高中数学 2.6 矩阵的简单应用章末综合检测 苏教版选修42

【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学 2.6 矩阵的简单应用章末

综合检测 苏教版选修 4-2

1.某车间有甲、乙两台机床,可用于生产三种工件,假定全年的产量见下表(单位:件):

工件 1 工件 2 工件 3

甲 800

600

300

乙 200

300

600

又已知工件 1、工件 2、工件 3 的销售价格分别为 20 元、30 元和 10 元,请给出甲机床、

乙机床全年的产值分别是多少?

【解】 两机床全年产量可用一个 2×3 矩阵表示,记为

P=???820000

600 300

360000???,

?20? ? ? 各工件的销售价格向量为 Q= 30 ,
?10?

20

??? ??? 从而 PQ=???820000

600 300

360000???

30 10

=???1397

000000???.

故全年中甲机床的产值为 37 000 元,乙机床的产值为 19 000 元.

2.四种食品(F1,F2,F3,F4)在三家商店(S1,S2,S3)中,单位量的售价(以某种货币单位 计)可用下面的矩阵表示:

那么在商店 S1 购买 F2 食品 9 单位,在商店 S2 购买 F3 食品 3 单位,在商店 S3 购买 F4 食品 5 单位,共需多少货币?
7
?? ?? 【解】 M=[9 3 5] 13 =197,即共需 197 单位货币. ?19?
3.在密码学中,常用二阶矩阵对信息进行加密,现在我们先将英文字母数字化,a→1, b→2,…,z→26,发送方要传递的信息是 come.双方约定的矩阵为???57 13???,求发送的密码.
1

【导学号:30650062】

【解】 ∵c→3,o→15,m→13,e→5,

∴由题意可得???57

1?? 3 3????15

513???=???6360

17006???,

所以发送的密码为 30,66,70,106.

4.四个食品店均要进同样的两种货物,这两种货物的单价分别为 b1、b2,已知各食品店

进货的批量,试用矩阵计算出各食品进货的总价是多少?

【解】 设 A 表示四个食品店两种货物的批货量,

? ? a a 11

12

? ? a a 21

22

A=

? ? a a 31

32

? ? a a 41

42

第一个食品店两种货物的批货量 第二个食品店两种货物的批货量 第三个食品店两种货物的批货量 第四个食品店两种货物的批货量

则这四个食品店进货总价如下:

? ? a11b1+a12b2 ? ? a21b1+a22b2
AB=
? ? a31b1+a32b2 ? ? a41b1+a42b2
5.某运动服销售店经销 A,B,C,D 四种品牌的运动服,其尺寸有 S(小号),M(中号),

L(大号),XL(特大号)四种,一天内,该店的销售情况如下表所示(单位:件):

品牌

A

B

C

D

型号

S

3

2

0

1

M

5

3

4

3

L

2

4

5

5

XL

1

0

1

1

假设不同品牌的运动服的平均利润是 A 为 20 元/件,B 为 15 元/件,C 为 30 元/件,D

为 25 元/件,求 S 号的运动服在这天获得的总利润是多少?

A

【解】 S 号运动服的销售量是[3A 2B 0C 1D ],不同品牌的平均利润是

B

C

D

?20? ?15?, ?30? ?25?

2

?20? 于是[3 2 0 1]?15?
?30? ?25 ?
=[3×20+2×15+0×30+1×25]=[115],

故 S 号运动服在这天获得的总利润是 115 元.

6.已知盒子 A 中装有 4 只大小和重量相同的小球,其中 2 只黑色的,2 只白色的;盒子

B 中装有 5 只大小和重量相同的小球,其中 3 只黑色的,2 只白色的.假定 A,B 两个盒子很

难分辨,而且可以任取一个,现在要求先取一个盒子,那么从中摸到一只白色小球的概率有

多大?

【解】 不妨设摸到黑色小球的可能性为 X,摸到白色小球的可能性为 Y,取出一个盒

子的概率可以表示为 M=??12?? ??21??

A
,从两个盒子中摸到一只黑色小球(X)和一只白色小球(Y) B

的概率可以用矩阵表示为

N=

,于是先取一个盒子,再从里面摸到一只黑色小球或白色小球的概率

可由矩阵运算得



因此,先取一个盒子,从中摸到一只白色小球的概率为290. 7.研究某城市的天气变化趋势,得到如下结论:若今天晴,则明天晴的概率为 0.8,若 今天阴,则明天晴的概率为 0.4,如果该地区 4 月 20 日清晨天气预报当天晴的概率为 0.6. (1)4 月 21 日为晴天的概率是多少? (2)5 月 1 日为晴天的概率是多少?
【导学号:30650063】

【解】 天气变化情况如图所示:
3

天气变化的转移矩阵为 M=???00..82 00..46???,今天天气情况可用向量 β =???00..64???表示. 第 n 天与第 n+1 天的天气关系可表示为

(1)4 月 21 日的天气情况为

Mβ =???00..82 00..46??????00..64???=???00..6346???,

即 4 月 21 日为晴天的概率是 0.64.

(2)矩阵 M 的特征多项式为

f(λ )=???-λ 0-.20.8λ --00..64???
=λ 2-1.4λ +0.4, 由 f(λ )=0 解得 λ 1=0.4,λ 2=1. 当 λ 1=0.4 时,代入特征方程 ??(0.4-0.8)x-0.4y=0, ???-0.2x+(0.4-0.6)y=0,
解出特征向量 α 1=???-11???;

当 λ 2=1 时,代入特征方程 ??(1-0.8)x-0.4y=0, ???-0.2x+(1-0.6)y=0,
解出特征向量 α 2=???21???; 由 β =mα 1+nα 2, 即???00..64???=m???-11???+n???21???,

??m=-115, 解得???n=13,

???? ???? ???? ???? M11β =-115×(0.4)11×???-11???+13×111×???21???=

23-115×???52???11 13+115×???25???11



2 3
1 3



4

即 5 月 1 日为晴天的概率约为23. 能力提升]
8.工业发展时常伴有环境污染,怎样减少甚至消除环境污染是很重要的问题.某研究机 构提出了有关污染和工业发展的工业增长模型.设 P 是目前的污染程度,D 是目前的工业发 展水平,P1 和 D1 分别是 5 年以后的污染程度和工业发展水平.在许多发展中国家,工业发展 模型实际上是:P1=P+2D,D1=2P+D.
(1)设 P2 和 D2 分别是第二个 5 年以后的污染程度和工业发展水平,试求 P2、D2 与 P、D 的关系式;
(2)某发展中国家目前的污染程度和工业发展水平都是 1,设第 n 个 5 年以后,污染程 度和工业发展水平分别为 Pn 和 Dn,试求 Pn、Dn,并说明污染程度和工业发展的趋势.
【解】 (1)∵P1=P+2D,D1=2P+D, ∴???PD11???=???12 21??????PD???. 设 A=???12 21???, ∴???PD22???=A???PD11???=A2???PD??? =???54 45??????PD??? =???54PP+ +45DD???. ∴P2=5P+4D,D2=4P+5D. (2)???DPnn???=An???PD???=An???11???, 矩阵 A 的特征值为 λ 1=3,λ 2=-1, 对应的一个特征向量分别为 α 1=???11???,α 2=???-11???, ∴???PDnn???=λ n1α 1=3n???11???. λ 1=3 说明污染程度和工业发展水平同时以 3 倍的速度增加,高水平工业能提高人们的 生活水平,但处理不当,随之加重的环境污染会造成不堪设想的后果,这个结果告诫人们在 发展工业的同时一定要注意减轻污染,治理污染.
5


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