高三数学专题01-二次函数综合问题例谈


二次函数综合问题 1. 代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了,易于变形(一般式、顶点式、零点式等) ,所以,在解决二次函数 的问题时,常常借助其解析式,通过纯代数推理,进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式 y ? ax2 ? bx ? c (c ? 0) 中有三个参数 a, b, c . 解题的关键在于:通过三个独 立条件“确定”这三个参数. 例1 已知 f ( x ) ? ax ? bx ,满足 1 ? f ( ?1) ? 2 且 2 ? f (1) ? 4 ,求 f ( ?2) 的取值范围. 2 分析:本题中,所给条件并不足以确定参数 a , b 的值,但应该注意到:所要求的结论不是 f ?? 2? 的确 定值,而是与条件相对应的“取值范围” ,因此,我们可以把 1 ? f ( ?1) ? 2 和 2 ? f (1) ? 4 当成两个独立 条件,先用 f ?? 1? 和 f ?1? 来表示 a , b . 解:由 f ?1? ? a ? b , f ?? 1? ? a ? b 可解得: a? 1 ( f (1) ? f (?1)), 2 2 b? 1 ( f (1) ? f (?1)) 2 (*) 将以上二式代入 f ( x ) ? ax ? bx ,并整理得 ? x2 ? x ? ? x2 ? x ? ? ? f ?x ? ? f ?1?? ? f ( ? 1 ) ? 2 ? ? 2 ? ?, ? ? ? ? ∴ f ?2? ? f ?1? ? 3 f ?? 1? . 又∵ 2 ? f (1) ? 4 , 1 ? f (?1) ? 2 , ∴ 5 ? f ?2? ? 10 . 例 2 设 f ? x ? ? ax ? bx ? c? a ? 0? ,若 f ? 0? ? 1 , f ?1? ? 1 , f ? -1? ? 1 , 试证明:对于任意 2 ? 1 ? x ? 1 ,有 f ? x ? ? 5 . 4 分析:同上题,可以用 f ?0?, f ?1?, f ?? 1? 来表示 a, b, c . 解:∵ f ?? 1? ? a ? b ? c, f ?1? ? a ? b ? c, f ?0? ? c , ∴ a? 1 1 ( f ?1? ? f ?? 1? ? 2 f ?0?), b ? ( f (1) ? f (?1)), c ? f ?0? , 2 2 ? x2 ? x ? ? x2 ? x ? ? ? ? ? ? ? f ? 1 ? f ?0 ? 1 ? x 2 . ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ∴ f ? x ? ? f ?1?? ? ? ? 1 ∴ 当 ? 1 ? x ? 0 时, x2 ? x x2 ? x f ? x ? ? f ?1? ? ? f ?? 1? ? ? f ?0 ? ? 1 ? x 2 2 2 ? x2 ? x x2 ? x ? ? 1? x2 2 2 ? x2 ? x ? ? x2 ? x ? 2 ? ?? ? 2 ? ??? ? 2 ? ? ? (1 ? x ) ? ? ? ? 2 ? ?x ? x ? 1 1 5 5 ? ?( x ? ) 2 ? ? . 2 4 4 当 0 ? x ? ?1时, f ? x ? ? f ?1? ? x2 ? x x2 ? x ? f ?? 1? ? ? f ?0 ? ? 1 ? x 2 2 2 x2 ? x x2 ? x ? ? ? 1? x2 2 2 ? x2 ? x ? ? ? x2 ? x

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