「精品」新版高中数学北师大版1习题:第四章函数应用 检测-精品

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第四章检测
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的)
1 若方程 f(x)-2=0 在(-∞,0)内有解,则 y=f(x)的图像是( )

解析:在 A,B,C,D 四个选项中只有 D 选项与直线 y=2 的交点在 y 轴左侧,即方程 f(x)-2=0 在(-∞,0)内有解. 答案:D

2 函数 f(x)=10x3-80 的零点为( )

A.(2,0)

B.(0,2)

C.2

D.0

解析:令 10x3-80=0,解得 x=2.

答案:C

3 无论 m 为何值时,函数 f(x)=x2-mx+m-2 的零点个数都为( )

A.2

B.1

C.0

D.0 或 1

解析:因为 Δ=(-m)2-4(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,

所以无论 m 为何值,x2-mx+m-2=0 都有两个不相等的实数根,故无论 m 为何值,所求零点个数都为 2.

答案:A

4 方程 lg x+x-2=0 一定有解的区间是( )

A.(0,1)

B.(1,2)

解析:令 f(x)=lg x+x-2.

∵f(1)=-1<0,f(2)=lg 2>0,

∴f(x)在(1,2)内必有零点.

答案:B

C.(2,3)

D.(3,4)

5 已知函数 f(x)与 g(x)的图像在 R 上连续不断,由下表知方程 f(x)=g(x)有实数解的区间是( )

x -1 0 1 2 3

f(x)

0.677

3.011

5.432

5.980

7.651

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1

g(x)

0.530

3.451

4.890

5.241

6.892

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A.(-1,0)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(2,3)

解析:构造函数 F(x)=f(x)-g(x),

则由题意,F(0)=3.011-3.451<0,F(1)=5.432-5.241>0,

∴函数 F(x)=f(x)-g(x)有零点的区间是(0,1).

∴方程 f(x)=g(x)有实数解的区间是(0,1),故选 B.

答案:B

6 已知函数 f(x)= -log2x,实数 x0 是函数 y=f(x)的零点,且 0<x1<x0,那么 f(x1)的值( )
A.恒为正值 B.等于 0 C.恒为负值 D.不大于 0

解析:因为函数 y= 在定义域上是减函数,y=log2x 在定义域上是增函数,所以函数 f(x)=
域上是减函数.又 0<x1<x0,所以 f(x1)>f(x0)=0. 答案:A

-log2x 在定义

7 若函数 y=f(x)在区间(-2,2)上的图像是连续不断的曲线,且方程 f(x)=0 在区间(-2,2)上仅有一个实数根,

则 f(-1)·f(1)的值( )

A.大于 0

B.小于 0

C.无法判断

D.等于 0

答案:C

8 设函数 f(x)对 x∈R 都满足 f(3+x)=f(3-x),且方程 f(x)=0 恰有 6 个不同的实数根,则这 6 个实根之和为

()

A.0

B.9

C.12

D.18

解析:由 f(3+x)=f(3-x)知,f(x)的图像关于 x=3 对称,方程 f(x)=0 的 6 个实根在 x 轴上的对应点关于直线 x=3 对

称,依次设为 3-t1,3-t2,3-t3,3+t1,3+t2,3+t3,故 6 个实根之和为 18. 答案:D

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2

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9 如图,在直角梯形 OABC 中,AB∥OC,AB=1,OC=BC=2,直线 l:x=t 截此梯形所得位于 l 左方图形面积为

S,则函数 S=f(t)的图像大致为图中的

()

解析:解析:式为 S=f(t)

= -

= -
故在[0,1]上为抛物线的一段,在(1,2]上为线段. 答案:C

10 某产品的利润 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式为 y=-2x2+40x+300,则利润 y(万元)取最大值时,

产量 x(台)为( )

A.10

B.20

C.30

D.40

解析:y=-2(x-10)2+500,当 x=10 时,y 取最大值.

答案:A

11 函数 f(x)=mx2-2x+1 有且仅有一个正实数的零点,则实数 m 的取值范围是( )
A.(-∞,1] B.(-∞,0]∪{1} C.(-∞,0)∪(0,1] D.(-∞,1)

解析:当 m=0 时,f(x)=-2x+1,此时函数 f(x)的零点为 >0,所以 m=0 符合题意;当 m≠0 时,则函数 f(x)是二次函 数,Δ=4-4m,若 Δ<0,则函数 f(x)不存在零点,故此种情况不符合题意,若 Δ=0,即 m=1,此时 f(x)=x2-2x+1,则函数 f(x)的零点为 x=1>0,所以 m=1 符合题意,若 Δ>0,即 m<1 且 m≠0 时,函数 f(x)有两个不相等的实数根 x1,x2,则 有 x1x2<0,即有 <0,所以 m<0.综上所得,实数 m 的取值范围是 m=1 或 m≤0. 答案:B

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3

12 已知函数 f(x)=|lg x|- 有两个零点 x1,x2,则有( )

A.x1x2<0 C.x1x2>1

B.x1x2=1 D.0<x1x2<1

解析:f(x)=|lg x|- 有两个零点 x1,x2,即 y=|lg x|与 y= 有两个交点.

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由题意 x>0,分别画 y= 和 y=|lg x|的图像发现在(0,1)和(1,+∞)有两个交点,

不妨设 x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),

那么在(0,1)上有 =-lg x1,即- =lg x1,



在(1,+∞)有- =lg x2,



①②相加有

∵x2>x1,



,

=lg x1x2,



<0,

∴lg x1x2<0. ∴0<x1x2<1.故选 D. 答案:D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上)

13 用二分法求方程 x3+4=6x2 的一个近似解时,已经将一根锁定在区间(0,1)内,则下一步可断定该根所在

的区间为

.

