2020届高三数学(文)一轮总复习课时跟踪检测 两角和与差的正弦、余弦和正切公式Word版含答案

课时跟踪检测

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1.(2019·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( )

3 A.- 2

3 B. 2

C.-12

D.12

解析:选 D sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20° +10°)=sin 30°=12,故选 D.

2.(2019·南宁二模)已知 sin



1 =3,则

cos2???α

-π4 ???=(

)

A.-13

B.13

C.-23

D.23

解析:选 D

依题意得 cos2???α

-π4 ???=12(cos

α

+sin

α

)2=12(1+sin



2 )=3.

3.已知 sin???π2 +α ???=12,-π2 <α <0,则 cos???α -π3 ???的值是(

)

A.12

B.23

1 C.-2

D.1

1

3

解析:选 C 由已知得 cos α =2,sin α =- 2 ,

∴cos???α -π3 ???=12cos α + 23sin α =-12.
4.(2019·邢台摸底)已知 tan(3π -α )=-12,tan(β -α )=-13,则 tan β =________.

解析:依题意得 tan

α

=12,tan

β

=tan[(β

-α

)+α

]=1-tatnan

β

-α β -α

1 答案:7

tan α tan α

=17.

5.(2019·贵阳摸底)设 sin α =2cos α ,则 tan 2α 的值为________.

解析:由题可知,tan

α

sin =cos

α α

=2,∴tan



=12-tatnanα2α

4 =-3.

答案:-43

二保高考,全练题型做到高考达标

1.(2019·唐山一模)已知 2sin 2α =1+cos 2α ,则 tan 2α =( )

4

4

A.-3

B.3

C.-43或 0

D.43或 0

解析:选 D ∵?????2ssiinn22α2α+=co1s+22cαos=21α,,

∴???sin 2α =0, ??cos 2α =-1

?? 4 sin 2α =5,

或? ??cos



=35,

∴tan 2α =0 或 tan 2α =43.

2.已知 cos???x-π6 ???=-

3 3 ,则 cos

x+cos???x-π3 ???=(

)

23 A.- 3

23 B.± 3

C.-1

D.±1

解析:选 C ∵cos???x-π6 ???=- 33,

∴cos

x+cos???x-π3

???=cos

x+cos

xcosπ3

+sin

xsinπ3

3 =2cos

x+

3 2 sin

x=

3??? 23cos x+12sin x???

= 3cos???x-π6 ???= 3×???- 33???=-1.

3.(2019·东北三省三校联考)已知 sin α +cos α =31,则 sin2???π4 -α ???=(

)

1 A.18

17 B.18

8

2

C.9

D. 9

解析:选 B 由 sin α +cos α =13两边平方得 1+sin 2α =19,解得 sin 2α =-89,所以 sin2???π4 -α ???

=1-cos???π22 -2α

???=1-si2n



1+89 17 = 2 =18.

4.已知 sin???α -π4 ???=7102,cos 2α =275,则 sin α =(

)

A.45

B.-45

C.35

D.-35

解析:选 C 由 sin???α -π4 ???=7102得 sin α -cos α =75, ①

由 cos



7 =25得

cos2α

-sin2α

7 =25,

所以(cos α -sin α )·(cos α +sin α )=275, ②

1 由①②可得 cos α +sin α =-5, ③

由①③可得 sin α =35.

5.(2019·江西九校联考)已知锐角α ,β 满足 sin α -cos α =16,tan α +tan β + 3tan α tan β =

3,则α ,β 的大小关系是( ) A.α <π4 <β

B.β <π4 <α

C.π4 <α <β

D.π4 <β <α

解析:选 B

∵α

为锐角,sin

α

-cos

α

1 =6>0,∴α

>π4 .

又 tan α +tan β + 3tan α tan β = 3,

∴tan(α

+β

)=1t-antaαn

+tan α tan

β β



3,

∴α +β =π3 ,又α >π4 ,∴β <π4 <α . 6.(2019·河南统考)已知 tan α ,tan β 是 lg(6x2-5x+2)=0 的两个实根,则 tan(α +β )=________.
解析:由 lg(6x2-5x+2)=0,得 6x2-5x+1=0, ∴由题意知 tan α +tan β =56,tan α ·tan β =61,

5

∴tan(α

+β

)=1t-antaαn

+tan α tan

β β

6 =1-16=1.

