安徽省合肥168中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学文试题


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合肥一六八中学 2014-2015 学年第一学期高二年级期中考试数学(文科)试卷 命题人:黄小娟 审题人:汪克亮 时长:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的,请将正确答案的序号填在答题卷的表格里。 ) 1. 下列命题正确的是( ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 D.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 答案:D 2. 已知点 (a,3)(a ? 0) 到直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的距离为 1,则 a 的值为( A. 2
答案:A

)

B. ? 2

C. 2 ? 1

D. 2 ? 1

3. 设 ?、? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? // ? ,则 l ? ?
答案:C

)

B.若 l // ? , ? // ? ,则 l ? ? D.若 l // ? , ? ? ? ,则 l ? ?

4. 已知直线 l :mx ? ny ? 1 ? 0 平行于直线 m :4 x ? 3 y ? 5 ? 0 ,且 l 在 y 轴上的截 1 距为 ,则 m, n 的值分别为( 3 A.4,3
答案:C

) D.4,-3

B.-4,3

C.-4,-3

5. 某三棱锥的三视图如图所示, 该三棱锥的表面积是 ( ) A.28+6 5 C.56+12 5 B.30+6 5 D.60+ 12 5

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答案:B

6.经过点 P(1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线 的方程为( ) B.2x+y-6=0 D.x-2y-7=0

A.x+2y-6=0 C.x-2y+7=0 答案:B

7. 正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 6,底面边长为 4,则该球 的表面积为( ) 44 484 81 A. B. C. D. 16? ? ? ? 3 9 4 答案:B 8.已知 0 ? x ? 1 , 0 ? y ? 1 ,则
x 2 ? y 2 ? x 2 ? (1 ? y ) 2 ? (1 ? x) 2 ? y 2 ? (1 ? x) 2 ? (1 ? y ) 2 的最小值为(

)

A. 2 2
答案:A

B.

2

C. 2

D.8

9.如图,在三棱柱 ABC ? A ' B ' C ' 中,若 E 、 F 分别 为 AB 、 AC 的中点,平面 EB ' C ' F 将三棱柱分成体积 为 V1 、 V2 的两部分,那么 V1 : V2 为(
A.3:2 C.8:5 B.7:5 D.9:5

C' A' V1 F A C E
第12题



B' V2 B

答案:B

10.设 m ? R , 过定点 A 的动直线 x ? my ? 0 和过定点 B 的动直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 交于点 P( x, y ) ,则 | PA | ? | PB | 的取值范围是( ) A. [ 5 ,2 5 ] 答案:B 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将正确答案填在答题 卷的相应位置。 )
11.直线 l:ax+(a+1)y+2=0 的倾斜角大于 45° ,则 a 的取值范围是________________.

B. [ 10 ,2 5 ]

C. [ 10 ,4 5 ]

D. [2 5 ,4 5 ]

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1 答案 (-∞,- )∪(0,+∞) 2

12.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图, 边 AB 平行于 y 轴, BC,AD 平行于 x 轴.已知四边形 ABCD 的面积为 2 2 cm2,则原平 面图形的面积为________________. 答案: 8 cm2 13.若点(1,1)到直线 xcos α+ysin α=2 的距离为 d,则 d 的最大值是________. 答案:2+ 2 14.已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所示,其中四 边形 ABCD 是边长为 2 cm 的正方形,则这个正四面体的主视图的面积 为________cm2. 答案:2 2

15. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 过对角线 BD1 的一个平面交 AA1 于 E, 交 CC1 于 F, 得四边形 BFD1E,给出下列结论: ①四边形 BFD1E 有可能为梯形; ②四边形 BFD1E 有可能为菱形; ③四边形 BFD1E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形; ④四边形 BFD1E 有可能垂直于平面 BB1D1D; ⑤四边形 BFD1E 面积的最小值为 6 . 2

其中正确的是________.(请写出所有正确结论的序号) 答案:②③④⑤

三 、解答题(本大题共 6 题,计 75 分。请将正确答案写在答题卷的相应位置) 16.(本题 12 分).已知 E、F、G、H 为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点,
且EH∥FG. 求证:EH∥BD.
A E B F H D G C

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证明:? EH ? FG, EH ? 面 BCD , FG ? 面 BCD

? EH ? 面 BCD
又? EH ? 面 BCD ,面 BCD ? 面 ABD ? BD ,

? EH ? BD

17.(本题 12 分) 在 ?ABC 中, BC 边上的高所在的直线的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 , ?A 的平
分线所在直线的方程为 y ? 0 ,若点 B 的坐标为 (1, 2) ,求点 A 和点 C 的坐标. 17. 解:解直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 和直线 y ? 0 的交点得 (?1, 0) ,即 ∴ k AB ? 的坐标为 (?1, 0) ,

2?0 ? 1 ,又∵ x 轴为 ?BAC 的平分线, 1?1

∴ k AC ? ? k AB ? ?1 ,又∵直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 为 BC 边上的高,由垂直得,

k BC ? ?2 ,设 C 的坐标为 (a, b) ,则

b b?2 ? ?1, ? ?2 , a ?1 a ?1

解得 a ? 5, b ? ?6 ,即 C 的坐标为 (5, ?6) .

