高三数学-2018年高中数学联赛 精品

2018 年全国高中数学联合竞赛试卷 得分 评卷人 一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)本题共有 6 小题,每题均给出 A、B、C、D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的,请将正确答案的代 表字母填在题后的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代表 字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分)。 1.删去正整数数列 1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列,这个新数列 的第 2018 项是 A.2186 B.2187 C.2188 D.2189 答( ) 2.设 a,b∈R,ab≠0,那么直线 ax-y+b=0 和曲线 bx2+ay2=ab 的图形是 y y y y x x x x A B C D 答( ) 3.过抛物线 y2=8(x+2)的焦点 F 作倾斜角为 60o 的直线,若此直线与抛物线交于 A、B 两点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点,则线段 PF 的长等于 A. 16 3 B. 8 3 C. 16 3 3 D. 8 3 答( ) 4.若 x ? (? A. 12 2 5 5? ? 2? ? ? , ? ) ,则 y ? tan(x ? ) ? tan(x ? ) ? cos(x ? ) 的最大值是 3 6 6 12 3 11 2 11 3 12 3 B. C. D. 6 6 5 答( ) 5.已知 x,y 都在区间(-2,2)内,且 xy=-1,则函数 u ? A. 4 9 ? 的最小值是 2 4?x 9 ? y2 D. 8 5 B. 24 11 C 12 . 7 12 5 答( ) 6.在四面体 ABCD 中,设 AB=1,CD= 3 ,直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为 四面体 ABCD 的体积等于 A. 得分 ? 3 ,则 3 2 B. 1 2 C. 1 3 D. 3 3 答( ) 评卷人 二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)本题共有 6 小题,要求直接将 答案写在横线上。 7.不等式 | x | 3-2x2-4| x | +3 < 0 的解集是____________________. 8.设 F1,F2 是椭圆 x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF1| : |PF2|=2 : 1,则 9 4 三角形 ? PF1F2 的面积等于______________. 9.已知 A={x|x2-4x+3<0,x∈R},B={x|21 x+a≤0,x2-2(a+7)+5≤0,x∈R}, - 若 A ? B,则实数 a 的取值范围是___________________. 10 .已知 a , b , c , d 均为正整数,且 loga b ? = . 11.将 8 个半径都为 1 的球分两层放置在一个圆柱内,并使得每个球和其相邻的四个球相 切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于______________. 12.设 M n ={(十进制)n 位纯小数 0.a1a2 ? an |ai 只取 0 或 1(i=1,2,…,n-1,an= 1},Tn 是 Mn 中元素的个数,Sn 是 Mn 中所有元素的和,则 lim 得分 评卷人 三.解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.设 n?? 3 5 , logc d ? ,若 a - c = 9 ,则 b - d 2 4 Sn =_______. Tn 3 ≤x≤5,证明不等式 2 x ? 1 ? 2x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2 19 . 2 1 +bi,Z2=1+ci(其中 a,b,c 都是实数) 2 14.设 A,B,C 分别是复数 Z0=ai,Z1= 对应的不共线的三点,证明:曲线 Z=Z0cos4t+2Z1cos2t sin2t+Z2sin4t (t∈R) 与 ? ABC 中平行于 AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点. 15. 一张纸上画有半径为 R 的圆 O 和圆内一定点 A,且 OA=a. 拆叠纸片,使圆周上某一 点 A/ 刚好与 A 点重合,这样的每一种拆法,都留下一条直线折痕,当 A/取遍圆周上所有点时, 求所有折痕所在直线上点的集合. 2018 年全国高中数学联合竞赛加试试卷 得分 评卷人 一. (本题满分 50 分)过圆外一点 P 作圆的 两条切线和一条割线,切点为 A,B 所作割 线交圆于 C,D 两点,C 在 P,D 之间,在弦 CD 上取一点 Q, 使∠DAQ=∠PBC.求证:∠DBQ=∠PAC. D 得分 评卷人 二. (本题满分 50 分)设三角形的三边分别是整数 l,m,n,且 l>m>n, 已知 { Q A C B P 3l 3m 3n } ? { } ? { } ,其中{x}=x-[x],而[x]表示不超过 x 的最大 104 104 104 整数.求这种三角形周长的最小值. 得分 评卷人 三. (本题满分 50 分)由 n 个点和这些点之间的 t 条连线段组成一个空间 图形,其中 n=q2+q+1,t≥ 1 q(q ? 1)2 ? 1 ,q≥2,q∈N,已知此图中任 2 圆点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点至少有 q+2 条连线段,证明:图中必存在一 个空间四边形(即由四点 A,B,C,D 和四条连线段 AB,BC,CD,DA 组成的图形) . 2018 年全国高中数学联合竞赛试卷 试题参考答案及评分标准 说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分两;其它各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档 次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时可参照本评 分标准当划分档次评分,5 分为一个档次。不要再增加其它中间档次. 一.选择题: 1

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