学段分层抽样

(D)系统抽样

(4)已知双曲线 C



x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0,b ? 0) 的离心率为

5 ,则 C 的渐近线方程为 2

(A) y ? ? 1 x 4

(B) y ? ? 1 x 3

(C) y ? ? 1 x 2

(D) y ? ?x

-1-

(5)执行右面的程序框图,如果输入的 t ???1,3?,则输出的 s 属于 (A)?? 3,4? (B)?? 5,2? (C)?? 4,3? (D)?? 2,5?

(6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放

在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如不计

容器的厚度,则球的体积为

(A) 500π cm3 3
(C) 1372π cm3 3

(B) 866π cm3 3
(D) 2048π cm3 3

(7)设等差数列?an ?的前 n 项和为 Sn ,若 Sm?1 ? ?2 , Sm ? 0 , Sm?1 ? 3 ,则 m ?

(A)3

(B)4

(C)5

(D)6

(8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
(A)16 ? 8π (B) 8 ? 8π (C)16 ?16π (D) 8 ?16π

(9)设 m 为正整数, ?x ? ?y 2m 展开式的二项式系数的最大值为 a , ?x ? ?y 2m?1 展开式的二项式系数的最

大值为 b ,若13a ? 7b ,则 m =

(A)5

(B)6

(C)7

(D)8

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(10)已知椭圆

E



x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的右焦点为 F (3,0) ,过点 F

的直线交椭圆 E 于

A 、 B 两点。

若 AB 的中点坐标为 (1,?1) ,则 E 的方程为

(A) x2 ? y2 ? 1 45 36

(B) x2 ? y2 ? 1 36 27

(C) x2 ? y2 ? 1 27 18

(D) x2 ? y 2 ? 1 18 9

(11)已知函数

f

(

x)

?

?? ??ln

x2 (x

? 2x,? 0 ?1), x>0

,若

f (x)

? ax ,则 a 的取值范围是

(A) ?? ?,0?

(B) ?? ?,1? (C) ?? 2,1?

(D)?? 2,0?

(12)设 △ An BnCn 的三边长分别为 an , bn , cn , △ An BnCn 的面积为 Sn , n ? 1,2,3 ……

若 b1 > c1 , b1

? c1

?

2a1 , an?1

?

an , bn?1

?

cn

? an 2

, cn?1

?

bn

? an 2

,则

(A) ?S n ? 为递减数列

(B) ?S n ? 为递增数列

(C) ?S2 ? n?1 为递增数列, ?S2n?为递减数列

(D) ?S ? 2n?1 为递减数列, ?S2n?为递增数列

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生依据要求作答。

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

(13)已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60°, c ? ta ? (1? t)b .若 b ? c =0,则 t =____________.

(14)若数列?an ?的前 n

项和为 Sn

?

2 3

an

?

1 3

,则数列

?an

?的通项公式是

a

n

=____________.

(15)设当 x ? θ 时,函数 f (x) ? sin x ? 2cosx 取得最大值,则 cos? =____________.

(16)若函数 f (x) ? (1? x2 )( x2 ? ax ? b) 的图像关于直线 x ? ?2 对称,则 f (x) 的最大值为__________.
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三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分)

如图,在△ABC中, ?ABC=90°, AB ? 3 , BC ? 1, P 为△ABC内一点, ?BPC=90°

(Ⅰ)若 PB ? 1 ,求 PA; 2
(Ⅱ)若 ?APB=150°,求 tan ?PBA.

C P

A

B

(18)(本小题满分 12 分)

如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CA ? CB , AB ? AA1 , ?BAA1=60°.

(Ⅰ)证明 AB ⊥ A1C ;

C

(Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B , AB ? CB ,

求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。

B A

C1
B1 A1

(19)(本小题满分 12 分) 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的
件数记为 n .如果 n ? 3 ,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n ? 4 ,
再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过
检验.假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为 1 ,且各件产品是否为优质品 2
相互独立. (Ⅰ)求这批产品通过检验的概率; (Ⅱ)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需
的费用记为 X (单位:元),求 X 的分布列及数学期望。

(20)(本小题满分 12 分)
已知圆 M :(x ?1)2 ? y2 ? 1 ,圆 N :(x ?1)2 ? y2 ? 9 ,动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切,圆心 P
的轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求 C 的方程;
-4-

(Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A , B 两点,当圆 P 的半径最长时, 求 AB .

(21)(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? x2 ? ax ? b , g(x) ? ex (cx ? d ) 若曲线 y ? f (x) 和曲线 y ? g(x) 都过点 P(0,2) , 且在点 P 处有相同的切线 y ? 4x ? 2 .
(Ⅰ)求 a , b , c , d 的值; (Ⅱ)若 x ? -2 时, f (x) ? kg(x) ,求 k 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答,并用 2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑,

按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分,不涂,按本选考题的首题进行评分.

(22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B ,点 C 在圆上,∠ ABC

D

B

的角平分线 BE交圆于点 E , DB 垂直 BE交圆于 D .

(Ⅰ)证明: DB ? DC ;

(Ⅱ)设圆的半径为 1, BC ? 3 ,延长 CE 交 AB 于点 F , 求 △BCF 外接圆的半径.
(23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

E

C

A

已知曲线

C1

的参数方程式

?x

? ?

y

? ?

4 5

? ?

5 5

cost sin t



t

为参数),以坐标原点为极点,以坐标原点为极点,

x



的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin? .

(Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程;

(Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0 , 0 ? ? ? 2π )

(24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲
已知函数 f (x) ? 2x ?1 ? 2x ? a , g(x) ? x ? 3 .
(Ⅰ)当 a ? ?2 时,求不等式 f (x) ? g(x) 的解集; (Ⅱ)设 a ? ?1,且当 x ?[? a , 1 ) 时, f (x) ? g(x) ,求 a 的取值范围.
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