18.(本题 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,
PA ? 底面 ABCD, AB ? AD, AC ? CD, ?ABC ? 60?,
P

PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点.
(1)证明 CD ? AE ;
E

(2)证明 PD ? 平面 ABE ;
A C B D

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18. (1)证明:∵PA⊥底面 ABCD,CD ? 平面 ABCD ∴PA⊥CD 又 AC⊥CD,AC ? PA=A ∴CD⊥平面 PAC,又 AE ? 平面 PAC ∴CD⊥AE (2)证明: ∵PA⊥底面 ABCD,AB ? 平面 ABCD ∴PA⊥AB 又 AD⊥AB,AD ? PA=A ∴AB⊥平面 PAD,又 PD ? 平面 PAD ∴AB⊥PD o 由 PA=AB=BC,∠ABC=60 则△ABC 是正三角形 ∴AC=AB ∴PA=AC ∵E 是 PC 中点 ∴AE⊥PC 由(1)知 AE⊥CD,又 CD ? PC=C ∴AE⊥平面 PCD ∴AE⊥PD 又 AB⊥PD,AB ? AE=A ∴PD⊥平面 ABE

………………(5 分)

………………(12 分)

19. (本题 12 分) 已知直线 l : y ? 3 x ? 3 . (1)求点 P(5,3) 关于直线 l 的对称点 P ' 的坐标; (2)求直线 l1:x ? y ? 2 ? 0 关于直线 l 的对称直线 l2 的方程。 (3)已知点 M (2,6) ,试在直线 l 上求一点 N 使得 | NP | ? | NM | 的值最小。
19. (1)设点P的对称点为

P ?( a, b) ,则

? b?3 ? a ? 5 ? 3 ? ?1 ?b ? 3 ?a ? ?4 a?5 ? ? 3? ?3 ? b ? 6 ,即点 P ? 的坐标为 ( ?4,6) 2 ? 2 ,解得: ?

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5 ? x ? ? ? 2 ? x ? y ? 2 ? 0 ? 9 ?y ? ? ? 3x ? y ? 3 ? 0 得 ? 2 (2)解方程组 ?

,即两直线

l1



l 的交点坐标为

(?

5 9 ,? ) 2 2
l1

因为直线

l l 与 2 关于直线 l 对称,所以直线 2 必过点

(?

5 9 ,? ) 2 2
l 的对称点为

又由(1)可知,点

P (5,3)

恰好在直线

l1

上,且其关于直线

P ?( ?4,6) ,

l 所以直线 2 必过点
即 7 x ? y ? 22 ? 0 (3) N (1,6)

P ?( ?4,6) ,这样由两点式可得:

9 5 x? 2 ? 2 9 5 6? ?4? 2 2 y?

20. (本题 13 分)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是 棱 AP, AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q, 到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由. 20.解答 (1)证明 因为 D,E 分别是 AP,AC 的中点, 所以 DE∥PC. 又因为 DE?平面 BCP, 所以 DE∥平面 BCP. (2)证明 因为 D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的中点, 所以 DE∥PC∥FG, DG∥AB∥EF. [3 分]

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所以四边形 DEFG 为平行四边形. 又因为 PC⊥AB, 所以 DE⊥DG. 所以四边形 DEFG 为矩形. (3)解 存在点 Q 满足条件,理由如下: [7 分] [8 分]

连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点, 由(2)知,DF∩EG=Q, 1 且 QD=QE=QF=QG= EG. 2 分别取 PC,AB 的中点 M,N,连接 ME,EN,NG,MG,MN. 与(2)同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线交点为 EG 的中点 Q, 1 且 QM=QN= EG, 2 所以 Q 为满足条件的点.[13 分]

21. (本题 14 分) 如图所示,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BB1 , AC1 ? 平面 A1 BD, D
为 AC 的中点。 (1)求证: B1C // 平面 A1BD ; (2)求证: B1C1 ? 平面 ABB1 A1 ; (3)在 CC1 上是否存在一点 E ,使得平面 A1 BD 与

平面 BDE 垂直?若存在,试确定 E 点的位置,若不 存在,请说明理由。

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21. 证明:如图,连接 AB1 与 A1B 相交于 M ,则 M 为 A1B 的 中点。连结 MD ,又 D 为 AC 的中点,

? B1C // MD ,又 B1C ? 平面 A1BD , ? B1C // 平面 A1BD 。
(Ⅱ)? AB ? B1 B ,∴四边形 ABB1 A1 为正方形,

? A1 B ? AB1 。又? AC1 ? 面 A1 BD ? AC1 ? A1 B ,? A1 B ? 面 AB1C1 ,? A1 B ? B1C1 。
又在直棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BB1 ? B1C1 ,

? B1C1 ? 平面 ABB1 A 。
(Ⅲ)当点 E 为 C1C 的中点时,平面 A1 BD ? 平面 BDE 。

? D 、 E 分别为 AC 、 C1C 的中点,? DE // AC1 。

? AC1 ? 平面 A1 BD ,? DE ? 平面 A1BD 。
又 DE ? 平面 BDE ,∴平面 A1 BD ? 平面 BDE 。


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