北京市海淀区2013届高三5月期末练习(二模)数学(理)试题及答案

海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 (理科) 2013.5 本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题 卡上,在试卷上 作答无效。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项 中,选出符合题目要求的一项. 1.集合 A ? ?x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0? , B ? ?x x ? 0? ,则 A ? B ? A. ( ??,0] B. ( ??,1] C. [1,2] D. [1, ??) 2.已知数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,且 a1 ? a3 ? 4 , a4 ? 8 ,则 a1 ? q 的值为 A. 3 B. 2 C. 3 或 ?2 D. 3 或 ?3 3. 如图,在边长为 a 的正方形内有不规则图形 ? . 向正方形内随机撒豆子,若 撒在图形 ? 内和正方形内的豆子数分别为 m, n ,则图形 ? 面积的估计值为 A. ? ma n B. na m C. ma 2 n D. na 2 m 4.某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为 A. 180 C. 276 D. 300 B. 240 5 ??? ? ???? ??? ? ??? ? 5.在四边形 ABCD 中, “ ?? ? R , 使得 AB ? ? DC, AD ? ? BC ” 是 “四边形 ABCD 主视图 左视图 6 为平行四边形”的 A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 6 6 俯视图 D. 既不充分也不必要条件 6.用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,且 5 不排在百位,2,4 都不排在个 位和万位,则这样的五位数个数为 A. 32 B. 36 C. 42 D. 48 7.双曲线 C 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,且 F2 恰为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,设双曲线 C 与该抛 物线的一个交点为 A ,若 ?AF1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形,则双曲线 C 的离心率为 A. 2 B. 1 ? 2 C. 1 ? 3 D. 2 ? 3 8. 若数列 {an } 满足:存在正整数 T ,对于任意正整数 n 都有 an ?T ? an 成立,则称数列 {an } ?an ? 1, an ? 1, ? 为周期数列,周期为 T . 已知数列 {an } 满足 a1 ? m (m ? 0) , an ?1 = ? 1 0 ? an ? 1. ?a , ? n 则下列结论中错误 的是 .. A. 若 a3 ? 4 ,则 m 可以取 3 个不同的值 B. 若 m ? 2 ,则数列 {an } 是周期为 3 的数列 C. ?T ? N* 且 T ? 2 ,存在 m ? 1 , {an } 是周期为 T 的数列 D. ?m ? Q 且 m ? 2 ,数列 {an } 是周期数列 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在极坐标系中,极点到直线 ? cos? ? 2 的距离为_______. 1 ? 1 1 10.已知 a ? ln , b ? sin , c ? 2 2 ,则 a , b, c 按照从大到小 排列为______. .... 2 2 11.直线 l1 过点 ( ?2,0) 且倾斜角为 30? , 直线 l2 过点 (2,0) 且与直线 l1 垂直, 则直线 l1 与直线 l2 的交点坐标为____. 12.在 ?ABC 中, ?A ? 30? , ?B ? 45? , a ? 2 ,则 b ? _____; S?ABC ? _____ . 13.正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1 ,若动点 P 在线段 BD1 上运动,则 DC ? AP 的取值 范围是______________. 14.在平面直角坐标系中,动点 P ( x, y ) 到两条坐标轴的距离之和等于它到点 (1,1) 的距离,记 点 P 的轨迹为曲线 W . (I) 给出下列三个结论: ①曲线 W 关于原点对称; ②曲线 W 关于直线 y ? x 对称; ???? ??? ? ③曲线 W 与 x 轴非负半轴, y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 其中,所有正确结论的序号是_____; (Ⅱ)曲线 W 上的点到原点距离的最小值为______. 1 ; 2 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明 过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 1 ? cos2 x π 2 sin( x ? ) 4 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 的单调递增区间. 16.(本小题满分 13 分) 福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面 值为 5 元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下: (1)该福利彩票中奖率为 50%; (2)每张中奖 彩票的中奖奖金有 5 元,50 元和 150 元三种; (3)顾客购买一张彩票获得 150 元奖金的概 率为 p ,获得 50 元奖金的概率为 2% . (I)假设某顾客一次性花 10 元购买两张彩票,求其至少有一张彩票中奖的概率; (II)为了能够筹得资金资助福利事业, 求 p 的取值范围. 17. (本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ABC ? ?DAB ? 90? , ?CAB ? 30? , BC ? 2 , AD ? 4 . 把 ?DAC 沿对角线 AC 折起到 ?PAC 的位置,如图 2 所示,使得点 P 在平面 ABC 上的正投影 H 恰好落在线段 AC 上,连接 PB ,点 E , F 分别为线段 PA, AB 的中点. (I) 求证:平面

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