解析:设 f(x)=x3-6x2+4,显然 f(0)>0,f(1)<0,

又f

-6× +4>0,

所以下一步可断定方程的根所在的区间为 .

答案:

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14 将长度为 1 的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆,要使正方形与圆的面积之和最小,正方形

的周长应为

.

解析:设正方形的周长为 x,则圆的周长为 1-x,

则正方形与圆的面积和为 S= +π· -

= x2- x+ (0<x<1),

故当 x=- -

时,S 有最小值.

答案:

15 已知 0<a<1,则方程 a|x|=|logax|的实根个数为

.

解析:设 y1=a|x|,y2=|logax|,分别作出这两个函数的图像,如图.

由图可知,有两个交点,故方程 a|x|=|logax|有两个实根. 答案:2

16 某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再

增选一名代表,那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于

x 的最大整数)可以表示为

.

解析:当各班人数 x 除以 10,商为 n,余数为 0,1,2,3,4,5,6 时,即 x=10n+m,0≤m≤6 时,y=n;当各班人数 x 除以

10 商为 n,余数为 7,8,9 时,即 x=10n+7,x=10n+8,x=10n+9 时,即

x+3=10(n+1),x+3=10(n+1)+1,x+3=10(n+1)+2 时,y=n+1.故 y= .

答案:y=
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17(10 分)判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (1)f(x)=-8x2+7x+1; (2)f(x)=x2+x+2; (3)f(x)=x3+1. 解(1)因为 f(x)=-8x2+7x+1=-(8x+1)(x-1),
令 f(x)=0,可解得 x=- 或 x=1,

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所以函数 f(x)的零点为- 和 1.
(2)因为 f(x)=x2+x+2,令 x2+x+2=0,Δ=12-4×1×2=-7<0, 所以方程 x2+x+2=0 无实数解. 所以 f(x)=x2+x+2 不存在零点. (3)因为 f(x)=x3+1 =(x+1)(x2-x+1), 令(x+1)(x2-x+1)=0, 解得 x=-1. 所以函数 f(x)的零点为-1.

18(12 分)用模型 f(x)=ax+b 来描述某企业每季度的利润 f(x)(亿元)和生产成本投入 x(亿元)的关系.统计
表明,当每季度投入 1(亿元)时利润 y1=1(亿元),当每季度投入 2(亿元)时利润 y2=2(亿元),当每季度投入 3(亿 元)时利润 y3=2(亿元).定义:当 f(x)使[f(1)-y1]2+[f(2)-y2]2+[f(3)-y3]2 的数值最小时为最佳模型.

(1)当 b= ,求相应的 a 使 f(x)=ax+b 成为最佳模型;

(2)根据题(1)得到的最佳模型,请预测每季度投入 4(亿元)时利润 y4(亿元)的值.

解(1)当 b= 时,[f(1)-y1]2+[f(2)-y2]2+[f(3)-y3]2=14 -

,

即当 a= 时,f(x)= x+ 为最佳模型.

(2)f(x)= x+ ,

则 y4=f(4)= .

19(12 分)若二次函数 f(x)=-x2+2ax+4a+1 有一个零点小于-1,一个零点大于 3.求实数 a 的取值范围. 解∵二次函数 f(x)=-x2+2ax+4a+1 的图像开口向下,且在区间(-∞,-1),(3,+∞)内各有一个零点,
∴-

即 -- -

即 -

解得 a> .

故实数 a 的取值范围为

.

20(12 分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过 15 万元时,按销售利润的 10%
进行奖励;当销售利润超过 15 万元时,若超过部分为 A 万元,则超出部分按 2log5(A+1)进行奖励,没超出部分 仍按销售利润的 10%进行奖励.记奖金总额为 y(单位:万元),销售利润为 x(单位:万元).

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(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式; (2)如果业务员老张获得 5.5 万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?
解(1)由题意,得 y= -
(2)∵x∈(0,15]时,0.1x≤1.5, 又 y=5.5>1.5, ∴x>15, ∴1.5+2log5(x-14)=5.5,解得 x=39. 即老张的销售利润是 39 万元.
21(12 分)已知 y=f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x.
(1)写出函数 y=f(x)的解析式; (2)若方程 f(x)=a 恰有 3 个不同的解,求 a 的取值范围. 解(1)当 x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞),
∵y=f(x)是奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,
∴f(x)= --
(2)当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1; 当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为 1. 据此可作出函数 y=f(x)的图像,如图,

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根据图像得, 若方程 f(x)=a 恰有 3 个不同的解,则 a 的取值范围是(-1,1).
22(12 分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度
v(单位:km/h)是车流密度 x(单位:辆/km)的函数,当桥上的车流密度达到 200 辆/km 时,造成堵塞,此时车流速 度为 0;当车流密度不超过 20 辆/km 时,车流速度为 60 km/h,研究表明:当 20<x≤200 时,车流速度 v 是车流密 度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式. (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/h)f(x)=x·v(x)可以达到最 大?并求出最大值.(精确到 1 辆/h) 解(1)由题意得,当 0≤x≤20 时,v(x)=60;
当 20<x≤200 时,设 v(x)=ax+b(a≠0),
再由已知得

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解得

故函数 v(x)的表达式为

v(x)=

-

(2)由题意和第(1)问可得

f(x)=

-

当 0≤x≤20 时,f(x)是增加的,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200;

当 20<x≤200 时,f(x)= x(200-x)

= [-(x-100)2+10 000],

当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值 .

综上可知,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3 333. 即当车流密度为 100 辆/km 时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/h.

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