答案:1

sin250° 7.计算1+sin 10°=________.

sin250°

1-cos 100°

解析:1+sin 10°=2 1+sin 10 =

1-cos 90°+10 2 1+sin 10

1+sin 10° 1 =2 1+sin 10 =2.

答案:12

8.设α 为锐角,若 cos???α +π6 ???=45,则 sin???2α +1π2???的值为________. 解析:因为α 为锐角,cos???α +π6 ???=45, 所以 sin???α +π6 ???=35,sin 2???α +π6 ???=2245, cos 2???α +π6 ???=275,

所以 sin???2α +π12???=sin???2???α +π6 ???-π4 ???
24 2 7 2 17 2 =25× 2 -25× 2 = 50 .

17 2 答案: 50

9.已知α

∈???0,π2 ???,tan

α

1 =2,求 tan



和 sin???2α

+π3 ???的值.

1

解:∵tan

α

1 =2,∴tan



=12-tatnanα2α

2×2 4 = 1=3,
1-4

且scions

α α

=12,即 cos

α

=2sin

α



又 sin2α +cos2α =1,∴5sin2α =1,而α ∈???0,π2 ???,

∴sin α = 55,cos α =2 5 5.

∴sin 2α =2sin α cos α =2× 55×2 5 5=45,

cos 2α =cos2α -sin2α =45-15=35,

∴sin???2α +π3 ???=sin 2α cosπ3 +cos 2α sinπ3 =45×12+35× 23=4+130 3.

10.已知α ∈???π2 ,π ???,且 sinα2 +cosα2 = 26.

(1)求 cos α 的值;

(2)若 sin(α

-β

3 )=-5,β

∈???π2 ,π ???,求 cos

β

的值.

解:(1)因为 sinα2 +cosα2 = 26,

两边同时平方,得 sin α =21.

又π2 <α <π ,所以 cos α =-

1-sin2α

=-

3 2.

(2)因为π2 <α <π ,π2 <β <π ,

所以-π2 <α -β <π2 .

又由 sin(α -β )=-35,得 cos(α -β )=45.

所以 cos β =cos[α -(α -β )] =cos α cos(α -β )+sin α sin(α -β )
=- 23×45+21×???-35???=-4 130+3.

1.化简 sin2???α -π6 ???+sin2???α +π6 ???-sin2α 的结果是________.

解析:法一:原式=1-cos???22α -π3 ???+1-cos???22α +π3 ???-sin2α



1



1 2

???cos???2α

-π3

???+cos???2α

+π3

?????? - sin2 α

= 1 - cos



· cos

π 3

- sin2 α



1



cos 2α 2



1-cos 2



=12.

法二:令α =0,则原式=14+14=12.

答案:12

2.(2019·合肥质检)已知 cos???π6 +α ???cos???π3 -α ???=-14,α ∈???π3 ,π2 ???.
(1)求 sin 2α 的值; (2)求 tan α -tan1 α 的值.
解:(1)cos???π6 +α ???·cos???π3 -α ???=cos???π6 +α ???·sin???π6 +α ???=12sin???2α +π3 ???=-14, 即 sin???2α +π3 ???=-12. ∵α ∈???π3 ,π2 ???,∴2α +π3 ∈???π ,43π ???,

∴cos???2α +π3 ???=- 23,

∴ sin 2α =sin??????2α +π3 ???-π3 ??? =sin???2α +π3 ???cosπ3 -cos???2α +π3 ???sinπ3 =12. (2)∵α ∈???π3 ,π2 ???,∴2α ∈???23π ,π ???,

又由(1)知 sin 2α =12,∴cos 2α =- 23.

3

∴tan

α

-tan1 α

=scions

α α

-csoisn

α α

=ssiinn2αα-ccooss2αα

=-s2icnos2α2α

-2 =-2× 1

=2

3.

2


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